專題23 直角三角形與勾股定理

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1、學(xué)習(xí)方法報(bào)社 全新課標(biāo)理念，優(yōu)質(zhì)課程資源 直角三角形與勾股定理 一.選擇題 1. （2015遼寧大連，8，3分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，點(diǎn)D在BC上，∠ADC=2∠B,AD=,則BC的長(zhǎng)為（ ） A.－1 B.+1 C.－1 D.+1 【答案】D 【解析】解：在△ADC中，∠C=90°，AC=2，所以CD=, 因?yàn)椤螦DC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠B=∠BAD,所以BD=AD=,所以BC=+1，故選

2、D. 2.（2015?四川南充,第9題3分）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為8cm，高AE長(zhǎng)為cm，則對(duì)角線AC長(zhǎng)和BD長(zhǎng)之比為（ ） （A）1:2 （B）1:3 （C）1: （D）1: 【答案】D 【解析】 試題分析：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，根據(jù)周長(zhǎng)可得AB=BC=2，根據(jù)AE=可得BE=1，則△ABC為等邊三角形，則AC=2，BO=，即BD=2，即AC:BD=1：. 考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)、直角三角形. 圖5 3．（2015?四川資陽(yáng),第9題3分）如圖5，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3 cm的點(diǎn)B

3、處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3 cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是 A．13cm B．cm C．cm D．cm 考點(diǎn)：平面展開(kāi)－最短路徑問(wèn)題．. 分析：將容器側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求． 解答：解：如圖： ∵高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒， 此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對(duì)的點(diǎn)A處， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm， ∴將容器側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′， 連接A′B，則A′B即為最短距

4、離， A′B= = =13（Cm）． 故選：A． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面展開(kāi)﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力． 4. （2015?浙江濱州,第10題3分）如圖，在直角的內(nèi)部有一滑動(dòng)桿.當(dāng)端點(diǎn)沿直線向下滑動(dòng)時(shí)，端點(diǎn)會(huì)隨之自動(dòng)地沿直線向左滑動(dòng).如果滑動(dòng)桿從圖中處滑動(dòng)到處，那么滑動(dòng)桿的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑是( ) A.直線的一部分 B.圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分 【答案】B 【解析】 試題分析：根據(jù)題意和圖形可知△AOB始終是直角三角形，點(diǎn)C為斜邊上的

5、中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知OC始終等于AB的一半，O點(diǎn)為定點(diǎn)，OC為定長(zhǎng)，所以它始終是圓的一部分. 故選B 考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 5. （2015?浙江湖州，第9題3分）如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在AD，BC上，連結(jié)OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半徑長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論不成立的是( ) A. CD+DF=4 B. CD?DF=2?3 C. BC+AB=2+4 D. BC?AB=2 【答案】A. 【解析】 試題分

6、析：如圖，設(shè)⊙O與BC的切點(diǎn)為M,連接MO并延長(zhǎng)MO交AD于點(diǎn)N,利用“AAS”易證△OMG≌△GCD,所以O(shè)M=GC=1, CD=GM=BC－BM－GC=BC－2.又因AB=CD,所以可得BC?AB=2.設(shè)AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=（a+b－c），所以c=a+b－2. 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab－4a－4b+4=0，又因BC?AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）－4a－4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再設(shè)DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，

7、所以CD?DF=，CD+DF=.綜上只有選項(xiàng)A錯(cuò)誤，故答案選A. 考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三邊的關(guān)系；折疊的性質(zhì)；勾股定理； 6. （2015?浙江嘉興，第7題4分）如圖，中，AB=5，BC=3，AC=4，以點(diǎn)C為圓心的圓與AB相切，則☉C的半徑為（▲） （A）2.3 （B）2.4 （C）2.5 （D）2.6 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理．. 分析：首先根據(jù)題意作圖，由AB是⊙C的切線，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后由S△ABC=AC?BC=

8、AB?CD，即可求得以C為圓心與AB相切的圓的半徑的長(zhǎng)． 解答：解：在△ABC中， ∵AB=5，BC=3，AC=4， ∴AC2+BC2=32+42=52=AB2， ∴∠C=90°， 如圖：設(shè)切點(diǎn)為D，連接CD， ∵AB是⊙C的切線， ∴CD⊥AB， ∵S△ABC=AC?BC=AB?CD， ∴AC?BC=AB?CD， 即CD===， ∴⊙C的半徑為， 故選B． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高的求解方法．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 8. （2015?四川樂(lè)山,第7題3分）如圖，已知△ABC

