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1、03級(jí)高等數(shù)學(xué)(上,非電)期終試卷參考答案
一、填空題(3’×6=18’)
1、e 2、 3、α>
4、 5、
6、
二、單項(xiàng)選擇題(4’×4=16’)
1、C 2、B 3、D 4、C..
三、(6’ ×6=36’)
1、
2、
x
u
另解:原式=
3、
4、令 則
原式=
另解:原式=
5、
6、
另解:令y=ux,則原方程化為
四、(8’)1°
2°設(shè) 代入方程,求得
3°
由初始條件得
0
2、
x
y
y=x
1
2
.
五、(8’)
法一:
法二:
V=
六、(7’)
0
x
2
y
七、(7’)
,η在0與x之間.
有介值定理,至少一點(diǎn)
因而 .
04-05-2高等數(shù)學(xué)期末試卷答案
一、 填空題 1.0, 一; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. 。
二、 單項(xiàng)選擇題 1. A; 2.B 3. D; 4.C.
三、 1. 2.
3、(略) 3. 4. 5.
因此是在上的唯一的極小值點(diǎn),故是最小值點(diǎn).
五、設(shè),原不等式等價(jià)于, 即等價(jià)于
,
,且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。因此單增,
從而單增,,原不等式得證.
六、由題設(shè)知,所給方程可變形;
兩端對(duì)求導(dǎo)整理得,求二階微分方程得; 由得,單減;而所以當(dāng)時(shí),,對(duì) 有。
七、 記,則在上可導(dǎo),且.
若在內(nèi)無(wú)零點(diǎn),不妨設(shè),
矛盾說(shuō)明在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).對(duì)在上分別使用Rolle定理知存在,使得即.
高等數(shù)學(xué)05-06-2(A、B)期末試卷(A、B)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 06。1。19
一.填空題(本題共9小題,每小
4、題4分,滿分36分)
1(3).;2(1).;3(4).;4(6).;5.;6(8).;7(2).;8(9).;9(7).非充分非必要。
二.計(jì)算下列各題(本題共4小題,每小題7分,滿分28分)
1.令,
2.
3(4).
4(3).令,
三.(本題滿分9分)設(shè)為切點(diǎn),
令,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,是唯一的極大值點(diǎn),因而是最大值點(diǎn),。
四.(本題共2小題,滿分14分)
1.(本題滿分6分)(1分),
2.(本題滿分8分),解得一特解,解得一特解,,
由得,
五.(本題滿分7分)(1)設(shè)
嚴(yán)格單增,所以方程存在唯一實(shí)根。
(2),
,
5、
六.(本題滿分6分)設(shè)為正整數(shù),,
三邊積分得,左邊關(guān)于相加得:
,右邊關(guān)于相加得:
,所以
學(xué)號(hào) 姓名
06-07-2高數(shù)A、B期末參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一.填空題(本題共9小題,每小題4分,滿分36分)
1.;
2.曲線在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程為;
3.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減;
4.設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù),則;
5. ;
6.設(shè)連續(xù),且,已知,則;
7.已知在任意點(diǎn)處的增量,當(dāng)時(shí),是的
高階無(wú)窮小,已知,則;
8.曲線的斜漸近線方程是;
6、
9.若二階線性常系數(shù)齊次微分方程有兩個(gè)特解,則該方程為
二.計(jì)算題(本題共4小題,每小題7分,滿分28分)
1.計(jì)算不定積分
解:
2.計(jì)算定積分
解:
3.計(jì)算反常積分
解:
4.設(shè) ,求
解:
三.(本題滿分7分)求曲線自到一段弧的長(zhǎng)度。
解:
四.(本題共2小題,第1小題7分,第2小題9分,滿分16分)
1.求微分方程的通解。
解:
2.求微分方程的特解,使得該特解在原點(diǎn)處與直線相切。
解:, 由題設(shè)條件得
,求得,于是
五.(本題滿分7分)設(shè),求積分的最大值。
解:
令
,得為唯一駐點(diǎn), ,為在上的最小值
7、,而最大值只能在端點(diǎn)取得。
,,所以
六.(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在上存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,證明:至少存在一點(diǎn),使得 。
證:,,,
由于在上連續(xù),在上存在最大值和最小值,故
,
,
即 ,由介值定理知至少存在一點(diǎn),使得
07-08-2高數(shù)(AB)期末試卷A參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)08.1.15
一.填空題(本題共9小題,每小題4分,滿分36分)
1.;
2.設(shè),則;
3.已知,則;
4.對(duì)數(shù)螺線在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程是;
5.設(shè)是由方程確定的隱函數(shù),則的單
8、調(diào)增加區(qū)間是,單調(diào)減少區(qū)間是;
6.曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)是,漸進(jìn)線方程是;
7.;
8. ;
9.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式為
.
二.計(jì)算下列積分(本題共3小題,每小題7分,滿分21分)
10.
