新版新課標高三數(shù)學一輪復習 第5篇 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應用課時訓練 理

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2、 1 【導與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學一輪復習 第5篇 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應用課時訓練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 公式法、分組法求和 1、6、7、11 并項法求和 2、5 裂項相消法求和 8、12 錯位相減法求和 4、15、16 數(shù)列的綜合問題 3、10、13、15、16 數(shù)列的實際應用 9、14 基礎過關 一、選擇題

3、 1.數(shù)列{1+2n-1}的前n項和為(　C　) (A)1+2n (B)2+2n (C)n+2n-1 (D)n+2+2n 解析:由題意令an=1+2n-1, 所以Sn=n+1-2n1-2=n+2n-1,故選C. 2.已知函數(shù)f(n)=n2(n為奇數(shù)),-n2(n為偶數(shù)),且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于(　B　) (A)-100 (B)100 (C)-1020 (D)1020 解析:當n為奇數(shù)時,an=n2-(n+1)2=-(2n+1). 當n為偶數(shù)時,an=-n2+(n+1)2=2n+1. ∴a1+a2+a3+…+a100=-3+5-7+

4、9-…-199+201 =(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201) =2×50=100. 3.已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過點(4,2),令an=f(n+1)+f(n),n∈N*,記數(shù)列{1an}的前n項和為Sn,則Sn=10時,n的值是(　B　) (A)10 (B)120 (C)130 (D)140 解析:∵冪函數(shù)f(x)=xα過點(4,2), ∴4α=2, ∴α=12,f(x)=x12, ∴an=f(n+1)+f(n)=n+1+n, ∴1an=1n+1+n=n+1-n. ∴Sn=(2-1)+(3-2)+…+(n+1-n) =n+1-1. 又Sn=10,

5、 ∴n+1-1=10, ∴n=120.故選B. 4.Sn=12+12+38+…+n2n等于(　B　) (A)2n-n2n (B)2n+1-n-22n (C)2n-n+12n+1 (D)2n+1-n+22n 解析:由Sn=12+222+323+…+n2n, ① 得12Sn=122+223+…+n-12n+n2n+1, ② ①-②得, 12Sn=12+122+123+…+12n-n2n+1 =121-12n1-12-n2n+1, ∴Sn=2n+1-n-22n. 5.數(shù)列{an}的通項an=sin nπ3,前n項和為Sn,則S20xx等于(　B　) (A

6、)12 (B)0 (C)1 (D)-12 解析:由an=sin nπ3,知數(shù)列{an}是以6為周期的數(shù)列,且a1+a2+…+a6=0, 則S20xx=(a1+a2+…+a6)+…+(a2005+…+a20xx)+a20xx+…+a20xx=a1+a2+…+a5=0. 故選B. 6.數(shù)列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n項和Sn>1020,那么n的最小值是(　D　) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 解析:an=1+2+22+…+2n-1=2n-1. ∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1) =(21+22+…+2n)-n =2

7、n+1-n-2. ∴S9=1013<1020,S10=2036>1020. ∴Sn>1020,n的最小值是10. 二、填空題 7.數(shù)列32,94,258,6516,…,n·2n+12n的前n項和為　　　　.? 解析:由于an=n·2n+12n=n+12n, ∴前n項和Sn=1+121+2+122+3+123+…+n+12n =(1+2+3+…+n)+（12+122+123+…+12n） =(n+1)n2+121-12n1-12 =n(n+1)2-12n+1. 答案:n(n+1)2-12n+1 8.若已知數(shù)列的前四項是112+2、122+4、132+6、142+8,則該數(shù)列

8、的前n項和為　　　　.? 解析:因為通項an=1n2+2n=121n-1n+2, 所以此數(shù)列的前n項和 Sn=12[（1-13）+（12-14）+（13-15）+…+（1n-1-1n+1）+（1n-1n+2）] 　=121+12-1n+1-1n+2 　=34-2n+32(n+1)(n+2). 答案:34-2n+32(n+1)(n+2) 9.(20xx高考江西卷)某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于　　　　.? 解析:本題是等比數(shù)列前n項和的實際應用題, 設每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an},

9、由題意可知它是等比數(shù)列,且首項為2,公比為2, 所以由題意可得2(1-2n)1-2≥100, 即2n≥51, 而25=32,26=64,n∈N*, 所以n≥6. 答案:6 10.(20xx廣東揭陽模擬)對于每一個正整數(shù)n,設曲線y=xn+1在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,令an=lg xn,則a1+a2+…+a99=　　　　.? 解析:對y=xn+1求導得y′=(n+1)xn,則曲線在點(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)·(x-1), 令y=0,得xn=nn+1,則an=lg xn=lg nn+1, 所以a1+a2+…+a99=lg(12×23×…×