9、的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 考點(diǎn)：1．銳角三角函數(shù)的定義；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．格型． 9, （2015?四川眉山，第10題3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD．若BD=1，則AC的長(zhǎng)是（　　） 　 A． 2 B． 2 C． 4 D． 4 考點(diǎn)： 含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理．. 分析： 求出∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出AD=

10、CD，推出∠ACD=∠A=30°，求出∠DCB，即可求出BD、BC，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出AC即可． 解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°， ∴∠ACB=60°， ∵DE垂直平分斜邊AC， ∴AD=CD， ∴∠ACD=∠A=30°， ∴∠DCB=60°﹣30°=30°， 在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1， ∴CD=2BD=2， 由勾股定理得：BC==， 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=， ∴AC=2BC=2， 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，含

11、30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出BC的長(zhǎng)，注意：在直角三角形中，如果有一個(gè)角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半． 10. （2015?浙江省臺(tái)州市，第8題）如果將長(zhǎng)為6cm，寬為5cm的長(zhǎng)方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長(zhǎng)不可能是（ ） A.8cm B.cm C.5.5cm D.1cm 二.填空題 1、（2015?四川自貢,第13題4分）已知，是⊙O的一條直徑 ，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使,與⊙O相切于點(diǎn)，若,則劣弧的長(zhǎng)為 . 考點(diǎn)：圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾

12、股 定理、弧長(zhǎng)公式等. 分析：本題劣弧的長(zhǎng)關(guān)鍵是求出圓的半徑和劣弧所對(duì)的 圓心角的度數(shù).在連接OD后，根據(jù)切線的性質(zhì)易知,圓的半徑和圓心角的度數(shù)可以通過(guò)Rt△獲得解決. 略解：連接半徑OD.又∵與⊙O相切于點(diǎn) ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴在Rt△ ∴ ∴ ∴在Rt△根據(jù)勾股定理可知： ∵ ∴ 解得： 則劣弧的長(zhǎng)為. 故應(yīng)填 2. （2015?浙江濱州,第17題4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點(diǎn)E在邊DC上），折疊后頂點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處.若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(10,8），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為

13、 . 【答案】（10,3） 考點(diǎn)：折疊的性質(zhì)，勾股定理 3. （2015?四川省內(nèi)江市，第22題，6分）在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，則BC=　6?。? 考點(diǎn)： 含30度角的直角三角形；勾股定理．. 分析： 由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)． 解答： 解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6， ∴△ABC是直角三角形， ∴BC===6， 故答案為：6．° 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了含30°直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵

14、． 4.（2015?江蘇泰州,第16題3分）如圖， 矩形中，AB=8，BC=6，P為AD上一點(diǎn)， 將△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE=OD，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)_________. 【答案】4.8. 【解析】 試題分析：由折疊的性質(zhì)得出EP=AP, ∠E=∠A=90°,BE=AB=8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6－x，DG=x，求出CG、BG，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可. 試題解析：如圖所示： ∵四邊形ABCD是矩形 ∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=A

15、B=8 根據(jù)題意得：△ABP≌△EBP， ∴EP=AP，∠E=∠A=90°,BE=AB=8， 在△ODP和△OEG中 ∴△ODP≌△OEG ∴OP=OG，PD=GE， ∴DG=EP 設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6－x，DG=x， ∴CG=8－x，BG=8－（6－x）=2+x 根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2 即：62+（8－x）2=（x+2）2 解得：x=4.8 ∴AP=4.8. 考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問(wèn)題）；2.勾股定理；3.矩形的性質(zhì). 5.（2015?江蘇徐州,第17題3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形，再以對(duì)

16、角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為?。ǎ﹏﹣1　． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)．. 專題： 規(guī)律型． 分析： 首先求出AC、AE、HE的長(zhǎng)度，然后猜測(cè)命題中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，即可解決問(wèn)題． 解答： 解：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=BC=1，∠B=90°， ∴AC2=12+12，AC=； 同理可求：AE=（）2，HE=（）3…， ∴第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)an=（）n﹣1． 故答案為（）n﹣1． 點(diǎn)評(píng)： 該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用問(wèn)題；應(yīng)牢固掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運(yùn)用． 6.（2015?山東東營(yíng),第17題4分）如圖，一

17、只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)3個(gè)面爬到點(diǎn)B，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則AC的長(zhǎng)為 ． 【答案】. 考點(diǎn)：1.正方體的側(cè)面展開(kāi)圖；2.最值問(wèn)題；3.勾股定理. 7．（2015?廣東廣州,第16題3分）如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為 3 ． 考點(diǎn)： 三角形中位線定理；勾股定理． 專題： 動(dòng)點(diǎn)型． 分析： 根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=DN，從而可知DN最大時(shí)，EF最大，因?yàn)镹與B重

