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學(xué)案31 數(shù)列的通項(xiàng)與求和
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能利用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.2.能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．
自主梳理
1．求數(shù)列的通項(xiàng)
(1)數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：
an＝
(2)當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用________求數(shù)列的通項(xiàng)an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．
(3)當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足＝f(n)，且f
2、(1)·f(2)·…·f(n)可求，則可用__________求數(shù)列的通項(xiàng)an，常利用恒等式an＝a1···…·.
(4)作新數(shù)列法：對由遞推公式給出的數(shù)列，經(jīng)過變形后化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列來求通項(xiàng)．
(5)歸納、猜想、證明法．
2．求數(shù)列的前n項(xiàng)的和
(1)公式法
①等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝____________＝________________，推導(dǎo)方法：____________；
②等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝
推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．
③常見數(shù)列的前n項(xiàng)和：
a．1＋2＋3＋…＋n＝__________；
b．2＋4＋6＋…＋2n＝__________；
c．1
3、＋3＋5＋…＋(2n－1)＝______；
d．12＋22＋32＋…＋n2＝__________；
e．13＋23＋33＋…＋n3＝__________________.
(2)分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列．
(3)裂項(xiàng)(相消)法：有時把一個數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和．
常見的裂項(xiàng)公式有：
①＝－；
②＝；
③＝－.
(4)錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．
(5)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)．
自我檢測
1．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積為Tn＝3n2
4、(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的( )
A.(3n－1) B.(3n－1)
C.(9n－1) D.(9n－1)
2．(2011·邯鄲月考)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若{Sn}是等差數(shù)列，則q為 ( )
A．－1 B．1
C．±1 D．0
3．已知等比數(shù)列{an}的公比為4，且a1＋a2＝20，設(shè)bn＝log2an，則b2＋b4＋b6＋…＋b2n等于
5、 ( )
A．n2＋n B．2(n2＋n)
C．2n2＋n D．4(n2＋n)
4．(2010·天津高三十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log2 (n∈N*)，設(shè){an}的前n項(xiàng)的和為Sn，則使Sn<－5成立的自然數(shù)n ( )
A．有最大值63 B．有最小值63
C．有最大值31 D．有最小值31
5．(2011·北京海淀區(qū)期末)設(shè)關(guān)于x的不等式x2－x<2nx (n∈N*)的解集中整數(shù)的個數(shù)為an，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S
6、100的值為________．
6．?dāng)?shù)列1,4，7，10，…前10項(xiàng)的和為________.
探究點(diǎn)一 求通項(xiàng)公式
例1 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a1＝2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
變式遷移1 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
探究點(diǎn)二 裂項(xiàng)相消法求和
例2 已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列
7、{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn<對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.
變式遷移2 求數(shù)列1，，，…，，…的前n項(xiàng)和．
探究點(diǎn)三 錯位相減法求和
例3 (2011·荊門月考)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)、公比都為q (q>0且q≠1)的等比數(shù)列，bn＝anlog4an (n∈N*)．
(1)當(dāng)q＝5時，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；
(2)當(dāng)q＝時，若bn
8、)的函數(shù)值中所有整數(shù)值的個數(shù)為g(n)，an＝(n∈N*)，則Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)n－1an＝ ( )
A．(－1)n－1 B．(－1)n
C. D．－
【答題模板】
答案 A
解析 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和．
當(dāng)x∈[n，n＋1](n∈N*)時，函數(shù)f(x)＝x2＋x的值隨x的增大而增大，則f(x)的值域?yàn)閇n2＋n，n2＋3n＋2](n∈N*)，∴g(n)＝2n＋3(n∈N*)，于是an＝＝n2.
方法一 當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(12－22)＋(32－42)
9、＋…＋[(n－1)2－n2]＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－·＝－；
當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋…＋(an－2－an－1)＋an
＝Sn－1＋an＝－＋n2＝，
∴Sn＝(－1)n－1.
