《新編數(shù)學人教A版必修4 第二章 平面向量 單元測試2 含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編數(shù)學人教A版必修4 第二章 平面向量 單元測試2 含解析(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、新編人教版精品教學資料
(時間:100分鐘,滿分:120分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是正確的)
1.+-+化簡后等于( )
A.3 B.
C. D.
解析:選B.原式=(+)+(-)=(-)+(+)=0=,故選B.
2.已知i=(1,0),j=(0,1),則與2i+3j垂直的向量是( )
A.3i+2j B.-2i+3j
C.-3i+2j D.2i-3j
解析:選C.2i+3j=(2,3),C中-3i+2j=(-3,2).因為2×(-3)+3×2=0,所以2i+3j與-3i+
2、2j垂直.
3.下列說法正確的是( )
A.兩個單位向量的數(shù)量積為1
B.若a·b=a·c,且a≠0,則b=c
C.=-
D.若b⊥c,則(a+c)·b=a·b
解析:選D.A中,兩向量的夾角不確定,故A錯;B中,若a⊥b,a⊥c,b與c反方向,則不成立,故B錯;C中,應為=-,故C錯;D中,因為b⊥c,所以b·c=0,所以(a+c)·b=a·b+c·b=a·b,故D正確.
4.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b與4b-2a平行,則實數(shù)x的值是( )
A.-2 B.0
C.1 D.2
解析:選D.因為a=(1,1),b=(2,x),所以a+b=(3
3、,x+1),4b-2a=(6,4x-2),由于a+b與4b-2a平行,得6(x+1)-3(4x-2)=0,解得x=2.
5.已知兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是( )
A.a(chǎn)∥b B.a(chǎn)⊥b
C.|a|=|b| D.a(chǎn)+b=a-b
解析:選B.因為|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a·b=0,所以a⊥b,選B.
6.已知向量a=(3,4),b=(-3,1),a與b的夾角為θ,則tan θ等于( )
A. B.-
C.3 D.-3
解析:選D.由題意,得a·b=3×(-3)+4×1=-5,|a|=5,|b|=,
4、
則cos θ===-.
∵θ∈[0,π],∴sin θ==,
∴tan θ==-3.
7.已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,則頂點D的坐標為( )
A.(2,) B.(2,-)
C.(3,2) D.(1,3)
解析:選A.設(shè)D(x,y),
則=(4,3),=(x,y-2).又=2,
故解得
8.兩個大小相等的共點力F1,F(xiàn)2,當它們的夾角為90°時,合力的大小為20 N,則當它們的夾角為120°時,合力的大小為( )
A.40 N B.10 N
C.20 N D. N
解析:選B.對于兩個大小相等的
5、共點力F1,F(xiàn)2,當它們的夾角為90°,合力的大小為20 N時,由三角形法則可知,這兩個力的大小都是10 N;當它們的夾角為120°時,由三角形法則可知力的合成構(gòu)成一個等邊三角形,因此合力的大小為10 N.
9.A,B,C,D為平面上四個互異點,且滿足(+-2)·(-)=0,則△ABC的形狀是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
解析:選B.∵(+-2)·(-)
=(-+-)·(-)
=(+)·(-)=2-2=0,
∴||=||,∴△ABC為等腰三角形.
10.在平面直角坐標系中,若O為坐標原點,則A,B,C三點在同一直線上的等價
6、條件為存在唯一的實數(shù)λ,使得=λ+(1-λ)成立,此時稱實數(shù)λ為“向量關(guān)于和的終點共線分解系數(shù)”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),且向量與向量a=(1,1)垂直,則“向量關(guān)于和的終點共線分解系數(shù)”為( )
A.-3 B.3
C.1 D.-1
解析:選D.設(shè)=(x,y),則由⊥a知x+y=0,
于是=(x,-x),
設(shè)=λ+(1-λ),
(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3),∴λ=-1.
二、填空題(本大題共5小題,每小題4分,共20分.把答案填在題中橫線上)
11.已知點A(-1,-5),a=(2,3),若=3a,則點B的坐標為________.
7、
解析:設(shè)B(x,y),(x+1,y+5)=3(2,3),
解得
答案:(5,4)
12.設(shè)e1,e2是兩個不共線的向量,a=3e1+4e2,b=e1-2e2.若以a,b為基底表示向量e1+2e2,即e1+2e2=λa+μb,則λ+μ=________.
解析:由a=3e1+4e2,b=e1-2e2,
得e1=a+b,e2=a-b,
∴e1+2e2=a-b,即λ+μ=-=.
答案:
13.向量a=(1,2),b=(-1,m),向量a,b在直線y=x+1上的投影相等,則向量b=________.
解析:直線y=x+1的方向向量為c=(1,1),則可知=,則a·c=b·c,所以
8、1+2=-1+m,解得m=4,所以b=(-1,4).
答案:(-1,4)
14. 如圖所示,在正方形ABCD中,已知||=2,若N為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點,則·的最大值是________.