10、99100) =lg 1100 =-2. 答案:-2 三、解答題 11.(20xx四川成都石室中學模擬)設{an}是公差大于零的等差數(shù)列,已知a1=2,a3=a22-10. (1)求{an}的通項公式; (2)設{bn}是以函數(shù)y=4sin2πx的最小正周期為首項,以3為公比的等比數(shù)列,求數(shù)列{an-bn}的前n項和Sn. 解:(1)設{an}的公差為d,且d>0,則 a1=2,a1+2d=(a1+d)2-10. 解得d=2. 所以an=2+(n-1)×2=2n. (2)∵y=4sin2πx=4×1-cos2πx2=-2cos 2πx+2 其最小正周期為2π2π=1,

11、故{bn}首項為1; 因為公比為3,從而bn=3n-1. 所以an-bn=2n-3n-1. 故Sn=(2-30)+(4-31)+…+(2n-3n-1) =(2+2n)n2-1-3n1-3 =n2+n+12-12·3n. 12.(20xx高考新課標全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通項公式; (2)求數(shù)列{1a2n-1a2n+1}的前n項和. 解:(1)設數(shù)列{an}的公差為d, 由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-5. 解得a1=1,d=-1. 故{an}的通項公式為an=2-n. (2)由(1)知1a

12、2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n) =12(12n-3-12n-1), 從而數(shù)列{1a2n-1a2n+1}的前n項和為 12(1-1-11+11-13+…+12n-3-12n-1)=n1-2n. 能力提升 13.(20xx山東菏澤模擬)數(shù)列{an}的通項公式為an=1n(n+1),其前n項和為910,則在平面直角坐標系中,直線(n+1)x+y+n=0在y軸上的截距為(　B　) (A)-10 (B)-9 (C)10 (D)9 解析:∵an=1n(n+1)=1n-1n+1, ∴Sn=(1-12)+（12-13）+…+（1n-1n+1） =1-1n+1=nn+1, 由

13、nn+1=910得n=9, ∴直線方程為10x+y+9=0,其在y軸上的截距為-9. 14.某林場年初有森林木材存量S m3,木材以每年25%的增長率生長,而每年年末要砍伐固定的木材量為x m3,為實現(xiàn)經(jīng)過兩次砍伐后的木材存量增加50%,則x的值為(　C　) (A)S32 (B)S34 (C)S36 (D)S38 解析:第一次砍伐后木材的存量為S(1+25%)-x=（54S-x）m3;第二次砍伐后木材的存量為[S(1+25%)-x](1+25%)-x=[（54）2S-54x-x]m3,所以(54)2S-54x-x=S(1+50%),解得x=S36. 15.(20xx陜西商洛一模)已知

14、函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=12. (1)當n∈N*時,求f(n)的表達式; (2)設an=n·f(n),n∈N*,求證:a1+a2+a3+…+an<2; (3)設bn=(9-n)f(n+1)f(n),n∈N*,Sn為{bn}的前n項和,當Sn最大時,求n的值. (1)解:令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)·f(1)=12f(n), ∴{f(n)}是首項為12,公比為12的等比數(shù)列, ∴f(n)=(12)n. (2)證明:設Tn為{an}的前n項和, ∵an=n·f(n)=n·(12)n, ∴Tn=12+2×(12)2+3×(12)3+

15、…+n×(12)n, 12Tn=(12)2+2×(12)3+3×(12)4+…+(n-1)×(12)n+n×(12)n+1, 兩式相減得12Tn=12+(12)2+…+(12)n-n×(12)n+1, ∴Tn=2-(12)n-1-n×（12）n<2. (3)解:∵f(n)=（12）n, ∴bn=(9-n)f(n+1)f(n)=(9-n)(12)?n+1(12)?n=9-n2, ∴當n≤8時,bn>0; 當n=9時,bn=0; 當n>9時,bn<0. ∴當n=8或9時,Sn取得最大值. 探究創(chuàng)新 16.(20xx高考四川卷)設等差數(shù)列{an}的公差為d,點(an,bn)在函

16、數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*). (1)若a1=-2,點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列{an}的前n項和Sn; (2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2-1ln2,求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn. 解:(1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=4×2a7=2a7+2,則a8=a7+2, 解得d=a8-a7=2. 所以,Sn=na1+n(n-1)2d=-2n+n(n-1)=n2-3n. (2)由f(x)=2x,f′(x)=2xln 2, 過點(a2,b2),即(a2,2a2), 斜率為 2a2ln 2,則 函數(shù)f(x)=2x在(a2,b2)處的切線方程為 y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2), 它在x軸上的截距為a2-1ln2. 由題意,a2-1ln2=2-1ln2, 解得a2=2. 所以,d=a2-a1=1. 從而an=n,bn=2n, 所以Tn=12+222+323+…+n-12n-1+n2n, 2Tn=11+22+322+…+n2n-1. 因此,2Tn-Tn=1+12+122+…+12n-1-n2n=2-12n-1-n2n=2n+1-n-22n. 所以,Tn=2n+1-n-22n.