18、合時(shí)DN最大，此時(shí)根據(jù)勾股定理求得DN=DB=6，從而求得EF的最大值為3． 解答： 解：∵ED=EM，MF=FN， ∴EF=DN， ∴DN最大時(shí)，EF最大， ∵N與B重合時(shí)DN最大， 此時(shí)DN=DB==6， ∴EF的最大值為3． 故答案為3． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵． 8.（2015?泉州第11題4分）如圖，在正三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，則∠BAD=　30°　°． 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=30°， 故答案為：30°． 9

19、．(2015?湖南株洲,第15題3分)如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于　　　　 【試題分析】 本題考點(diǎn)為：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，直角三角形的勾股定理，正方形的邊長(zhǎng)相等； 由全等可知：AH＝DE，AE＝AH＋HE 　　　　　　由直角三角形可得：，代入可得 答案為：6 0．(2015?江蘇無(wú)錫,第17題2分)已知：如圖，AD、BE分別是△ABC的線和角平分線，AD⊥BE，AD=BE=6，則AC的長(zhǎng)等于　_________?。? 考點(diǎn)： 三角形位線定理；勾股定

20、理． 專題： 計(jì)算題． 分析： 延長(zhǎng)AD至F，使DF=AD，過(guò)點(diǎn)F作平行BE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CH∥BE，交AF于點(diǎn)H，連接BF，如圖所示，在直角三角形AGF，利用勾股定理求AG的長(zhǎng)，利用SAS證得△BDF≌△CDA，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠ACD=∠BFD，證得AG∥BF，從而證得四邊形EBFG是平行四邊形，得到FG=BE=6，利用AAS得到三角形BOD與三角形CHD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到OD=DH=3，得AH=9，然后根據(jù)△AHC∽△AFG，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得AC． 解答： 解：延長(zhǎng)AD至F，使DF=AD，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C

21、作CH∥BE，交AF于點(diǎn)H，連接BF，如圖所示， 在Rt△AFG，AF=2AD=12，F(xiàn)G=BE=6， 根據(jù)勾股定理得：AG==6， 在△BDF和△CDA， ∴△BDF≌△CDA（SAS）， ∴∠ACD=∠BFD， ∴AG∥BF， ∴四邊形EBFG是平行四邊形， ∴FG=BE=6， 在△BOD和△CHD， ， ∴△BOD≌△CHD（AAS）， ∴OD=DH=3， ∵CH∥FG， ∴△AHC∽△AFG， ∴=，即=， 解得：AC=， 故答案為： 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，

22、作輔助線構(gòu)建直角三角形和平行四邊形是解題的關(guān)鍵． 　11．（2015·湖北省武漢市，第16題3分）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是_________ 【解析】作M關(guān)于ON對(duì)稱點(diǎn)M1，點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N1，連接M1N1分別交OA、ON于Q，P，此時(shí)MP+PQ+NQ的值最小.由對(duì)稱性質(zhì)知，M1P=MP，N1Q=NQ，所以MP+PQ+NQ= M1N1.連接ON1、OM1，則∠M1OP=∠POM=∠N1OM=30°，所以∠N1OM1=90°.又ON1=ON=3，OM1 =OM=1,所以

23、M1N1==. 【指點(diǎn)迷津】線段和的最小值問(wèn)題，一般都是將幾條線段轉(zhuǎn)化為同一條線段長(zhǎng)度，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)說(shuō)明.一般是通過(guò)做對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化到同一條線段上，根據(jù)勾股定理計(jì)算最小值. 三.解答題 1. （2015遼寧大連，24，11分）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AC上，且CD>DA,DA=2.點(diǎn)P、Q同時(shí)從D點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度分別沿射線DC、射線DA運(yùn)動(dòng)。過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線段QR,使QR=PQ,聯(lián)接PR.當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)A時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)PQ=x.△PQR和△ABC重合部分的面積為S.S關(guān)于x的函數(shù)圖像如圖2所示（其中0

24、時(shí)，函數(shù)的解析式不同） 填空：n的值為_(kāi)__________; 求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍。 圖1 圖2 （第24題） 【答案】(1)（2）當(dāng)0

