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1、
【導與練】（新課標）20xx屆高三數學一輪復習 第5篇 第3節(jié) 等比數列課時訓練 理
【選題明細表】
知識點、方法
題號
等比數列的判定及證明
3、15
等比數列的基本運算
4、6、8、11
等比數列的性質
1、2、7、10
等比、等差數列的綜合
5、9、12
等比數列與其他知識綜合
5、13、14、16
基礎過關
一、選擇題
1.公比為2的等比數列{an}的各項都是正數,且a3a11=16,則a5等于( A )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
解析:a3a11==16,數列{an}的各項都是正數,
所以a7=4,
又a7=a5×2
2、2,所以a5=1.
2.(20xx高考重慶卷)對任意等比數列{an},下列說法一定正確的是( D )
(A)a1,a3,a9成等比數列 (B)a2,a3,a6成等比數列
(C)a2,a4,a8成等比數列 (D)a3,a6,a9成等比數列
解析:由等比數列的定義知選D.
3.已知數列{an}的前n項和Sn=3n+k(k為常數),那么下述結論正確的是( B )
(A)k為任意實數時,{an}是等比數列
(B)k=-1時,{an}是等比數列
(C)k=0時,{an}是等比數列
(D){an}不可能是等比數列
解析:∵Sn=3n+k(k為常數),
∴a1=S1=3+k,
n≥2
3、時,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1,
當k=-1時,a1=2滿足an=2×3n-1,{an}是等比數列,
當k=0時,a1=3不滿足an=2×3n-1,{an}不是等比數列.
4.已知等比數列{an}的公比q=2,前n項和為Sn.若S3=,則S6等于( B )
(A) (B) (C)63 (D)
解析:由=q3,
即=8,
得S6=.
5.已知{an}為等差數列,{bn}為等比數列,其公比q≠1且bi>0(i=1,2,…),若a1=b1,a11=b11,則( A )
(A)a6>b6 (B)a6=b6
(C)a6
4、>b6
解析:∵數列{an}是等差數列,數列{bn}是等比數列,a1=b1,a11=b11,
∴a1+a11=b1+b11,又bi>0(i=1,2,…)
∴2a6=b1+b11≥2=2b6,
又q≠1,且bi>0(i=1,2,…),
∴b1≠b11,
∴a6>b6.
二、填空題
6.已知等比數列{an}的公比為正數,且a2·a6=9a4,a2=1,則a1= .?
解析:由a2·a6=9a4得a2(a2q4)=9a2q2,
解得q2=9,
所以q=3或q=-3(舍去),
所以由a2=a1q,
得a1==.
答案:
7.(20xx高考廣東卷)若等比數列{an}的
5、各項均為正數,且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20= .?
解析:ln a1+ln a2+…+ln a20=ln a1a2…a20,
而a1a20=a2a19=…=a9a12=a10a11=e5,
所以ln a1a2…a20=ln=50.
答案:50
8.(20xx高考遼寧卷)已知等比數列{an}是遞增數列,Sn是{an}的前n項和,若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6= .?
解析:依題意a1+a3=5,a1a3=4,
又數列{an}為遞增數列,
解得a1=1,a3=4,
∴q2==4,q=2,
∴S6
6、===63.
答案:63
9.(20xx高考安徽卷)數列{an}是等差數列,若a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數列,則q= .?
解析:設等差數列{an}的公差為d,
由題意,(a3+3)2=(a1+1)(a5+5),
即(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),
化簡可解得,d=-1,
所以公比q===1.
答案:1
10.等比數列{an}的首項a1=-1,前n項和為Sn,若=,則{an}的通項公式an= .?
解析:∵=,
∴=-,
∵S5,S10-S5,S15-S10成等比數列,且公比為q5,
∴q5=-,q=-,
則an
7、=-1×(-)n-1=-(-)n-1.
答案:-(-)n-1
三、解答題
11.(20xx高考四川卷)在等比數列{an}中,a2-a1=2,且2a2為3a1和a3的等差中項,求數列{an}的首項、公比及前n項和.
解:設該數列的公比為q.
由已知,可得
a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,
所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,
解得q=3或q=1.
由于a1(q-1)=2,
因此q=1不合題意,應舍去.
故公比q=3,首項a1=1.
所以數列{an}的前n項和Sn=.
12.已知等比數列{an}的前n項和為Sn,若S1,2S2,3S3成等差數列,且S
8、4=.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)求證Sn<.
(1)解:設等比數列{an}的公比為q.
∵S1,2S2,3S3成等差數列
∴4S2=S1+3S3,
即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),
∴a2=3a3,
∴q==.
又S4=,
即=,
解得a1=1,
∴an=()n-1.
(2)證明:由(1)得Sn=
=
=[1-()n]<.
能力提升
13.已知定義在R上的函數f(x)=ax(0
9、:由f(1)+f(-1)=,得a+a-1=,即a+=,解得a=2(舍去)或a=,f(n)=()n,則數列{f(n)}是首項為f(1)=,公比q=的等比數列,所以Sn==×=1-()n,由1-()n=得()n=,解得n=5,故選B.
14.(20xx山東棗莊一模)已知等比數列{an}中,a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是( D )
(A)(-∞,-1] (B)(-∞,0)∪(1,+∞)
(C)[3,+∞) (D)(-∞,-1]∪[3,+∞)
解析:設等比數列{an}的公比為q,
則S3=a1+a2+a3=a2(1+q+)=1+q+,
當q>0時,S3=1+q+≥1+2=3,
10、當q<0時,S3=1-(-q-)
≤1-2=-1.
∴S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞).故選D.
15.(20xx高考陜西卷)設Sn表示數列{an}的前n項和.
(1)若{an}是等差數列,推導Sn的計算公式;
(2)若a1=1,q≠0,且對所有正整數n,有Sn=.判斷{an}是否為等比數列,并證明你的結論.
解:(1)設{an}的公差為d,
則Sn=a1+a2+…+an
=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d],
又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d],
∴2Sn=n(a1+an),
∴Sn=.
(2)當n=1時,S1=1.
當n=2時,S
11、2==1+q,a1+a2=1+q,a2=q.
當n=3時,S3==1+q+q2,a1+a2+a3=1+q+q2,a3=q2;
初步斷定數列{an}為等比數列.
證明如下:
∵Sn=,
∴an+1=Sn+1-Sn=-
==qn.
∵a1=1,q≠0,
∴當n≥1時,有==q,
因此,{an}是首項為1且公比為q的等比數列.
探究創(chuàng)新
16.(20xx廣東十校聯(lián)考)如圖給出一個“三角形數陣”.已知每一列數成等差數列,從第三行起,每一行數成等比數列,而且每一行的公比都相等,記第i行第j列的數為aij(i≥j,i,j∈N*),則a53= ,amn= (m≥3).?
,
,,
…
解析:由題意可知第一列首項為,公差d=-=,從第三行起每一行的公比q=,
所以a51=+4×=,
a53=a51q2=×()2=.
m≥3時,am1=+(m-1)×=,
amn=×()n-1=.
答案:
新課標高三數學 一輪復習 第5篇 第3節(jié) 等比數列課時訓練 理
