新編人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.3 拋 物 線(xiàn) 課時(shí)提升作業(yè)十七 2.3.2.2 含解析

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 課時(shí)提升作業(yè)(十七) 拋物線(xiàn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.拋物線(xiàn)y=14x2的焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x-y-1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是　(　　) A.(2,-1)　　　　　　 B.(1,-1) C.14,-14 D.116,-116 【解析】選A.y=14x2?x2=4y,焦點(diǎn)為(0,1),其關(guān)于x-y-1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2,-1). 2.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為12,E的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,點(diǎn)A,B是C的準(zhǔn)線(xiàn)與E的兩個(gè)交點(diǎn),則AB=(　　) A.3

2、 B.6 C.9 D.12 【解析】選B.設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),右焦點(diǎn)為(c,0),依題意得c=2,ca=12,解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以橢圓E的方程為x216+y212=1,因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C:y2=8x的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-2,將x=-2代入到x216+y212=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故AB=6. 3.已知拋物線(xiàn)C:x2=12y,過(guò)點(diǎn)A(0,-1)和點(diǎn)B(t,3)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C沒(méi)有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是　(　　) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.-∞,-22∪22,+∞ C.(-∞,-22)

3、∪(22,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 【解析】選D.顯然t≠0,直線(xiàn)AB的方程為y=4tx-1,代入拋物線(xiàn)方程得2tx2-4x+t=0. 由題意Δ=16-8t2<0,解得t<-2或t>2. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)拋物線(xiàn)y2=8x的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)Q,若過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn),則直線(xiàn)斜率的取值范圍是　(　　) A.-12,12 B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] 【解析】選C.準(zhǔn)線(xiàn)x=-2,Q(-2,0),設(shè)y=k(x+2), 由y=k(x+2),y2=8x得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0, 當(dāng)k=0時(shí),x=0,即交點(diǎn)為(0

4、,0),當(dāng)k≠0時(shí),Δ≥0, -1≤k<0或0

5、23=43. 5.(2015·成都高二檢測(cè))將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上,另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)記為n,則　(　　) A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3 【解題指南】借助拋物線(xiàn)及正三角形的對(duì)稱(chēng)性求解本題,注意數(shù)形結(jié)合. 【解析】選C.根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)一定關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),且過(guò)焦點(diǎn)的兩條直線(xiàn)傾斜角分別為30°和150°,如圖,所以正三角形的個(gè)數(shù)n=2. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.沿直線(xiàn)y=-2發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)y2=ax反射后,與x軸相交于點(diǎn)A(2,0),則拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為　　　　(

6、拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì):從焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后與軸平行). 【解析】由直線(xiàn)y=-2平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸知A(2,0)為焦點(diǎn),故準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-2. 答案:x=-2 7.直線(xiàn)y=x-1被拋物線(xiàn)y2=4x截得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)是　　　　. 【解析】設(shè)直線(xiàn)y=x-1與拋物線(xiàn)y2=4x交于A(x1,y1), B(x2,y2),其中點(diǎn)為P(x0,y0), 由題意得y=x-1,y2=4x, 消去y,整理得(x-1)2=4x,即x2-6x+1=0. 所以x0=x1+x22=3,y0=x0-1=2.所以P(3,2). 答案:(3,2) 【一題多解】y22=4x2,y12=4x1,y22-y1

7、2=4x2-4x1,(y2-y1)·(y2+y1)x2-x1=4. 所以y1+y2=4,即y0=2,因此x0=y0+1=3.故中點(diǎn)為P(3,2). 答案:(3,2) 8.(2015·吉林高二檢測(cè))已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)為l,過(guò)M(1,0)且斜率為3的直線(xiàn)與l相交于點(diǎn)A,與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為B,若AM→=MB→,則p=　　　　. 【解析】由題知準(zhǔn)線(xiàn)l為x=-p2(p>0), 過(guò)點(diǎn)M且斜率為3的直線(xiàn)為y=3(x-1), 則A-p2,3-p2-1, 設(shè)B(x,0),由AM→=MB→可知 M為AB的中點(diǎn),又M(1,0), 所以-p2+x=2,3-p2-1+y=0,

8、即x=2+p2,y=3p2+1, 代入y2=2px可知, p2+4p-12=0, 即p=2或p=-6(舍去). 答案:2 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.如圖,直線(xiàn)l:y=x+b與拋物線(xiàn)C:x2=4y相切于點(diǎn)A. (1)求實(shí)數(shù)b的值. (2)求以點(diǎn)A為圓心,且與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程. 【解題指南】利用直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切,聯(lián)立方程,由Δ=0求實(shí)數(shù)b的值;由直線(xiàn)與圓相切求圓的方程. 【解析】(1)由y=x+b,x2=4y,得x2-4x-4b=0.(*) 因?yàn)橹本€(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切, 所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0. 解得b=-1. (2)由

