【學(xué)案】直接開(kāi)平方法

上傳人:沈*** 文檔編號(hào):64107218 上傳時(shí)間:2022-03-21 格式:DOC 頁(yè)數(shù):5 大小:94.51KB
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1、 22.2.1 直接開(kāi)平方法 教學(xué)內(nèi)容 運(yùn)用直接開(kāi)平方法,即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程. 教學(xué)目標(biāo) 理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,并能應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題. 提出問(wèn)題,列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+c=0,根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程,然后知識(shí)遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程. 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1.重點(diǎn):運(yùn)用開(kāi)平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;領(lǐng)會(huì)降次──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 2.難點(diǎn)與關(guān)鍵:通過(guò)根據(jù)平方根的意義解形如x2=n,知識(shí)遷

2、移到根據(jù)平方根的意義解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程. 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng):請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題 問(wèn)題1.填空 (1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2. 問(wèn)題2.如圖,在△ABC中,∠B=90°,點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始,沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始,沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng),如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā),幾秒后△PBQ的面積等于8cm2?

3、 老師點(diǎn)評(píng): 問(wèn)題1:根據(jù)完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)()2 . 問(wèn)題2:設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm2 則PB=x,BQ=2x 依題意,得:x·2x=8 x2=8 根據(jù)平方根的意義,得x=±2 即x1=2,x2=-2 可以驗(yàn)證,2和-2都是方程x·2x=8的兩根,但是移動(dòng)時(shí)間不能是負(fù)值. 所以2秒后△PBQ的面積等于8cm2. 二、探索新知 上面我們已經(jīng)講了x2=8,根據(jù)平方根的意義,直接開(kāi)平方得x=±2,如果x換元為2t+1,即(2

4、t+1)2=8,能否也用直接開(kāi)平方的方法求解呢? (學(xué)生分組討論) 老師點(diǎn)評(píng):回答是肯定的,把2t+1變?yōu)樯厦娴膞,那么2t+1=±2 即2t+1=2,2t+1=-2 方程的兩根為t1=-,t2=-- 例1:解方程:x2+4x+4=1 分析:很清楚,x2+4x+4是一個(gè)完全平方公式,那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x+2)2=1. 解:由已知,得:(x+2)2=1 直接開(kāi)平方,得:x+2=±1 即x+2=1,x+2=-1 所以,方程的兩根x1=-1,x2=-3 例2.市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積

5、由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面積增長(zhǎng)率. 分析:設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x.一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面積就應(yīng)該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2 解:設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x, 則:10(1+x)2=14.4 (1+x)2=1.44 直接開(kāi)平方,得1+x=±1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的兩根是x1=0.2=20%,x2=-2.2 因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長(zhǎng)率應(yīng)為正的,因此,x2=-2.2應(yīng)舍去.

6、 所以,每年人均住房面積增長(zhǎng)率應(yīng)為20%. (學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問(wèn):解一元二次方程,它們的共同特點(diǎn)是什么? 共同特點(diǎn):把一個(gè)一元二次方程“降次”,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.我們把這種思想稱(chēng)為“降次轉(zhuǎn)化思想”. 三、鞏固練習(xí) 教材P36 練習(xí). 四、應(yīng)用拓展 例3.某公司一月份營(yíng)業(yè)額為1萬(wàn)元,第一季度總營(yíng)業(yè)額為3.31萬(wàn)元,求該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率是多少? 分析:設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為x,那么二月份的營(yíng)業(yè)額就應(yīng)該是(1+x),三月份的營(yíng)業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長(zhǎng)的,應(yīng)是(1+x)2.

7、 解:設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為x. 那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31 把(1+x)當(dāng)成一個(gè)數(shù),配方得: (1+x+)2=2.56,即(x+)2=2.56 x+=±1.6,即x+=1.6,x+=-1.6 方程的根為x1=10%,x2=-3.1 因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率為正數(shù), 所以該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為10%. 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握: 由應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±,達(dá)

8、到降次轉(zhuǎn)化之目的. 六、布置作業(yè) 1.教材P45 復(fù)習(xí)鞏固1、2. 2.選用作業(yè)設(shè)計(jì): 一、選擇題 1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分別是( ). A.p=4,q=2 B.p=4,q=-2 C.p=-4,q=2 D.p=-4,q=-2 2.方程3x2+9=0的根為( ). A.3 B.-3 C.±3 D.無(wú)實(shí)數(shù)根 3.用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是( ). A.(x-)2=,x=± B.

9、(x-)2=-,原方程無(wú)解 C.(x-)2=,x1=+,x2= D.(x-)2=1,x1=,x2=- 二、填空題 1.若8x2-16=0,則x的值是_________. 2.如果方程2(x-3)2=72,那么,這個(gè)一元二次方程的兩根是________. 3.如果a、b為實(shí)數(shù),滿(mǎn)足+b2-12b+36=0,那么ab的值是_______. 三、綜合提高題 1.解關(guān)于x的方程(x+m)2=n. 2.某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng),雞場(chǎng)的一邊靠墻(墻長(zhǎng)25m),另三邊用木欄圍成,木欄長(zhǎng)

10、40m. (1)雞場(chǎng)的面積能達(dá)到180m2嗎?能達(dá)到200m嗎? (2)雞場(chǎng)的面積能達(dá)到210m2嗎? 3.在一次手工制作中,某同學(xué)準(zhǔn)備了一根長(zhǎng)4米的鐵絲,由于需要,現(xiàn)在要制成一個(gè)矩形方框,并且要使面積盡可能大,你能幫助這名同學(xué)制成方框,并說(shuō)明你制作的理由嗎? 答案: 一、1.B 2.D 3.B 二、1.± 2.9或-3 3.-8 三、1.當(dāng)n≥0時(shí),x+m=±,x1=-m,x2=--m.當(dāng)n<0時(shí),無(wú)解 2.(1)都能達(dá)到.設(shè)寬為x,則長(zhǎng)為40-2x, 依題意,得:x(40-2x)=180 整理,得:x2-20x+90=0,x1=10+,x2=10-; 同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,長(zhǎng)為40-20=20. (2)不能達(dá)到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0, b2-4ac=400-410=-10<0,無(wú)解,即不能達(dá)到. 3.因要制矩形方框,面積盡可能大, 所以,應(yīng)是正方形,即每邊長(zhǎng)為1米的正方形. 5 學(xué)習(xí)是一件快樂(lè)的事情,大家下載后可以自行修改

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