《精修版高中數(shù)學(xué) 第2章 第14課時(shí) 直線與平面垂直的性質(zhì)、平面與平面垂直的性質(zhì)課時(shí)作業(yè) 人教A版必修2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《精修版高中數(shù)學(xué) 第2章 第14課時(shí) 直線與平面垂直的性質(zhì)、平面與平面垂直的性質(zhì)課時(shí)作業(yè) 人教A版必修2(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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課時(shí)作業(yè)(十四) 直線與平面垂直的性質(zhì)、
平面與平面垂直的性質(zhì)
A組 基礎(chǔ)鞏固
1.設(shè)l為直線,α,β是兩個(gè)不同的平面.下列命題中正確的是( )
A.若l∥α,l∥β,則α∥β
B.若l⊥α,l⊥β,則α∥β
C.若l⊥α,l∥β,則α∥β
D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β
解析:本題主要考查線面、面面的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.畫出一個(gè)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1.對(duì)于A,C1D1∥平面ABB1A1,C1D1∥平面ABCD,但平面ABB1A1與平面ABCD相交,故A不正確;對(duì)于
2、C,BB1⊥平面ABCD,BB1∥平面ADD1A1,但平面ABCD與平面ADD1A1相交,故C不正確;對(duì)于D,平面ABB1A1⊥平面ABCD,CD∥平面ABB1A1,但CD?平面ABCD,故D不正確,故選B.
答案:B
2.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α與β相交,且交線垂直于l
D.α與β相交,且交線平行于l
解析:本題主要考查線線、線面的位置關(guān)系的判定.由于m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,則平面α與平面β必相交,但未必垂直,且交線垂直于直線m,n,又直線
3、l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則交線平行于l,故選D.
答案:D
3.在空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,則△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
解析:本題考查由線面垂直、面面垂直判斷三角形的形狀.過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H,由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,則AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB,即△ABC為直角三角形.故選A.
答案:A
4.若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面,那么這兩個(gè)二面角( )
4、A.相等 B.互補(bǔ)
C.相等或互補(bǔ) D.關(guān)系無(wú)法確定
解析:
如圖所示,平面EFDG⊥平面ABC,當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),平面HDG始終與平面BCD垂直,所以兩個(gè)二面角的大小關(guān)系不確定,因?yàn)槎娼荋-DG-F的大小不確定.
答案:D
5.如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥BD.沿BD將△ABD折起,使面ABD⊥面BCD,連接AC,則在四面體ABCD的四個(gè)面所在平面中,互相垂直的平面的對(duì)數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:∵面ABD⊥面BCD
又AB⊥BD
∴AB⊥面BCD,AB?面ABC,
∴面ABC⊥面BCD.
同理,面ACD
5、⊥面ABD.
故四面體ABCD中互相垂直的平面有3對(duì).
答案:C
6.如圖所示,正方形SG1G2G3中,E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn),現(xiàn)在沿SE、SF、EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使G1、G2、G3重合,重合后的點(diǎn)記為G,給出下列關(guān)系:
①SG⊥平面EFG;②SE⊥平面EFG;③GF⊥SE;④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( )
A.①與② B.①與③
C.②與③ D.③與④
解析:由SG⊥GE,SG⊥GF,得SG⊥平面EFG,排除C、D;若SE⊥平面EFG,則SG∥SE,這與SG∩SE=S矛盾,排除A,故選B.
答案:B
7.如圖,AB為圓O的直徑
6、,點(diǎn)C在圓周上(異于A,B兩點(diǎn)),直線PA垂直于圓所在的平面,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn),有以下四個(gè)命題:①PA∥平面MOB;②MO∥平面PAC;③OC⊥平面PAB;④平面PAC⊥平面PBC.
其中正確的命題是________.(填序號(hào)).
解析:本題主要考查線面、面面平行與垂直的判定.由題意可知PA在平面MOB內(nèi),所以①不正確;因?yàn)镸為線段PB的中點(diǎn),OA=OB,所以O(shè)M∥PA,又OM不在平面PAC內(nèi),所以MO∥平面PAC,②正確;當(dāng)OC與AB不垂直時(shí),推不出OC⊥平面PAB,所以③不正確;因?yàn)锳B是直徑,所以BC⊥AC,又PA垂直于圓所在的平面,所以PA⊥BC,所以BC⊥平面PAC,而B
7、C?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC,所以④正確.綜上所述,正確的命題是②④.