解析:∵·=||·||·cos∠BAN,||·cos∠BAN表示在方向上的投影.又||=2,∴·的最大值是4.
答案:4
15.設(shè)向量a,b滿足:|a|=3,|b|=4,a·b=0,以a,b,a-b的模為邊長構(gòu)成三角形,則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為________.
解析:由題意可知該三角形為直角三角形,其內(nèi)切圓半徑恰好為1,它與半徑為1的圓最多有4個交點.
答案:4
9、
三、解答題(本大題共5小題,每小題10分,共50分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
16.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求|a+b|;
(2)求向量a在向量a+b方向上的投影.
解:(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,
∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
∵|a|=4,|b|=3,∴a·b=-6.
∴|a+b|===.
(2)∵a·(a+b)=|a|2+a·b=42-6=10.
∴向量a在向量a+b方向上的投影為==.
17.已知向量a與b的夾角為θ,|a|=2,|b|=.
(1)當a∥b時,求
10、(a-b)·(a+2b)的值;
(2)當θ=時,求|2a-b|+(a+b)·(a-b)的值;
(3)定義ab=|a|2-a·b,若ab≥7,求θ的取值范圍.
解:(1)∵a∥b,∴cos θ=±1.
∴(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2|b|2
=-2+2cos θ=-2±2.
(2)∵|2a-b|2=4|a|2-4a·b+|b|2=16-4×2××cos +3=31,∴|2a-b|=,
又(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=1,
∴|2a-b|+(a+b)·(a-b)=+1.
(3)∵ab=|a|2-a·b=4-×2×cos θ≥7,
∴cos
11、θ≤-,
又θ∈[0,π],∴θ∈[,π].
18.在△OAB的邊OA,OB上分別有一點P,Q,已知OP∶PA=1∶2,OQ∶QB=3∶2,連接AQ,BP,設(shè)它們交于點R,若=a,=b.
(1)用a與b表示;
(2)若|a|=1,|b|=2,a與b夾角為60°,過R作RH⊥AB交AB于點H,用a,b表示.
解:(1)==a,=b,
由A,R,Q三點共線,可設(shè)=m.
故=+=a+m=a+m(-)
=a+m(b-a)=(1-m)a+mb.
同理,由B,R,P三點共線,可設(shè)=n.
故=+=b+n(-)=a+(1-n)b.
由于a與b不共線,則有解得
∴=a+b.
(2)由A
12、,H,B三點共線,可設(shè)=λ,
則=λa+(1-λ)b,
=-=(λ-)a+(-λ)b.
又⊥,∴·=0.
∴[(λ-)a+(-λ)b]·(b-a)=0.
又∵a·b=|a||b|cos 60°=1,
∴λ=,∴=a+b.
19.已知a=(2+sin x,1),b=(2,-2),c=(sin x-3,1),d=(1,k)(x∈R,k∈R).
(1)若x∈[-,],且a∥(b+c),求x的值;
(2)若函數(shù)f(x)=a·b,求f(x)的最小值;
(3)是否存在實數(shù)k和x,使得(a+d)⊥(b+c)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
解:(1)∵b+c=(sin
13、 x-1,-1),又a∥(b+c),
∴-(2+sin x)=sin x-1,即sin x=-.
又x∈[-,],∴x=-.
(2)∵a=(2+sin x,1),b=(2,-2),
∴f(x)=a·b=2(2+sin x)-2=2sin x+2.
又x∈R,
∴當sin x=-1時,f(x)有最小值,且最小值為0.
(3)a+d=(3+sin x,1+k),b+c=(sin x-1,-1),
若(a+d)⊥(b+c),則(a+d)·(b+c)=0,
即(3+sin x)(sin x-1)-(1+k)=0,
∴k=sin2x+2sin x-4=(sin x+1)2-5.
由
14、sin x∈[-1,1],得sin x+1∈[0,2],
∴(sin x+1)2∈[0,4],
故k∈[-5,-1].
∴存在k∈[-5,-1],使得(a+d)⊥(b+c).
20.在平面直角坐標系中,A(1,1)、B(2,3)、C(s,t)、P(x,y),△ABC是等腰直角三角形,B為直角頂點.
(1)求點C(s,t);
(2)設(shè)點C(s,t)是第一象限的點,若=-m,m∈R,則m為何值時,點P在第二象限?
解:(1)由已知得⊥,∴·=0.
∵=(2,3)-(1,1)=(1,2),
=(s,t)-(2,3)=(s-2,t-3),
∴(1,2)·(s-2,t-3)=0,即s+2t-8=0.①
又||=||,即=,
即s2+t2-4s-6t+8=0.②
將①代入②消去s,得t2-6t+8=0.解得t=2或4,
相應的s=4或0,所以點C為(0,4)或(4,2).
(2)由題意取C(4,2),∴=(x-1,y-1),
-m=(1,2)-m(3,1)=(1-3m,2-m).
∵=-m,
∴
∴
若點P在第二象限,則解得