4、__.
解析 ?UA={x|x≤1或x>3},用區(qū)間可表示為(-∞,1]∪(3,+∞).
答案 (-∞,1]∪(3,+∞)
題型一 函數(shù)關(guān)系的判定
【例1】 (1)下列圖形中,不能確定y是x的函數(shù)的是( )
(2)下列各題的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出了實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù)?為什么?
①f:把x對(duì)應(yīng)到3x+1;②g:把x對(duì)應(yīng)到|x|+1;
③h:把x對(duì)應(yīng)到;④r:把x對(duì)應(yīng)到.
(1)解析 任作一條垂直于x軸的直線x=a,移動(dòng)直線,根據(jù)函數(shù)的定義可知,此直線與函數(shù)圖象至多有一個(gè)交點(diǎn).結(jié)合選項(xiàng)可知D不滿足要求,因此不表示函數(shù)關(guān)系.
答案 D
(2)解?、偈菍?shí)數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù).它
5、的對(duì)應(yīng)關(guān)系f是:把x乘3再加1,對(duì)于任意x∈R,3x+1都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng),如當(dāng)x=-1時(shí),有3x+1=-2與之對(duì)應(yīng).
同理,②也是實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù).
③不是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù).因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),的值不存在.
④不是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù).因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),的值不存在.
規(guī)律方法 1.根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)的方法
(1)任取一條垂直于x軸的直線l;
(2)在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l;
(3)若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn),則是函數(shù);若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn),則不是函數(shù).
2.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否是函數(shù)的方法
【訓(xùn)練1】 設(shè)M={x|0≤x≤2},N={y|0≤
6、y≤2},給出下列四個(gè)圖形,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有( )
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
解析 ①錯(cuò),x=2時(shí),在N中無元素與之對(duì)應(yīng),不滿足任意性.②對(duì),同時(shí)滿足任意性與唯一性.③錯(cuò),x=2時(shí),對(duì)應(yīng)元素y=3?N,不滿足任意性.④錯(cuò),x=1時(shí),在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),不滿足唯一性.
答案 B
題型二 相等函數(shù)
【例2】 (1)下列各組函數(shù):
①f(x)=,g(x)=x-1;
②f(x)=,g(x)=;
③f(x)=,g(x)=x+3;
④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系f(t)=80t
7、(0≤t≤5)與一次函數(shù)g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示相等函數(shù)的是________(填上所有正確的序號(hào)).
(2)試判斷函數(shù)y=·與函數(shù)y=是否相等,并說明理由.
(1)解析 ①f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數(shù);②f(x)與g(x)的解析式不同,不是同一函數(shù);③f(x)=|x+3|,與g(x)的解析式不同,不是同一函數(shù);④f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數(shù);⑤f(x)與g(x)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系皆相同,故是同一函數(shù).
答案?、?
(2)解 不相等.對(duì)于函數(shù)y=·,由解得x≥1,故定義域?yàn)閧x|x≥1},對(duì)于函數(shù)y=,由(x+1)(x-1)≥0解得
8、x≥1或x≤-1,故定義域?yàn)閧x|x≥1或x≤-1},顯然兩個(gè)函數(shù)定義域不同,故不是相等函數(shù).
規(guī)律方法 判斷兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù)應(yīng)注意的三點(diǎn)
(1)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是相等函數(shù),即使定義域與值域都相同,也不一定是相等函數(shù).
(2)函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.
(3)在化簡(jiǎn)解析式時(shí),必須是等價(jià)變形.
【訓(xùn)練2】 判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù):
(1)f(x)=()2;g(x)=.
(2)f(x)=x2-2x-1;g(t)=t2-2t-1.
解 (1)由于函數(shù)f(x)=()2的定義域?yàn)閧x|x≥0},而g(
9、x)=的定義域?yàn)閧x|x∈R},它們的定義域不同,所以它們不表示同一函數(shù).
(2)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同,所以它們表示同一函數(shù).
題型三 求函數(shù)值
【例3】 已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值;
(2)求f[g(3)]的值.
解 (1)∵f(x)=,
∴f(2)==.
又∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.
(2)∵g(3)=32+2=11,
∴f[g(3)]=f(11)==.
規(guī)律方法 求函數(shù)值的方法及關(guān)注點(diǎn)
(1)方法:①已知f(x)的解析式時(shí),只需用a替換解析式中的x即得f(a
10、)的值;②求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.
(2)關(guān)注點(diǎn):用來替換解析式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值,否則函數(shù)無意義.
【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)=.
(1)求f(2);(2)求f[f(1)].
解 (1)∵f(x)=,∴f(2)==.
(2)f(1)==,f[f(1)]=f==.
考查方向
題型四 求函數(shù)的定義域
方向1 已知函數(shù)的解析式求函數(shù)的定義域
【例4-1】 求下列函數(shù)的定義域:
(1)y=-;(2)y=.