答案:②④
8.如圖,正方形BCDE的邊長(zhǎng)為a,已知AB=BC,將Rt△ABE沿BE邊折起,點(diǎn)A在平面BCDE上的射影為點(diǎn)D,在翻折后的幾何體中有如下結(jié)論:①AB與DE所成角的正切值是;②AB∥CD;③平面EAB⊥平面ADE;④直線BA與平面ADE所成角的正弦值為.
其中正確的結(jié)論有________.(填序號(hào))
解析:本題主要考查線面、面面垂直關(guān)系,線線角,線面角.由題意可得翻折后的幾何體如圖所示,對(duì)于①,因?yàn)锽C∥DE,所以∠ABC即為AB與DE所成的角,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=a
8、,BC=a,所以tan∠ABC=,故①正確;②明顯錯(cuò)誤;對(duì)于③,因?yàn)锳D⊥平面BCDE,所以AD⊥BE,又因?yàn)镈E⊥BE,所以BE⊥平面ADE,所以平面EAB⊥平面ADE,故③正確;對(duì)于④,易知∠BAE即為直線BA與平面ADE所成的角,在△ABE中,∠AEB=90°,AB=a,BE=a,所以sin∠BAE=,故④正確.
答案:①③④
9.設(shè)α,β表示平面,a,b表示不在α內(nèi)也不在β內(nèi)的兩條直線.給出下列四個(gè)論斷:①a∥b;②a∥β;③α⊥β;④b⊥α.若以其中三個(gè)作為條件,余下的一個(gè)作為結(jié)論,則可以構(gòu)造出一些命題.寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________.(注:寫法如“( )( )
9、( )?( )”,只需在( )中填入論斷的序號(hào))
解析:本題考查線面平行與垂直的轉(zhuǎn)化,考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.由a∥b,b⊥α,得a⊥α.由a∥β,a⊥α,得α⊥β,即①②④?③.同理①③④?②.
答案:①②④?③(或①③④?②)
10.如圖,四棱錐S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別是SD,SC的中點(diǎn).
求證:(1)BC⊥平面SAB;
(2)EF⊥SD.
證明:(1)∵四棱錐S-ABCD的底面是矩形,∴AB⊥BC.
∵SA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,∴SA⊥BC.
又∵SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.
(2)∵SA⊥平面ABC
10、D,CD?平面ABCD,
∴CD⊥SA.
又∵CD⊥AD,SA∩AD=A,
∴CD⊥平面SAD.
∵E,F(xiàn)分別是SD,SC的中點(diǎn),
∴EF∥CD,∴EF⊥平面SAD.
又∵SD?平面SAD,∴EF⊥SD.
B組 能力提升
11.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,已知AD=2AB=2a,BD=a,AC∩BD=E,將其沿對(duì)角線BD折成直二面角.
求證:(1)AB⊥平面BCD;
(2)平面ACD⊥平面ABD.
證明:(1)在△ABD中,AB=a,AD=2a,BD=a,∴AB2+BD2=AD2,
∴∠ABD=90°,AB⊥BD.
又∵平面ABD⊥平面BCD,
平面A
11、BD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,
∴AB⊥平面BCD.
(2)∵折疊前四邊形ABCD是平行四邊形,且AB⊥BD,
∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
∵AB∩BD=B,∴CD⊥平面ABD.
又∵CD?平面ACD,
∴平面ACD⊥平面ABD.
12.已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且==λ(0<λ<1).
(1)求證:不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;
(2)當(dāng)λ為何值時(shí),平面BEF⊥平面ACD?
解析:(1)證明:∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
又==λ(0<λ<1),
∴不論λ為何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC.
又EF?平面BEF,
∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知,EF⊥BE,
又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,
∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
AB⊥平面BCD,
∴BD=,AB=tan60°=,
∴AC==,
由AB2=AE·AC得AE=,
∴λ==,
故當(dāng)λ=時(shí),
平面BEF⊥平面ACD.
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