25、 當(dāng)0

26、ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP’，連結(jié)PP’，并延長(zhǎng)AP與BC相交于點(diǎn)Q． （1）求證：△APP’是等腰直角三角形； （2）求∠BPQ的大小； （3）求CQ的長(zhǎng)． 【答案】略；45°； 【解析】 試題分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到AP=AP′ ∠BAP′=∠DAP，從而得出∠PAP′=90°，得到等腰直角三角形；根據(jù)Rt△APP′得出PP′的大小，然后結(jié)合BP′和BP的長(zhǎng)度得到，從而得出△BPP′是直角三角形，然后計(jì)算∠BPQ的大??；過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AQ于M，根據(jù)∠BPQ=45°得到△PMB為等腰直角三角形，根據(jù)已知得出BM和AM的長(zhǎng)度，根據(jù)Rt△ABM的勾股定理求出AB，根據(jù)△ABM∽△AQ

27、B得出AQ的長(zhǎng)度，最后根據(jù)Rt△ABO的勾股定理得出BQ的長(zhǎng)度，根據(jù)QC=BC－BQ得出答案. 試題解析：(1)、證明：由旋轉(zhuǎn)可得：AP=AP′ ∠BAP′=∠DAP ∴∠PAP′=∠PAB+∠BAP′=∠PAB+∠DAP=∠BAD=90° ∴△APP′是等腰直角三角形 (3)、過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AQ于M ∵∠BPQ=45° ∴△PMB為等腰直角三角形 由已知，BP=2 ∴BM=PM=2 ∴AM=AP+PM=3 在Rt△ABM中，AB= ∵△ABM∽△AQB ∴ ∴AQ= 在Rt△ABO中，BQ= ∴QC=BC－BQ=－= 考點(diǎn)：

28、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似. 3. （2015?浙江杭州,第19題8分） 如圖1，⊙O的半徑為r(r>0)，若點(diǎn)P′在射線OP上，滿足OP′?OP=r2，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”，如圖2，⊙O的半徑為4，點(diǎn)B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，求A′B′的長(zhǎng). 【答案】解：∵⊙O的半徑為4，點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上， OA=8， ∴，即. ∴.∴點(diǎn)B的反演點(diǎn)B′與點(diǎn)B重合. 如答圖，設(shè)OA交⊙O于點(diǎn)M，連接B′M， ∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等邊三角形.

29、 ∵，∴B′M⊥OM. ∴在中，由勾股定理得. 【考點(diǎn)】新定義；等邊三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理. 【分析】先根據(jù)定義求出，再作輔助線：連接點(diǎn)B′與OA和⊙O的交點(diǎn)M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等邊三角形，從而在中，由勾股定理求得A′B′的長(zhǎng). 4. （2015?浙江麗水，第19題6分）如圖，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC

30、，∠B=37°，∴∠BAC=53°. ∵AD=BD，∴，∠B=∠BAD=37° ∴∠CAD=∠BAC∠BAD=16°. 【考點(diǎn)】尺規(guī)作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；直角三角形兩銳角的關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì). 【分析】（1）因?yàn)榈紸，B兩點(diǎn)的距離相等在線段AB的垂直平分線上，因此，點(diǎn)D是線段AB的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，據(jù)此作圖即可. （2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余，求出∠BAC，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，求出∠BAD，從而作差求得∠CAD的度數(shù). 5.（2015?江蘇徐州,第25題8分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限．其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別

31、落在x軸、y軸上，且AB=12cm （1）若OB=6cm． ①求點(diǎn)C的坐標(biāo)； ②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離； （2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值=　12　 cm． 考點(diǎn)： 相似形綜合題．. 分析： （1）①過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可； ②設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，得點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離也為x，利用三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行解答； （2）過(guò)C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，證明△ACE與△BCD相似，再利用相似三角形的性質(zhì)解答． 解答： 解：（1）①過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1： 在

32、Rt△AOB中，AB=12，OB=6，則BC=6， ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°， 又∵∠CBA=60°， ∴∠CBD=60°，∠BCD=30°， ∴BD=3，CD=3， 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，9）； ②設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，根據(jù)題意得點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離也為x，如圖2： AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6． ∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12 在△A'O B'中，由勾股定理得， （6﹣x）2+（6+x）2=122， 解得：x=6（﹣1）， ∴滑動(dòng)的距離為6（﹣1）； （2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)C作CE⊥x軸

33、，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3： 則OE=﹣x，OD=y， ∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°， ∴∠ACE=∠DCB， 又∵∠AEC=∠BDC=90°， ∴△ACE∽△BCD， ∴，即， ∴y=﹣x， OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2， ∴當(dāng)|x|取最大值時(shí)，即C到y(tǒng)軸距離最大時(shí)，OC2有最大值，即OC取最大值，如圖，即當(dāng)C'B'旋轉(zhuǎn)到與y軸垂直時(shí) ．此時(shí)OC=12， 故答案為：12． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查相似三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理以及三角函數(shù)進(jìn)行分析解答． 第 24 頁(yè) 共 24 頁(yè)