9、(1)可知b=-1,故方程(*)為x2-4x+4=0. 解得x=2,代入x2=4y,得y=1, 故點(diǎn)A(2,1). 因?yàn)閳AA與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切, 所以圓A的半徑r就等于圓心A到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)y=-1的距離, 即r=|1-(-1)|=2, 所以圓A的方程為(x-2)2+(y-1)2=4. 10.(2015·濟(jì)南高二檢測(cè))如圖,已知點(diǎn)P(-3,0),點(diǎn)Q在x軸上,點(diǎn)A在y軸上,且PA→·AQ→=0,QM→=2AQ→.當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程. 【解題指南】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),利用PA→·AQ→=0,QM→=2AQ→,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程. 【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)

10、,A(0,b),Q(a,0), 因?yàn)镻(-3,0), 所以PA→=(3,b),AQ→=(a,-b),QM→=(x-a,y), 因?yàn)镻A→·AQ→=0, 所以(3,b)·(a,-b)=0,即3a-b2=0.① 因?yàn)镼M→=2AQ→, 所以(x-a,y)=2(a,-b),即x=3a,y=-2b.② 由①②得y2=4x. 所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2=4x. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】若動(dòng)點(diǎn)P在y=2x2+1上移動(dòng),求點(diǎn)P與Q(0,-1)連線(xiàn)中點(diǎn)的軌跡方程. 【解析】設(shè)PQ中點(diǎn)為M(x,y),P(x0,y0), 則x=x0+02,y=y0-12,所以x0=2x,y0=2y+1. 又因?yàn)閥0=

11、2x02+1,所以2y+1=8x2+1. 即y=4x2為所求的軌跡方程. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2014·遼寧高考)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線(xiàn)C:y2=2px的準(zhǔn)線(xiàn)上,過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線(xiàn)BF的斜率為　(　　) A.12　　　　B.23　　　　C.34　　　　D.43 【解題指南】由直線(xiàn)與C相切求B點(diǎn)的坐標(biāo),由斜率公式求直線(xiàn)BF的斜率. 【解析】選D.因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C:y2=2px的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-p2,且點(diǎn)A(-2,3)在準(zhǔn)線(xiàn)上,所以p=4.設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x+2=m(y-3),與拋物線(xiàn)方程y2=8x

12、聯(lián)立得到y(tǒng)2-8my+24m+16=0,由題易知Δ=0,解得m=-12(舍)或m=2,這時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,8),而焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),故直線(xiàn)BF的斜率kBF=8-08-2=43. 2.(2014·四川高考)已知F為拋物線(xiàn)y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線(xiàn)上且位于x軸的兩側(cè),OA→·OB→=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是　(　　) A.2 B.3 C.1728 D.10 【解析】選B.由題意可知,F14,0.設(shè)A(y12,y1),B(y22,y2), 所以O(shè)A→·OB→=y1y2+y12y22=2, 解得y1y2=1或y1y2=

13、-2.又因?yàn)锳,B兩點(diǎn)位于x軸兩側(cè),所以y1y2<0,即y1y2=-2. 當(dāng)y12≠y22時(shí),AB所在直線(xiàn)方程為y-y1=y1-y2y12-y22(x-y12)=1y1+y2(x-y12), 令y=0,得x=-y1y2=2,即直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)C(2,0). 于是S△ABO+S△AFO=S△ACO+S△BCO+S△AFO=12×2|y1|+12×2|y2|+12×14|y1|=18×(9|y1|+8|y2|)≥18×29|y1|×8|y2|=3,當(dāng)且僅當(dāng)9|y1|=8|y2|且y1y2=-2時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)y12=y22時(shí),取y1=2,y2=-2,則AB所在直線(xiàn)的方程為x=2,此時(shí)求得S△A

14、BO+S△AFO=2×12×2×2+12×14×2=1728.而1728>3,故最小值為3. 【誤區(qū)警示】本題在求解時(shí)常因忽略條件“點(diǎn)A,B在該拋物線(xiàn)上且位于x軸的兩側(cè)”導(dǎo)致解題錯(cuò)誤. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.平面上有三個(gè)點(diǎn)A(-2,y),B0,y2,C(x,y),若AB⊥BC,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為　　　　. 【解析】AB→=0,y2-(-2,y)=2,-y2,BC→=(x,y)-0,y2=x,y2.因?yàn)锳B⊥BC,所以AB→·BC→=0,所以2,-y2·x,y2=0,即y2=8x.所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為y2=8x. 答案:y2=8x 4.(2015·漳州高二檢測(cè))

