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1、21.2.1 直接開平方法
教學內容
運用直接開平方法,即根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程“降次”,轉化為兩個一元一次方程.
教學目標
知識與技能
理解一元二次方程“降次”──轉化的數(shù)學思想,并能應用它解決一些具體問題.
過程與方法
提出問題,列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0,根據(jù)平方根的意義解出這個方程,然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
情感態(tài)度與價值觀
歷由事實問題中抽象出一元二次方程等有關概念的過程,使同學們體會到通過一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系的一個有效數(shù)學模型;經(jīng)歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程,使同
2、學們體會到轉化等數(shù)學思想;經(jīng)歷設置豐富的問題情景,使學生體會到建立數(shù)學模型解決實際問題的過程,從而更好地理解方程的意義和作用,激發(fā)學生的學習興趣.
重、難點
1.重點:運用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;領會降次──轉化的數(shù)學思想.
2.難點:通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n,知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
教學過程
一、復習引入
學生活動:請同學們完成下列各題
問題1.填空
(1)x2-8x+______=(x-______)2;
(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;
(3)x2+
3、px+_____=(x+______)2.
問題2.如圖,在△ABC中,∠B=90°,點P從點B開始,沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動,點Q從點B開始,沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都從B點同時出發(fā),幾秒后△PBQ的面積等于8cm2?
老師點評:
問題1:根據(jù)完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;
(3)()2.
問題2:設x秒后△PBQ的面積等于8cm2
則PB=x,BQ=2x
依題意,得:x·2x=8
x2=8
根據(jù)平方根的意義,得x=±2
即x1=2,x2=-2
可以驗證,2和-2都是
4、方程x·2x=8的兩根,但是移動時間不能是負值.
所以2秒后△PBQ的面積等于8cm2.
二、探索新知
上面我們已經(jīng)講了x2=8,根據(jù)平方根的意義,直接開平方得
x=±2,如果x換元為2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接開平方的方法求解呢?
(學生分組討論)
老師點評:回答是肯定的,把2t+1變?yōu)樯厦娴膞,
那么2t+1=±2
即2t+1=2,2t+1=-2
方程的兩根為t1=-,t2=--
例1:解方程:x2+4x+4=1
分析:很清楚,x2+4x+4是一個完全平方公式,那么原方程就轉化為(x+2)2=1.
解:由已知,得:(x+2)2=1
直接開平方,得:
5、x+2=±1
即x+2=1,x+2=-1
所以,方程的兩根x1=-1,x2=-3
例2.市政府計劃2年內將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面積增長率.
分析:設每年人均住房面積增長率為x.一年后人均住房面積就應該是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面積就應該是
10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:設每年人均住房面積增長率為x,
則:10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接開平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的兩根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因為每年
6、人均住房面積的增長率應為正的,因此,x2=-2.2應舍去.
所以,每年人均住房面積增長率應為20%.
(學生小結)老師引導提問:解一元二次方程,它們的共同特點是什么?
共同特點:把一個一元二次方程“降次”,轉化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉化思想”.
三、鞏固練習
教材P6練習.
四、應用拓展
例3.某公司一月份營業(yè)額為1萬元,第一季度總營業(yè)額為3.31萬元,求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少?
分析:設該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x,那么二月份的營業(yè)額就應該是(1+x),三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎上再增長的,應是(1+x)2.
解:設該公司二
7、、三月份營業(yè)額平均增長率為x.
那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31
把(1+x)當成一個數(shù),配方得:
(1+x+)2=2.56,即(x+)2=2.56
x+=±1.6,即x+=1.6,x+=-1.6
方程的根為x1=10%,x2=-3.1
因為增長率為正數(shù),
所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%.
五、歸納小結
本節(jié)課應掌握:
由應用直接開平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±轉化為應用直接開平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±,達到降次轉化之目的.
六、布置作業(yè)
1.教材P16復習鞏固1.
2.選用作業(yè)設計:
4
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