解 (1)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足
解得x≤1,且x≠-1,
即函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≤1,且x≠-1}.
(2)要使函
11、數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足
解得x≤5,且x≠±3,
即函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≤5,且x≠±3}.
規(guī)律方法 求函數(shù)定義域的實(shí)質(zhì)及結(jié)果要求
(1)求函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)是解不等式(組),即將滿足的條件轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題,要求把滿足條件的不等式列全.
(2)結(jié)果要求:定義域的表達(dá)形式可以是集合形式,也可以是區(qū)間形式.
方向2 求抽象函數(shù)的定義域
【例4-2】 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=,則f(x+1)等于什么?f(x+1)的定義域是什么?
(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,+∞),那么函數(shù)y=f(x+1)的定義域是什么?
解 (1)f(x+1)=.令x+1≥0,解得x
12、≥-1,所以f(x+1)=的定義域?yàn)閇-1,+∞).
(2)函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,+∞),所以令x+1≥0,解得x≥-1,所以函數(shù)y=f(x+1)的定義域是[-1,+∞).
【例4-3】 若函數(shù)y=f(x+1)的定義域是[1,2],根據(jù)函數(shù)定義域的定義,這里的“[1,2]”是指誰的取值范圍?使對(duì)應(yīng)關(guān)系f有意義的自變量t=x+1的范圍是什么?函數(shù)y=f(x)的定義域是什么?
解 這里的“[1,2]”是自變量x的取值范圍.因?yàn)閤∈[1,2],所以x+1∈[2,3],所以使對(duì)應(yīng)關(guān)系f有意義的自變量t=x+1的范圍是[2,3],所以函數(shù)y=f(x)的定義域是[2,3].
【例4-4】
13、 (1)已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-2,3],求函數(shù)y=f(2x-3)的定義域.
(2)已知函數(shù)y=f(2x-3)的定義域是[-2,3],求函數(shù)y=f(x+2)的定義域.
解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-2,3],即x∈[-2,3],函數(shù)y=f(2x-3)中2x-3的范圍與函數(shù)y=f(x)中x的范圍相同,所以-2≤2x-3≤3,解得≤x≤3,
所以函數(shù)y=f(2x-3)的定義域?yàn)?
(2)因?yàn)閤∈[-2,3],所以2x-3∈[-7,3],即函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-7,3],
令-7≤x+2≤3,解得-9≤x≤1,所以函數(shù)y=f(x+2)的定義域?yàn)閇-9,1].
14、
規(guī)律方法 兩類抽象函數(shù)的定義域的求法
(1)已知f(x)的定義域,求f(g(x))的定義域:若f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則f(g(x))中a≤g(x)≤b,從中解得x的取值集合即為f(g(x))的定義域.
(2)已知f(g(x))的定義域,求f(x)的定義域:若f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],即a≤x≤b,求得g(x)的取值范圍,g(x)的值域即為f(x)的定義域.
課堂達(dá)標(biāo)
1.下列圖象中表示函數(shù)圖象的是( )
解析 根據(jù)函數(shù)的定義,對(duì)任意的一個(gè)x都存在唯一的y與之對(duì)應(yīng),而A,B,D都是一對(duì)多,只有C是多對(duì)一.故選C.
答案 C
2.下列各組函數(shù)中表示同一
15、函數(shù)的是( )
A.f(x)=x與g(x)=()2
B.f(x)=|x|與g(x)=x(x>0)
C.f(x)=2x-1與g(x)=2x+1(x∈N*)
D.f(x)=與g(x)=x+1(x≠1)
解析 選項(xiàng)A,B,C中兩個(gè)函數(shù)的定義域均不相同,故選D.
答案 D
3.函數(shù)f(x)=+的定義域是________.
解析 ∵函數(shù)f(x)=+,∴解得x≥4,且x≠5.∴函數(shù)f(x)的定義域是[4,5)∪(5,+∞).
答案 [4,5)∪(5,+∞)
4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2),則f(x-1)的定義域?yàn)開_______.
解析 由題意知0
16、<3,故f(x-1)的定義域?yàn)?1,3).
答案 (1,3)
5.已知函數(shù)f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f;
(2)若f(x)=5,求x的值.
解 (1)f(2)=22+2-1=5,
f=+-1=.
(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,
∴x=2或x=-3.
課堂小結(jié)
1.函數(shù)的本質(zhì):兩個(gè)非空數(shù)集間的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.由于函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系一經(jīng)確定,值域隨之確定,所以判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等只須兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則一樣即可.
2.f(x)是函數(shù)符號(hào),f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系,f(x)表示x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,絕對(duì)不能理解為f與x的乘積.在不同的函數(shù)中f的具體含義不同,對(duì)應(yīng)關(guān)系可以是解析式、圖象、表格等.函數(shù)除了可用符號(hào)f(x)表示外,還可用g(x),F(xiàn)(x)等表示.