15、已知過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x焦點(diǎn)的一條弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),則1y1+1y2=　　　　. 【解析】弦AB是過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)的弦,又過(guò)點(diǎn)(0,2), 所以其方程為x+y2=1, 2x+y-2=0與y2=4x聯(lián)立得 y2+2y-4=0,y1+y2=-2,y1y2=-4, 1y1+1y2=y1+y2y1·y2=-2-4=12. 答案:12 【補(bǔ)償訓(xùn)練】線(xiàn)段AB是拋物線(xiàn)y2=x的一條焦點(diǎn)弦,且|AB|=4,則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C到直線(xiàn)x+12=0的距離是　　　　. 【解析】線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C到準(zhǔn)線(xiàn)x=-14的距離為|AB|長(zhǎng)的一半,

16、則中點(diǎn)C到直線(xiàn)x+12=0的距離為94. 答案:94 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.如圖,過(guò)拋物線(xiàn)y2=x上一點(diǎn)A(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)AB,AC,交拋物線(xiàn)于B,C兩點(diǎn),求證:直線(xiàn)BC的斜率是定值. 【證明】設(shè)kAB=k(k≠0), 因?yàn)橹本€(xiàn)AB,AC的傾斜角互補(bǔ), 所以kAC=-k(k≠0), AB的方程是y=k(x-4)+2. 由方程組y=k(x-4)+2,y2=x, 消去y后,整理得 k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0. 因?yàn)锳(4,2),B(xB,yB)的橫坐標(biāo)是上述方程的解, 所以4·xB=16k2-16

17、k+4k2, 即xB=4k2-4k+1k2. 以-k代換xB中的k,得xC=4k2+4k+1k2, 所以kBC=yB-yCxB-xC=k(xB-4)+2-[-k(xC-4)+2]xB-xC =k(xB+xC-8)xB-xC=k8k2+2k2-8-8kk2=-14. 所以直線(xiàn)BC的斜率是定值. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,已知△AOB的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線(xiàn)y2=2x的頂點(diǎn)O,A,B兩點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上,且∠AOB=90°. (1)證明直線(xiàn)AB必過(guò)一定點(diǎn). (2)求△AOB面積的最小值. 【解析】(1)設(shè)OA所在直線(xiàn)的方程為y=kx(k≠0),則直線(xiàn)OB的方程為y=-1kx, 由y=kx,y

18、2=2x,解得x=0,y=0或x=2k2,y=2k, 即A點(diǎn)的坐標(biāo)為2k2,2k. 同理由y=-1kx,y2=2x, 解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2k2,-2k). 所以AB所在直線(xiàn)的方程為y+2k=2k+2k2k2-2k2(x-2k2), 化簡(jiǎn)并整理,得1k-ky=x-2. 不論實(shí)數(shù)k取任何不等于0的實(shí)數(shù),當(dāng)x=2時(shí),恒有y=0. 故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P(2,0). (2)由于AB所在直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P(2,0),所以可設(shè)AB所在直線(xiàn)的方程為x=my+2. 由x=my+2,y2=2x,消去x并整理得y2-2my-4=0. 所以y1+y2=2m,y1y2=-4. 于是|y1-y2|=(y1-y2

19、)2=(y1+y2)2-4y1y2=(2m)2+16=2m2+4. S△AOB=12×|OP|×(|y1|+|y2|) =12|OP|·|y1-y2|=12×2×2m2+4=2m2+4. 所以當(dāng)m=0時(shí),△AOB的面積取得最小值為4. 6.(2014·安徽高考)如圖,已知兩條拋物線(xiàn)E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),過(guò)原點(diǎn)O的兩條直線(xiàn)l1和l2,l1與E1,E2分別交于A1,A2兩點(diǎn),l2與E1,E2分別交于B1,B2兩點(diǎn). (1)證明:A1B1∥A2B2. (2)過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)l(異于l1,l2)與E1,E2分別交于C1,C2兩點(diǎn).記△A1B1C1

20、與△A2B2C2的面積分別為S1與S2,求S1S2的值. 【解題指南】(1)設(shè)出兩條直線(xiàn)的方程,聯(lián)立拋物線(xiàn)方程,求出點(diǎn)A1,A2,B1,B2的坐標(biāo),利用向量證明平行關(guān)系. (2)利用兩個(gè)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行求解. 【解析】(1)設(shè)直線(xiàn)l1,l2的方程分別為y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0), 則由y=k1x,y2=2p1x,?A12p1k12,2p1k1, 由y=k1x,y2=2p2x,?A22p2k12,2p2k1, 同理可得B12p1k22,2p1k2,B22p2k22,2p2k2, 所以A1B1→=2p1k22-2p1k12,2p1k2-2p1k1 =2p11k22-1k12,1k2-1k1, A2B2→=2p2k22-2p2k12,2p2k2-2p2k1 =2p21k22-1k12,1k2-1k1, 故A1B1→=p1p2A2B2→,所以A1B1∥A2B2. (2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,A1C1∥A2C2,所以△A1B1C1相似于 △A2B2C2, 因此S1S2=|A1B1→||A2B2→|2,又由(1)中的A1B1→=p1p2A2B2→知|A1B1→||A2B2→|=p1p2,故S1S2=p12p22. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