新版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第8篇 第3節(jié) 橢　圓

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2、 1 第八篇　第3節(jié) 一、選擇題 1．已知△ABC中，A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)和(－2,0)，若三角形的周長(zhǎng)為10，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是(　　) A．＋＝1(y≠0)　　　 B．＋＝1(x≠0) C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(x≠0) 解析：點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之和為6,6>4，故所求點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a＝6,2c＝4，則b2

3、＝5.所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為＋＝1， 又A、B、C三點(diǎn)不共線，即y≠0，故選A. 答案：A 2．(20xx唐山二模)P為橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則·等于(　　) A．3 B． C．2 D．2 解析：由橢圓方程知a＝2，b＝，c＝1， 由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝4， △PF1F2中由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2， 即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝|F1F2|2， ∴16－3|PF1||PF2|＝4.∴|PF1||PF2|＝

4、4， ∴·＝||||cos 60°＝2.故選D. 答案：D 3．過(guò)點(diǎn)A(3，－2)且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：由題意得c2＝9－4＝5， 又已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上， 故所求橢圓方程可設(shè)為＋＝1(λ＞0)，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)得＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)．故所求橢圓的方程為＋＝1.故選A. 答案：A 4．(20xx聊城聯(lián)考)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的(　　) A．7倍 B．5倍 C．3倍 D．3倍 解析：不妨

5、設(shè)F1為橢圓左焦點(diǎn)，則PF2⊥x軸，Rt△PF1F2中|PF2|2＋36＝(4－|PF2|)2， 解得|PF2|＝， 所以|PF1|＝，即|PF1|＝7|PF2|，故選A. 答案：A 5．設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F2為圓心作圓F2，已知圓F2經(jīng)過(guò)橢圓的中心，且與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，若直線MF1恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率e為(　　) A．－1 B．2－ C． D． 解析：易知圓F2的半徑為c，由題意知Rt△MF1F2中|MF2|＝c，|MF1|＝2a－c，|F1F2|＝2c且MF1⊥MF2， 所以(2a－c)2＋c2＝4c2，2＋2－2＝0， ＝－1. 即e

6、＝－1.故選A. 答案：A 6．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M在該橢圓上，且·＝0，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為(　　) A． B． C． D． 解析：由題意，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)． 設(shè)M(x，y)， 則MF1―→·MF2―→＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0， 整理得x2＋y2＝3. ① 又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，故＋y2＝1， y2＝1－. ② 將②代入①，得x2＝2，解得x＝±. 故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.故選B. 答案：B 二、填空題 7．設(shè)F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|＝3，則

7、P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)距離為_(kāi)_______． 解析：∵|OM|＝3，∴|PF2|＝6， 又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4. 答案：4 8．(20xx北京東城區(qū)高三聯(lián)考)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2的大小為_(kāi)_______． 解析：由橢圓方程得a＝3，b＝，故c＝＝. 由|PF1|＝4得|PF2|＝2a－|PF1|＝6－4＝2. 又|F1F2|＝2c＝2， 在△PF1F2中，由余弦定理得， cos∠F1PF2＝ ＝ ＝－， 所以∠F1PF2＝120°. 答案：120° 9．(高考福建卷)橢圓Γ：＋＝1(a>b

8、>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 解析：因?yàn)橹本€y＝(x＋c)過(guò)點(diǎn)F1(－c,0)且傾斜角為60°， 所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°， 所以∠F1MF2＝90°， 所以F1M⊥F2M， 在Rt△F1MF2中， |MF1|＝c，|MF2|＝c， 所以e＝＝＝＝＝－1. 答案：－1 10．已知對(duì)k∈R，直線y－kx－1＝0與橢圓＋＝1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：因?yàn)橹本€y－kx－1＝0過(guò)定點(diǎn)(0,1)，

9、要使直線和橢圓恒有公共點(diǎn)， 則點(diǎn)(0,1)在橢圓上或橢圓內(nèi)，即＋≤1， 整理，得≤1，解得m≥1. 又方程＋＝1表示橢圓， 所以m>0且m≠5， 綜上m的取值范圍為m≥1且m≠5. 答案：m≥1且m≠5 三、解答題 11．(20xx臨沂模擬)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，－1)，焦點(diǎn)在x軸上．若右焦點(diǎn)到直線x－y＋2＝0的距離為3. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線y＝kx＋m(k≠0)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N.當(dāng)|AM|＝|AN|時(shí)，求m的取值范圍． 解：(1)依題意可設(shè)橢圓方程為＋y2＝1， 則右焦點(diǎn)F(，0)， 由題設(shè)得＝3， 解得a2＝3. 故所求橢圓

10、的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)， 由 得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， ∵直線與橢圓相交， ∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0?m2<3k2＋1. ① ∴xP＝＝－， 從而yP＝kxP＋m＝， ∴kAP＝＝－， 又∵|AM|＝|AN|， ∴AP⊥MN， 則－＝－， 即2m＝3k2＋1. ② 把②代入①得m2<2m， 解得00， 解得m>. 綜上求得m的取值范圍是

11、右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積； (2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由． 解：(1)橢圓W：＋y2＝1的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)． 因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形， 所以AC與OB相互垂直平分， 所以可設(shè)A(1，m)，代入橢圓方程得＋m2＝1， 即m＝±. 所以菱形OABC的面積是 |OB|·|AC|＝×2×2|m|＝. (2)四邊形OABC不可能為菱形．理由如下： 假設(shè)四邊形OABC為菱形． 因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)． 由消去y并整理得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)， 則＝－， ＝k·＋m＝. 所以AC的中點(diǎn)為M(－，). 因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)， 所以直線OB的斜率為－. 因?yàn)閗·(－)≠－1， 所以AC與OB不垂直， 所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾． 所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形．