方法二 a1＝1，a2＝4，S1＝a1＝1，
S2＝a1－a2＝－3，
檢驗(yàn)選擇項(xiàng)，可確定A正確．
【突破思維障礙】
在利用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和時，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行分類討論，但最終的結(jié)果卻往往可以用一個公式來表示．
1．求數(shù)列的通項(xiàng)：(1)公式法：例如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)觀察法：例如由數(shù)列的前幾項(xiàng)來求通項(xiàng)；
(3
10、)可化歸為使用累加法、累積法；
(4)可化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后利用公式法；
(5)求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納、猜想、證明．
2．?dāng)?shù)列求和的方法：
一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過對通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和．
3．求和時應(yīng)注意的問題：
(1)直接用公式求和時，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程．
(2)注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010·廣東)已知數(shù)列{
11、an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a2·a3＝2a1且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5等于 ( )
A．35 B．33 C．31 D．29
2．(2011·黃岡調(diào)研)有兩個等差數(shù)列{an}，{bn}，其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若＝，則＝ ( )
A. B.
C. D.
3．如果數(shù)列{an}滿足a1＝
12、2，a2＝1且＝ (n≥2)，則此數(shù)列的第10項(xiàng)( )
A. B. C. D.
4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝，則S5等于 ( )
A．1 B. C. D.
5．?dāng)?shù)列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項(xiàng)和Sn>1 020，那么n的最小值是 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
題號
1
2
3
4
5
13、答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010·東北師大附中高三月考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，則log4S10＝__________.
7．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－，則該數(shù)列前26項(xiàng)的和為________．
8．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝____________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011·河源月考)已知函數(shù)f(x
14、)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．
(1)若函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}，試證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn}，試求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
10．(12分)(2011·三門峽月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝nan＋an－c(c是常數(shù)，n∈N*)，a2＝6.
(1)求c的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明＋＋…＋<.
11．(14分)(2010·北京宣武高三期中)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n，數(shù)列{bn}滿足b1＝－1
15、，bn＋1＝bn＋(2n－1) (n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn；
(3)若cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
答案 自主梳理
1．(2)累加法 (3)累積法 2.(1)① na1＋d 倒序相加法?、趎a1 ③ n2＋n n2 2
自我檢測
1．C 2.B 3.B 4.B
5．10 100 6.145
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式這類問題要求不高，主要掌握由a1和遞推關(guān)系先求出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋
16、…＋(a2－a1)＋a1；累乘：an＝··…··a1等方法．
解 已知遞推可化為
－＝，
∴－＝，－＝，－＝，…，－＝.
將以上(n－1)個式子相加得
－＝＋＋＋…＋，
∴＝＝1－.
∴an＝.
變式遷移1 (1)證明 由已知有
a1＋a2＝4a1＋2，
解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)
＝4an＋1－4an；
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
即bn＋1＝2bn.
因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．
(2)解 由(1)知等比數(shù)列{bn}中，b1＝
17、3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1，
于是－＝，
因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
＝＋(n－1)×＝n－，
所以an＝(3n－1)·2n－2.
例2 解題導(dǎo)引 1.利用裂項(xiàng)相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)．再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．
2．一般情況如下，若{an}是等差數(shù)列，
則＝，＝.
此外根式在分母上時可考慮利用有理化因式相消求和．
解 (1)∵n≥2時，an＝7Sn－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2，
兩式相減，得an＋1
18、－an＝7an，∴an＋1＝8an(n≥2)．
又a1＝2，∴a2＝7a1＋2＝16＝8a1，
∴an＋1＝8an(n∈N*)．
∴{an}是一個以2為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，
∴an＝2·8n－1＝23n－2.
(2)∵bn＝＝
＝(－)，
∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)<.
∴≥，∴最小正整數(shù)m＝7.
變式遷移2 解 an＝＝2，
∴Sn＝2·[＋＋…＋]＝2·＝.
