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課時(shí)作業(yè)(五) 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積
A組 基礎(chǔ)鞏固
1.一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示.將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:
由三視圖可知該幾何體是一個(gè)直三棱柱,如圖所示,由題意知,當(dāng)打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時(shí),該球的半徑最大,故其半徑r=×(6+8-10)=2.因此選B.
答案:B
2.一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,底面是正方形,其正(主)視圖如圖所示,該四棱錐側(cè)面積
2、和體積分別是( )
A.4,8 B.4,
C.4(+1), D.8,8
解析:由題圖知,此棱錐高為2,底面正方形的邊長(zhǎng)為2,V=×2×2×2=,側(cè)面三角形的高h(yuǎn)==,S側(cè)=4×=4.
答案:B
3.已知某幾何體的三視圖如下圖所示,則該幾何體的體積為( )
A. B.3π
C. D.6π
解析:由三視圖可知,此幾何體(如圖所示)是底面半徑為1,高為4的圓柱被從母線(xiàn)的中點(diǎn)處截去了圓柱的,所以V=×π×12×4=3π.
答案:B
4.(2015·衡水四模)如圖是一個(gè)幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖,其俯視圖是面積為8的矩形,則該幾何體的表面積是( )
3、
A.20+8 B.24+8
C.8 D.16
解析:此幾何體是一個(gè)三棱柱,且其高為=4,由于其底面是一個(gè)等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為2,所以其面積為×2×2=2,又此三棱柱的高為4,故其側(cè)面積為(2+2+2 )×4=16+8,表面積為:2×2+16+8=20+8.
答案:A
5.如圖為由三棱柱切割而得到的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.2
解析:由三視圖可得該幾何體的直觀(guān)圖如圖,是由直三棱柱ABC-DEF截去三棱錐F-CDE而得到的四棱錐C-ABED.
由三視圖可知,直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,高為2,故
4、三棱柱的體積
V1=S△ABC×AD=×22×2=2;
三棱錐F-CDE的體積V2=VC-DEF=S△DEF×CF=××22×2=.
所以所求幾何體的體積V=V1-V2=2-=,故選C.
答案:C
6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則它的體積為( )
A. B.
C.20 D.40
解析:
本題考查空間幾何體的三視圖和體積的求法.由三視圖知該幾何體是一個(gè)放倒的四棱錐(如圖所示的四棱錐A-BCDE),其中四棱錐的底面BCDE為直角梯形,其上底CD為1,下底BE為4,高BC為4.棱錐的高AB為4,所以四棱錐的體積為××4×4=,故選B.
答案:B
7.若某幾何體的三視
5、圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于________ cm3.
解析:由三視圖可知原幾何體如圖所示.
所以V=VABC-A1B1C1-VM-ABC
=S△ABC·5-S△ABC·3=×3×4×5-××3×4×3=30-6=24.
答案:24
8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)
解析:圓臺(tái)的軸截面是下底長(zhǎng)為12寸,上底長(zhǎng)為28寸,高
6、為18寸的等腰梯形,雨水線(xiàn)恰為中位線(xiàn),故雨水線(xiàn)直徑是20寸,所以降水量為
=3(寸).
答案:3
9.一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的軸截面分別是邊長(zhǎng)為a的正方形和正三角形,則它們的表面積之比為_(kāi)_______.
解析:S圓柱=2·π2+2π··a=πa2,
S圓錐=π2+π··a=πa2,
∴S圓柱∶S圓錐=2∶1.
答案:2∶1
10.
已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖(或稱(chēng)主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為10、高為5的等腰三角形,側(cè)視圖(或稱(chēng)左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為5的等腰三角形.求該幾何體的表面積S.
解析:由題設(shè)可知該幾何體是一個(gè)高為5的四棱錐,其底面是長(zhǎng)、寬分別
7、為10,8的矩形;正側(cè)面及其相對(duì)側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為10的等腰三角形,高記為h1;左、右側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為8的等腰三角形,高記為h2.
則h1= =.
h2= =5.
故幾何體的表面積
S=2+10×8=80+40+10.
B組 能力提升
11.一幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A.200+9π B.200+18π
C.140+9π D.140+18π
解析:由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體,上部是半圓柱,底面半徑為3,高為2;下部為長(zhǎng)方體,長(zhǎng)、寬、高分別為10,4,5.所以此幾何體的體積為π×32×2+10×4×5=200+9π.
答案:A
12
8、.如圖所示,圓臺(tái)的上、下底半徑和高的比為1∶4∶4,母線(xiàn)長(zhǎng)為10,則圓臺(tái)的側(cè)面積為_(kāi)_______.
解析:設(shè)圓臺(tái)的上底半徑為r,則下底半徑為4r,高為4r.由母線(xiàn)長(zhǎng)為10可知10==5r,∴r=2.故圓臺(tái)的上、下底半徑和高分別為2,8,8.所以圓臺(tái)的側(cè)面積為π(2+8)×10=100π.
答案:100π
13.已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直線(xiàn)為軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.
解析:
如圖,在△ABC中,過(guò)C作CD⊥AB,垂足為D.
由AC=3,BC=4,AB=5,
知AC2+BC2=AB2,則AC⊥BC.
∵BC·A
9、C=AB·CD,
∴CD=,記為r=,那么△ABC以AB所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)同底的圓錐,且底半徑r=,母線(xiàn)長(zhǎng)分別是AC=3,BC=4,
所以S表面積=πr·(AC+BC)=π××(3+4)=π,
V=πr2(AD+BD)=πr2·AB
=π×2×5=π.
所以,所求旋轉(zhuǎn)體的表面積是π,體積是π.
14.某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)A1B1C1D1-ABCD,上面是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理,已知AB=10,A1B1=
10、20,AA2=30,AA1=13(單位:厘米),每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元,需加工處理費(fèi)多少元?
解析:因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A2B2C2D2的底面是正
方形,側(cè)面是全等的矩形,所以S1=SA2B2C2D2+S四個(gè)側(cè)面=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2).
因?yàn)樗睦馀_(tái)A1B1C1D1-ABCD的上、下底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形,所以S2=SA1B1C1D1+S四個(gè)側(cè)面梯形=(A1B1)2+4××(AB+A1B1)h等腰梯形的高=202+4××(10+20)× =1 120(cm2).
于是該實(shí)心零部件的表面積為S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2),故所需加工處理費(fèi)為0.2S=0.2×2 420=484(元).
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