《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第四章 :第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第四章 :第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)(3頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、▼▼▼2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料▼▼▼
第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示
【考綱下載】
1.了解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及坐標表示.
3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.
4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
1.兩個向量的夾角
(1)定義:
已知兩個非零向量a和b,作=a,=b,則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角.
(2)范圍:
向量夾角θ的范圍是[0,π],a與b同向時,夾角θ=0;a與b反向時,夾角θ=π.
(3)向量垂直:
如果向量a與b的夾角是,則a與b垂直,記作a⊥b.
2.平面向量基本
2、定理及坐標表示[來源:]
(1)平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
(2)平面向量的坐標表示:
①在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=xi+yj,這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a
3、在y軸上的坐標.
②設(shè)=xi+yj,則向量的坐標(x,y)就是A點的坐標,即若=(x,y),則A點坐標為(x,y),反之亦成立.(O是坐標原點)
3.平面向量的坐標運算
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a±b=(x1±x2,y1±y2);
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1);[來源:]
(3)若a=(x,y),則λa=(λx,λy);
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2=x2y1.
1.相等向量的坐標一定相同嗎?相等向量起點和終點坐標可以不同嗎?[來源:學(xué)§科§網(wǎng)]
提示:相等向量的坐
4、標一定相同,但是起點和終點的坐標可以不同.如A(3,5),B(6,8),則=(3,3);C(-5,3),D(-2,6),則=(3,3),顯然=,但A,B,C,D四點坐標均不相同.
2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件能表示成=嗎?
提示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件不能表示成=,因為x2,y2有可能等于0,所以應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0.同時,a∥b的充要條件也不能錯記為x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0等.
1.在正方形ABCD中,與的夾角是( )
A.90° B.45° C.135°
5、 D.0°
解析:選C 與的夾角為180°-45°=135°.
2.若向量a=(1,1),b=(-1,0),c=(6,4),則c=( )
A.4a-2b B.4a+2b
C.-2a+4b D.2a+4b
解析:選A 設(shè)c=λa+μb,則有(6,4)=(λ,λ)+(-μ,0)=(λ-μ,λ),即λ-μ=6,λ=4,從而μ=-2,故c=4a-2b.
3.已知a=(4,5),b=(8,y)且a∥b,則y等于( )[來源:]
A.5 B.10
C. D.15
解析:選
6、B ∵a∥b,∴4y=5×8,即y=10.
4.若A(0,1),B(1,2),C(3,4),則-2=________.
解析:∵A(0,1),B(1,2),C(3,4),[來源:]
∴=(1,1),=(2,2),
∴-2=(1,1)-(4,4)=(-3,-3).
答案:(-3,-3)
5.(教材習(xí)題改編)已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,則m=________.
解析:∵a+b=(1,m-1),c=(-1,2),且(a+b)∥c,
∴1×2=-(m-1),即2=-m+1,∴m=-1.
答案:-1
易誤警示(五)
平面向量
7、的坐標運算中的易誤點
用平面向量解決相關(guān)問題時,在便于建立平面直角坐標系的情況下建立平面直角坐標系,可以使向量的坐標運算更簡便一些.
[典例] (2013·北京高考)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),則=________.
[解題指導(dǎo)] 可建立平面直角坐標系,設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1,求出a,b,c的坐標,然后利用c=λa+μb即可求出λ和μ的值,從而使問題得以解決.
[解析] 以向量a和b的交點為坐標原點建立如圖所示的坐標系,令每個小正方形的邊長為1個單位,則A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b
8、==(6,2),c==(-1,-3).由c=λa+μb可得解得所以=4.
[答案] 4
[名師點評] 建立平面直角坐標系時,一般利用已知的垂直關(guān)系,或使較多的點落在坐標軸上,這樣解題會較簡便.
給定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為120°.如圖所示,點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.若=x+y,其中x,y∈R,則x+y的最大值是________.
解析:以O(shè)為坐標原點,OA所在的直線為x軸,的方向為x軸的正方向,建立平面直角坐標系,則可知A(1,0),B,設(shè)C(cos α,sin α),則有x=cos α+sin α,y=sin α,所以x+y=cos α+sin α=2sin,所以當α=時,x+y取得最大值2.
答案:2
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品