例3 解題導(dǎo)引 1.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時，可采用錯位相減法．
2．用乘公比錯位相減法求和時，應(yīng)注意：
(1)要善于識別
19、題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
解 (1)由題意得an＝qn，
∴bn＝an·log4an＝qn·log4qn
＝n·5n·log45，
∴Sn＝(1×5＋2×52＋…＋n×5n)log45，
設(shè)Tn＝1×5＋2×52＋…＋n×5n，①
則5Tn＝1×52＋2×53＋…＋(n－1)×5n＋n×5n＋1，②
①－②得－4Tn＝5＋52＋53＋…＋5n－n×5n＋1
＝－n×5n＋1，
∴Tn＝(4n×5n－5n＋1)，
Sn＝(4n×5n－5n＋1
20、)log45.
(2)∵bn＝anlog4an＝nnlog4，
∴bn＋1－bn＝(n＋1)n＋1log4－
nnlog4
＝nlog4>0，
∵n>0，log4<0，
∴－<0，∴n>14，
即n≥15時，bn
21、(n≥2)．
兩式相減得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
∴an＋1＝4an，即＝4.
∴{an}為以a2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列．
當(dāng)n＝1時，a2＝3S1＝3，
∴n≥2時，an＝3·4n－2，
S10＝a1＋a2＋…＋a10
＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48
＝1＋3×(1＋4＋…＋48)
＝1＋3×＝1＋49－1＝49.
∴l(xiāng)og4S10＝log449＝9.
7．－10
解析 依題意得，a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，a8＝，所以數(shù)列周期為4，S26＝6×(1－2－1＋)＋1－2＝－10.
8
22、．2n＋1－2
解析 依題意，有a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，所有的代數(shù)式相加得an－a1＝2n－2，即an＝2n，所以Sn＝2n＋1－2.
9．解 f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7
＝[x－(n＋1)]2＋3n－8.…………………………………………………………………(3分)
(1)由題意，an＝n＋1，
故an＋1－an＝(n＋1)＋1－(n＋1)＝1，
故數(shù)列{an}是以1為公差，2為首項(xiàng)的等差數(shù)列．……………………………………(5分)
(2)由題意，bn＝|3n－8|.……………………………………………………
23、………………(7分)
當(dāng)1≤n≤2時，bn＝－3n＋8，
數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，b1＝5，
∴Sn＝＝；………………………………………………………(9分)
當(dāng)n≥3時，bn＝3n－8，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b3＝1.
∴Sn＝S2＋＝.…………………………………………(11分)
∴Sn＝……………………………………………(12分)
10．(1)解 因?yàn)镾n＝nan＋an－c，
所以當(dāng)n＝1時，S1＝a1＋a1－c，
解得a1＝2c，………………………………………………………………………………(2分)
當(dāng)n＝2時，S2＝a2＋a2－c，
即a1＋a2＝2a2－c，解得a
24、2＝3c，………………………………………………………(3分)
所以3c＝6，解得c＝2；…………………………………………………………………(4分)
則a1＝4，數(shù)列{an}的公差d＝a2－a1＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.……………………………………………………………(6分)
(2)證明 因?yàn)椋?
＝＋＋…＋
＝(－)＋(－)＋…＋(－)
＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]……………………………………………(8分)
＝(－)＝－.……………………………………………………………(10分)
因?yàn)閚∈N*，所以＋＋…＋<.…………………………………………(12分
25、)
11．解 (1)∵Sn＝3n，
∴Sn－1＝3n－1 (n≥2)．
∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1 (n≥2)．……………………………………………(3分)
當(dāng)n＝1時，2×31－1＝2≠S1＝a1＝3，…………………………………………………(4分)
∴an＝……………………………………………………(5分)
(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，
∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…，
bn－bn－1＝2n－3.
以上各式相加得
bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)
＝＝(n－1)2.
∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.………
26、………………………………………………………(7分)
(3)由題意得
cn＝……………………………………………………(9分)
當(dāng)n≥2時，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n－2)×3n－1，
∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n－2)×3n，
相減得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－2(n－2)×3n.
∴Tn＝(n－2)×3n－(3＋32＋33＋…＋3n－1)
＝(n－2)×3n－＝.…………………………………………………(13分)
T1＝－3也適合．
∴Tn＝ (n∈N*)．…………………………………………………………(14分)
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