新編高考數(shù)學復習：第四章 ：第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用 【考綱下載】 1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系． 2．掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．[來源:] 3．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系． 4．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題． 1．平面向量的數(shù)量積 平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cos θ 叫做a和b的數(shù)量積(或內積)，記作a·b

2、.即a·b＝|a||b|cos θ，規(guī)定0·a＝0. 2．向量數(shù)量積的運算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．平面向量數(shù)量積的有關結論 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 結論[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充[來源:] 要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 　　 1．若a·b＝a·c，則b＝c嗎？為什么？ 提示：不一定．a(chǎn)＝0時不成立，另外a≠0時，

3、由數(shù)量積概念可知b與c不能確定． 2．等式(a·b)c＝a(b·c)成立嗎？為什么？ 提示：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，當a與c不共線時它們必不相等． 3．|a·b|與|a|·|b|的大小之間有什么關系？ 提示：|a·b|≤|a|·|b|.因為a·b＝|a||b|cos θ，所以|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a|·|b|. 1．已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，則a與b的夾角為(　　) A.　 B. C. D. 解析：選B　設a與b的夾角

4、為θ， 則a·b＝|a||b|cos θ＝5×4cos θ＝－10，即cos θ＝－. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，則x＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 解析：選D　∵a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1， ∴2－x＝1，即x＝1. 3．設向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，則|a＋2b|＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　|a＋2b|＝＝＝ ＝. 4．(2013·新課標全國卷Ⅰ)已知兩個單位向

5、量a，b的夾角為60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝________. 解析：因為向量a，b為單位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夾角為60°，所以a·b＝，由b·c＝0，得b·[t a＋(1－t)b]＝0，即t a·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2. 答案：2 5．(2013·新課標全國卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則·＝________. 解析：選向量的基底為，，則＝－，＝＋，那么·＝·(－)＝2. 答案：2 前沿熱點(五) 與平面向量有關的交匯問題 1．平面向量的數(shù)量積是每年高考的重點和熱點

6、內容，且常與三角函數(shù)、數(shù)列、三角形、解析幾何等交匯命題，且?？汲Ｐ拢? 2．此類問題的解題思路是轉化為代數(shù)運算，其轉化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用平面向量數(shù)量積的公式和性質． [典例]　(2013·安徽高考)在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A，B滿足||＝||＝·＝2，則點集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 [解題指導]　根據(jù)條件||＝||＝·＝2，可設A(2,0)，B(1，)，＝(x，y)．利用＝λ＋μ，以及|λ|＋|μ|≤1建

7、立關于x，y的不等式，從而將問題轉化為線性規(guī)劃問題求解． [解析]　由||＝||＝||·||＝2，知 〈，〉＝.[來源:] 設＝(2,0)，＝(1，)，＝(x，y)， 則解得 由|λ|＋|μ|≤1，得|x－y|＋|2y|≤2. 作可行域如圖． 則所求面積S＝2××4×＝4. [答案]　D [名師點評]　解決本題的關鍵有以下幾點： (1)根據(jù)已知條件，恰當設出A，B兩點的坐標，將其轉化為向量的坐標運算，這是解決此題的突破口． (2)正確列出λ及μ關于x，y的不等式組． (3)準確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，并算得面積． 已知兩點M(－3,0)，N(3,0)，點P為坐標平面內一動點，且||·||＋·＝0，則動點P(x，y)到點M(－3,0)的距離d的最小值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：選B　因為M(－3,0)，N(3,0)，所以＝(6,0)，||＝6，＝(x＋3，y)，＝(x－3，y)． 由||·||＋·＝0，得6＋6(x－3)＝0，化簡得y2＝－12x，所以點M是拋物線y2＝－12x的焦點，所以點P到點M的距離的最小值就是原點到M(－3,0)的距離，所以dmin＝3.