7、,t+1)內(nèi),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上就不單調(diào),由t<11,則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,故只要f(0)-f(1)≤1,即只要a2≤,即1<|a|≤;若|a|≤1,此時(shí)
8、f(x)min=f(|a|)=|a|3-a2|a|=-a2|a|,由于f(0)=0,f(1)=-a2,故當(dāng)|a|≤時(shí),f(x)max=f(1),此時(shí)只要-a2+a2|a|≤1即可,即a2≤,由于|a|≤,故|a|-1≤×-1<0,故此式成立;當(dāng)<|a|≤1時(shí),此時(shí)f(x)max=f(0),故只要a2|a|≤1即可,此不等式顯然成立.綜上,a的取值范圍是.
答案:
10.已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常數(shù).若存在實(shí)數(shù)k,使得關(guān)于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍.
解:令f′(x)=ex[x2+(a+2)x]=0,解得x=-(a+2
9、)或x=0.
當(dāng)-(a+2)≤0,即a≥-2時(shí),在區(qū)間[0,+∞)上,f′(x)≥0,所以f(x)是[0,+∞)上的增函數(shù),所以方程f(x)=k在[0,+∞)上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
當(dāng)-(a+2)>0,即a<-2時(shí),f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表:
x
0
(0,-(a+2))
-(a+2)
(-(a+2),+∞)
f′(x)
0
-
0
+
f(x)
-a
↘
↗
由上表可知函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的最小值為f(-(a+2))=.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是(0,-(a+2))上的減函數(shù),(-(a+2),+∞)上的增函數(shù),且當(dāng)x≥-a
10、時(shí),有f(x)≥e-a·(-a)>-a,又f(0)=-a.所以要使方程f(x)=k在[0,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,k的取值范圍是.
11.(2014·杭州模擬)天目山某景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益,現(xiàn)對(duì)某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級(jí),從而擴(kuò)大內(nèi)需,提高旅游增加值.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,旅游增加值y萬(wàn)元與投入x(x≥10)萬(wàn)元之間滿(mǎn)足:y=f(x)=ax2+x-bln,a,b為常數(shù).當(dāng)x=10萬(wàn)元時(shí),y=19.2萬(wàn)元;當(dāng)x=20萬(wàn)元時(shí),y=35.7萬(wàn)元.
(參考數(shù)據(jù):ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6)
(1)求f(x)的解析式;
(2)求該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游利潤(rùn)T(x)的最大值(利潤(rùn)=旅游
11、增加值-投入).
解:(1)由條件解得a=-,b=1,
則f(x)=-+x-ln(x≥10).
(2)由T(x)=f(x)-x=-+x-ln(x≥10),
得T′(x)=-+-=-.令T′(x)=0,得x=1(舍)或x=50.
當(dāng)x∈(10,50)時(shí),T′(x)>0,因此T(x)在(10,50)上是增函數(shù);
當(dāng)x∈(50,+∞)時(shí),T′(x)<0,因此T(x)在(50,+∞)上是減函數(shù).
則x=50為T(mén)(x)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn).即該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游利潤(rùn)T(x)的最大值為T(mén)(50)=24.4萬(wàn)元.
12.已知函數(shù)f(x)=ax+ln x,g(x)=ex.
(1)當(dāng)a≤0
12、時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式g(x)<有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)證明:當(dāng)a=0時(shí),|f(x)-g(x)|>2.
解:(1)f(x)的定義域是(0,+∞),f′(x)=a+(x>0),
當(dāng)a=0時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a<0時(shí),由f′(x)=0,解得x=-,則當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈時(shí),f′(0)<0,f(x)單調(diào)遞減,
綜上所述:當(dāng)a=0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)由題意:ex<有解,即ex
13、,+∞)上有解即可.設(shè)h(x)=x-ex,則h′(x)=1-ex-=1-ex,
因?yàn)椋? =>1,且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ex>1,所以1-ex<0,即h′(x)<0.故h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(x)0,所以m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.故m(x)>m(0)=1,
14、
又設(shè)n(x)=ln x-x,x∈(0,+∞),則n′(x)=-1,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),n′(x)>0,n(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),n′(x)<0,n(x)單調(diào)遞減,所以x=1為n(x)的最大值點(diǎn),[來(lái)源:
即n(x)≤n(1)=-1,故|f(x)-g(x)|=m(x)-n(x)>1-(-1)=2.
[沖擊名校]
設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax ,其中a為實(shí)數(shù).
(1)若f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范圍;
(2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.
15、
解:(1)令f′(x)=-a=<0,考慮到f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),故a>0,進(jìn)而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).同理,f(x)在(0,a-1)上是單調(diào)增函數(shù).
由于f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),故(1,+∞)?(a-1,+∞),從而a-1≤1,即a≥1.
令g′(x)=ex-a=0,得x=ln a.當(dāng)0ln a時(shí),g′(x)>0,
所以x=ln a是g(x)的極小值點(diǎn).又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以ln a>1,即a>e.
綜上,a的取值范圍為(e,+∞).
(2)當(dāng)a≤0時(shí),g(x)必為
16、單調(diào)增函數(shù);當(dāng)a>0時(shí),令g′(x)=ex-a>0,解得aln a,因?yàn)間(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),類(lèi)似(1)有l(wèi)n a≤-1,即00,得f(x)存在唯一的零點(diǎn).
(ⅱ)當(dāng)a<0時(shí),由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0,f(1)=-a>0,且函數(shù)f(x)在[ea,1]上的圖象不間斷,所以f(x)在(ea,1)上存在零點(diǎn).
另外,當(dāng)x>0時(shí),f′(x)=-a>0,故f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).
(ⅲ
17、)當(dāng)00,當(dāng)x>a-1時(shí),f′(x)<0,所以,x=a-1是f(x)的最大值點(diǎn),且最大值為f(a-1)=-ln a-1.
①當(dāng)-ln a-1=0,即a=e-1時(shí),f(x)有一個(gè)零點(diǎn)x=e.
②當(dāng)-ln a-1>0,即00,且函數(shù)f(x)在[e-1,a-1]上的圖象不間斷,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零點(diǎn).
另外,當(dāng)x∈(0,a-1)時(shí),f′(x)=-a>0,故f(x)在(0
18、,a-1)上是單調(diào)增函數(shù),所以f(x)在(0,a-1)上只有一個(gè)零點(diǎn).
下面考慮f(x)在(a-1,+∞)上的情況.先證f(ea-1)=a(a-2-ea-1)<0.為此,我們要證明:當(dāng)x>e時(shí),ex>x2.設(shè)h(x)=ex-x2,則h′(x)=ex-2x,再設(shè)l(x)=h′(x)=ex-2x,則l′(x)=ex-2.當(dāng)x>1時(shí),l′(x)=ex-2>e-2>0,所以l(x)=h′(x)在(1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).故當(dāng)x>2時(shí),h′(x)=ex-2x>h′(2)=e2-4>0,從而h(x)在(2,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),進(jìn)而當(dāng)x>e時(shí),h(x)=ex-x2>h(e)=ee-e2>0,即當(dāng)x>e時(shí),ex>x2.當(dāng)0e時(shí),f(ea-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)<0,又f(a-1)>0,且函數(shù)f(x)在[a-1,ea-1]上的圖象不間斷,所以f(x)在(a-1,ea-1)上存在零點(diǎn).又當(dāng)x>a-1時(shí),f′(x)=-a<0,故f(x)在(a-1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),所以f(x)在(a-1,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn).綜合(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ),當(dāng)a≤0或a=e-1時(shí),f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,當(dāng)0