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1、
1
2、 1
第13練 函數(shù)與方程
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)函數(shù)的零點(diǎn)概念;(2)數(shù)形結(jié)合思想.
訓(xùn)練題型
(1)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定;(2)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷;(3)函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用.
解題策略
(1)判斷零點(diǎn)所在區(qū)間常用零點(diǎn)存在性定理;(2)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)方法:直接解方程f(x)=0;利用函數(shù)的單調(diào)性;利用圖象交點(diǎn);(3)根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍可將參數(shù)分離.
一、選擇題
1.(2
3、0xx·長沙調(diào)研)函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)可能落在的區(qū)間為( )
A.(0,1) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,5)
2.(20xx·四川眉山仁壽一中段考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,則方程f(x)=log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.3
C.4 D.6
3.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x+x-3,則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.已知函數(shù)f(x)=2mx2-x-1在區(qū)間(-2
4、,2)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
5.已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)h(x)=f(x)-mx+2有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B.∪(1,+∞)
C.∪[1,+∞) D.
6.已知函數(shù)f(x)=x+sin x+,且方程f(|f(x)|-a)=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[0,+∞) B.(0,+∞)
C.[-1,2) D.(-1,2)
7.(20xx·太原期中)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(2+x)=f(2-x),當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),f(x)=x-1,若關(guān)于x的方程f(x)-
5、loga(x+2)=0(a>0且a≠1)在區(qū)間(-2,6)內(nèi)恰有4個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.(1,4)
C.(1,8) D.(8,+∞)
8.已知符號函數(shù)sgn(x)=則函數(shù)f(x)=sgn(lnx)-ln2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空題
9.(20xx·湖北)函數(shù)f(x)=2sin xsin-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.
10.(20xx·南寧模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+3x-8的零點(diǎn)x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,則a+b=________.
11.定義在[1,+∞)上的
6、函數(shù)f(x)滿足:①f(2x)=2f(x);②當(dāng)2≤x≤4時(shí),f(x)=1-|x-3|.則函數(shù)g(x)=f(x)-2在區(qū)間[1,28]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.
12.已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的圖象如圖所示.給出下列四個(gè)命題:
①方程f[g(x)]=0有且僅有6個(gè)根;②方程g[f(x)]=0有且僅有3個(gè)根;
③方程f[f(x)]=0有且僅有7個(gè)根;④方程g[g(x)]=0有且僅有4個(gè)根.
其中正確命題的序號為________.
答案精析
1.C [∵函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx,定義域?yàn)?0,+∞),
∴f(1)=1>0,f(2)
7、=-ln 2<0,f(3)=1-ln 3<0,
f(4)=2-ln 4>0,f(5)=3-ln 5>0,
∴f(1)·f(2)<0,f(3)·f(4)<0.
∴函數(shù)的零點(diǎn)在(1,2),(3,4)上,故選C.]
2.C [方程f(x)=log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=log3|x|圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),作函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=log3|x|的圖象如下,則由圖象可知,有四個(gè)不同的交點(diǎn),故選C.]
3.C [因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),所以f(0)=0,所以0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x+x-3=0,則2x=-x+3,
分別畫
8、出函數(shù)y=2x和y=-x+3的圖象,如圖所示,有一個(gè)交點(diǎn),
所以函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn),
又根據(jù)對稱性知,當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)f(x)也有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選C.]
4.D [當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)f(x)=-x-1有一個(gè)零點(diǎn)x=-1,滿足條件.
當(dāng)m≠0時(shí),函數(shù)f(x)=2mx2-x-1在區(qū)間(-2,2)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),需滿足①f(-2)·f(2)<0或
②或③
解①得-
9、數(shù)g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn).在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的大致圖象,其中A(0,-2),B(3,1),C(4,0),可知直線g(x)=mx-2應(yīng)介于直線AB與直線AC之間,其中kAB=1,kAC=,故m∈.故選A.]
6.B [由于f(-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.由于(x+sin x)′=1+cosx≥0,且=1-為增函數(shù).故f(x)為R上的增函數(shù),且f(0)=0.所以|f(x)|-a=0,即|f(x)|=a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,|f(x)|的圖象是由f(x)圖象的將x<0的部分關(guān)于x軸對稱翻折上來,x>0部分保持不變所得,所以a∈(0,+∞).
10、]
7.D [由f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(2+x)=f(2-x),即為f(x+4)=f(-x)=f(x),則f(x)是周期為4的函數(shù).當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),f(x)=x-1,可得x∈(0,2]時(shí),f(x)=f(-x)=()x-1.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f(x)與g(x)=loga(x+2)在區(qū)間(-2,6)內(nèi)的圖象,若要使它們有4個(gè)交點(diǎn),則08,故選D.]
8.B [令sgn(lnx)-ln2x=0,得
當(dāng)lnx>0,即x>1時(shí),1-ln2x=0,解得x=e;
當(dāng)lnx<0,即0
11、,成立.
故方程sgn(lnx)-ln2x=0有兩個(gè)根,即函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).]
9.2
解析 函數(shù)f(x)=2sin xsin-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程2sin x·sin-x2=0的根的個(gè)數(shù),即函數(shù)g(x)=2sin xsin=2sin xcosx=sin 2x與h(x)=x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).于是,分別畫出其函數(shù)圖象如圖所示,由圖可知,函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn).故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).
10.5
解析 ∵f(2)=ln 2+6-8=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+9-8=ln 3+1>0,
且函數(shù)f(x)=lnx+3x-8在(0,+∞)上為增函數(shù),
12、
∴x0∈[2,3],即a=2,b=3.
∴a+b=5.
11.4
解析 ∵定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:①f(2x)=2f(x);②當(dāng)2≤x≤4時(shí),f(x)=1-|x-3|,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,28]上的圖象如圖所示:
函數(shù)g(x)=f(x)-2在區(qū)間[1,28]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即為函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,28]上的圖象與直線y=2交點(diǎn)的個(gè)數(shù),由圖可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,28]上的圖象與直線y=2有4個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)g(x)=f(x)-2在區(qū)間[1,28]上有4個(gè)零點(diǎn).
12.①④
解析?、僭O(shè)t=g(x),則由f[g(x)]=0,得f(t)=0,則t1=
13、0或-2