解
(2分)
()(1+1分)
(3分)
11.
解 ,(2分)
令,,
(1+3分)原式(1分)
12。
解 (3+3分)(1分)
三(13).(本題滿分8分)設(shè),.
(1)問(wèn)是否為在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)?為什么?(2)求.
解 (1)不是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù),因?yàn)椋?
在內(nèi)不連續(xù).(1+2分)
(2)
9、(2+3分)
四(14).(本題滿分7分)設(shè),求.
解 令,(2+3+2分)
五(15).(本題滿分6分)求微分方程的通解.
解 ,(1分)
(2+1分)
(2分)
六(16).(本題滿分8分)設(shè)、滿足,且,求.
解 由已知條件得,(1分),(3分)
(4分)
七(17).(本題滿分8分) 設(shè)直線與拋物線所圍成的圖形面積為,它們與直線所圍成的圖形面積為.(1)試確定的值,使達(dá)到最小,并求出最小值.(2)求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.
解 (1)
(3分)
令,得,又,則
是唯一的極小值即最小值. (2分)
(2)
==.(3分)
10、八(18).(本題滿分6分)設(shè),求證:當(dāng)時(shí),.
證 令,
(1+1分)
(1分)
(2+1分)
08-09-2高數(shù)(AB)期末A參考答案
一.填空題(本題共9小題,每小題4分,滿分36分)
1.函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為;
2.已知,則;
3.曲線的拐點(diǎn)是;
4.曲線的斜漸近線的方程是;
5.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式是;
6.設(shè)是常數(shù),若對(duì),有,則;
7.;
8.設(shè)是連續(xù)函數(shù),且,則;
9.設(shè),則.
二.按要求計(jì)算下列各題(本題共5小題,每小題6
11、分,滿分30分)
10.
解
11.
解 ()
12.已知的一個(gè)原函數(shù)為,求
解
13.設(shè),求常數(shù)、、,使得
。
解 由 得 ,由得
(2分),由得,。
14。
解
三(15).(本題滿分8分)求微分方程滿足初始條件,
的特解.
解 齊次微分方程的通解為,非齊次微分方程
的一個(gè)特解為于是原微分方程的通解為代入初始條件得
四(16).(本題滿分7分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),且恒取正值,若對(duì),
在上的積分(平)均值等于與的幾何平均值,試求的表達(dá)式.
解 ,,,等式兩端對(duì)
求導(dǎo)
12、,記,,令,,
,。
五(17).(本題滿分7分) 在平面上將連接原點(diǎn)和點(diǎn)的線段(即區(qū)間)作等分,分點(diǎn)記作,,過(guò)作拋物線的切線,切點(diǎn)為,(1)設(shè)三角形的面積為,求;(2)求極限.
解 (1)設(shè),,切線方程,切線過(guò),解得
(2)
六(18).(本題滿分6分)試比較與的大小,并給出證明. (注:若通過(guò)比較這兩個(gè)數(shù)的近似值確定大小關(guān)系,則不得分)
解 設(shè)當(dāng)時(shí), ,
七(19).(本題滿分6分)設(shè)在區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo),,求證: .
解
09-10-2高數(shù)(AB)期末A卷參考答案
1.函數(shù)的定義域是,值域是;
2.設(shè),當(dāng)時(shí),在處連續(xù);
3.曲線的斜漸進(jìn)線的方程是;
4.;
13、
5.函數(shù)的極大值點(diǎn)是;
6.;
7.設(shè)是由所確定的函數(shù),則;
8.曲線族(,為任意常數(shù))所滿足的微分方程是 ;
9..
二.按要求計(jì)算下列各題(本題共5小題,每小題6分,滿分30分)
10.
解
。
11.
解 。
12.
解
。
13.
解
。
14。設(shè),,計(jì)算.
解
三(15).(本題滿分8分)求微分方程滿足初始條件,
的特解.
解 方程的通解為,
根據(jù)初值條件得,于是特解為
四(16).(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo),在內(nèi)恒取正值,且滿足,又由曲線與直線所圍成的圖形的面積為,求函
14、數(shù)的表達(dá)式,并計(jì)算圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.
解 解方程,得通解,
由題設(shè)得,于是,。
。
五(17).(本題滿分6分) 已知方程在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)互異的實(shí)根,試確定常數(shù)的取值范圍.
解 設(shè),令,得唯一駐點(diǎn),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因此,,即常數(shù)的取值范圍是:。
六(18).(本題滿分6分)設(shè)在區(qū)間上非負(fù)、連續(xù),且滿足,
證明:對(duì),有.
證:令,則,不等式兩邊對(duì)積分,得,即。
七(19).(本題滿分6分)設(shè),在處可導(dǎo),且,
(1)求證:,使得
(2)求極限.
證(1)記,在上可導(dǎo),,由中值定理得知,,使得
,此即。
(2),于是
,由于,所以。