新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第2篇 第3節(jié) 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

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1、 第二篇 第3節(jié) 1.(高考北京卷)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(  ) A.y= B.y=e-x C.y=-x2+1 D.y=lg |x| 解析:y=是奇函數(shù),選項(xiàng)A錯(cuò);y=e-x是指數(shù)函數(shù),非奇非偶,選項(xiàng)B錯(cuò);y=lg|x|是偶函數(shù),但在(0,+∞)上單調(diào)遞增,選項(xiàng)D錯(cuò);只有選項(xiàng)C是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞減.故選C. 答案:C 2.已知周期為2的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),則f(-6.5),f(-1),f(0)的大小關(guān)系是(  ) A.f(-6.5)

2、)

3、的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,即函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).在等式f(x+4)-f(x)=2f(2)中令x=-2得f(2)-f(-2)=2f(2),由此可得f(2)=0,故f(x+4)=f(x),所以4是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期.f(20xx)=f(1)=2.故選A. 答案:A 4.(20xx廣東潮州質(zhì)檢)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)f(x)+xf′(x)<0恒成立,若a=3f(3),b=f(1),c=-2f(-2),則(  ) A.a(chǎn)>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.a(chǎn)>b>c 解析:設(shè)g(x)=xf(x),依題意

4、得g(x)是偶函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)f(x)+xf′(x)<0,即g′(x)<0恒成立,故g(x)在x∈(-∞,0)上單調(diào)遞減,則g(x)在(0,+∞)上遞增,a=3f(3)=g(3),b=f(1)=g(1),c=-2f(-2)=g(-2)=g(2),故a>c>b.故選A. 答案:A 5.(20xx江西南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列三個(gè)條件:①對(duì)任意的x∈R都有f(x+2)=-f(x),②對(duì)于任意的0≤x1

5、4.5)

6、“和諧函數(shù)”,下列函數(shù)不是圓O的“和諧函數(shù)”的是(  ) A.f(x)=4x3+x B.f(x)=ln C.f(x)=tan D.f(x)=ex+e-x 解析:選項(xiàng)A、B、C中的函數(shù)在(-3,3)上都是單調(diào)的奇函數(shù),都能把圓的周長和面積分為相等的兩部分,只有選項(xiàng)D中的函數(shù)不是奇函數(shù),故選D. 答案:D 二、填空題 7.(高考浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x+1,則f=________. 解析:f=f-=f=. 答案: 8.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),f(1)=1,則f(3)=______.

7、解析:法一 根據(jù)條件可得f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1)=-1. 法二 使用特例法,尋求函數(shù)模型,令f(x)=sin x,則f(x+1)=sinx+=cos x,滿足以上條件,所以f(3)=sin =-1. 答案:-1 9.(20xx浙江溫州一模)已知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù),且滿足對(duì)任意x∈R,都有f[f(x)-2x]=3,則f(3)的值是________. 解析:根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性,存在唯一的m,使得f(m)=3,故f(x)-2x=m,即f(x)=2x+m,令x=m,則f(m)=2m+m,即3=2m+m,解得m=1,所以f(x)=2x+1,所

8、以f(3)=9. 答案:9 10.(20xx陜西延安一模)已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足條件fx+=-f(x),且函數(shù)y=fx-為奇函數(shù),給出以下四個(gè)命題: (1)函數(shù)f(x)是周期函數(shù); (2)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)-,0對(duì)稱; (3)函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù); (4)函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù). 其中真命題的序號(hào)為________.(寫出所有真命題的序號(hào)) 解析:由fx+=-f(x)可得f(x)=f(x+3)?f(x)為周期函數(shù),且T=3,(1)為真命題; 又y=fx-關(guān)于(0,0)對(duì)稱,y=fx-向左平移個(gè)單位得y=f(x)的圖象,則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

9、-,0對(duì)稱,(2)為真命題; 又y=fx-為奇函數(shù), 所以fx-=-f-x-, fx--=-f-x-=-f(-x), ∴fx-=-f(-x), f(x)=f(x-3)=-fx-=f(-x), ∴f(x)為偶函數(shù),不可能為R上的單調(diào)函數(shù),(3)為真命題;(4)為假命題,故真命題為(1)(2)(3). 答案:(1)(2)(3) 三、解答題 11.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2. (1)求證:f(x)是周期函數(shù); (2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí),求f(x)的解析式; (3)計(jì)算f(0)+f(1)

10、+f(2)+…+f(20xx). (1)證明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期為4的周期函數(shù). (2)解:∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解:∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù), ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+

11、f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2008)+f(2009)+f(20xx)+f(20xx)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(20xx)+f(20xx)=f(0)+f(1)=1. 12.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱. (1)求證:f(x)是周期為4的周期函數(shù); (2)若f(x)=(0

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