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高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程質(zhì)量評(píng)估檢測(cè) 新人教A版必修2
時(shí)間:120分鐘 滿分:150分
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(2014·嘉興高一檢測(cè))點(diǎn)A(2,-3)關(guān)于點(diǎn)B(-1,0)的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是( )
A.(-4,3) B.(5,-6)
C.(3,-3) D.
解析:設(shè)A′(x′,y′),由題意得
即
答案:A
2.過點(diǎn)(-1,3)且平行于直線x-2y+3=0的直線方程為(
2、 )
A.x-2y+7=0 B.2x+y-1=0
C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0
解析:∵直線x-2y+3=0的斜率為,
∴所求直線的方程為y-3=(x+1),
即x-2y+7=0.
答案:A
3.若直線ax+2y+a-1=0與直線2x+3y-4=0垂直,則a的值為( )
A.3 B.-3
C. D.-
解析:由a·2+2·3=0,得a=-3.
答案:B
4.光線從點(diǎn)A(-2,1)射到y(tǒng)軸上,經(jīng)反射以后經(jīng)過點(diǎn)B(-1,-2),則光線從A到B的路程為( )
A.3 B.2
C.3 D.
答案:C
5.等腰直角三角形ABC中,∠
3、C=90°,若點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(3,3),則點(diǎn)B的坐標(biāo)可能是( )
A.(2,0)或(4,6) B.(2,0)或(6,4)
C.(4,6) D.(0,2)
解析:設(shè)B為(x,y),
根據(jù)題意可得
即
解得或所以B(2,0)或B(4,6).
答案:A
6.若直線l與直線y=1和x-y-7=0分別交于A、B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)為P(1,-1),則直線l的斜率等于( )
A. B.-
C. D.-
解析:設(shè)A(m,1),B(a,b),則
∴b=-3,又點(diǎn)B在直線x-y-7=0上,
∴a-(-3)-7=0.
∴a=4,
∴m=2-a=
4、-2,故A(-2,1),B(4,-3).
∴直線l的斜率k==-.
答案:D
7.若點(diǎn)M和N都在直線l:x+y=1上,則點(diǎn)P,Q和直線l的關(guān)系是( )
A.P和Q都在l上
B.P和Q都不在l上
C.P在l上,Q不在l上
D.P不在l上,Q在l上
解析:∵M(jìn)和N都在直線l:x+y=1上,∴??=?c=1-?c+=1,即點(diǎn)P在直線l上.同理,點(diǎn)Q也在直線l上.故選A.
答案:A
8.若直線l1:y-2=(k-1)x和直線l2關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,那么直線l2恒過定點(diǎn)( )
A.(2,0) B.(1,-1)
C.(1,1) D.(-2,0)
解析:∵l1:kx=x
5、+y-2,由得l1恒過定點(diǎn)(0,2),記為點(diǎn)P,∴與l1關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱的直線l2也必恒過一定點(diǎn),記為點(diǎn)Q,且點(diǎn)P和Q也關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱.令Q(m,n),則?即Q(1,1),∴直線l2恒過定點(diǎn)(1,1),故選C.
答案:C
9.已知定點(diǎn)P(-2,0)和直線l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),則點(diǎn)P到直線l的距離d的最大值為( )
A.2 B.
C. D.2
解析:由(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,此方程是過兩直線x+y-2=0和3x+2y-5=0交點(diǎn)的定點(diǎn)直線系方程.解方程
6、組可知兩直線的交點(diǎn)為Q(1,1),故直線l恒過定點(diǎn)Q(1,1),如圖所示,可知d=|PH|≤|PQ|=,即d≤, 故選B.
答案:B
10.到直線y=x的距離與到x軸的距離相等的點(diǎn)P的軌跡方程為( )
A.y=x
B.y=-x
C.y=x或y=-x
D.y=(2+)x或y=(-2)x
解析:設(shè)P(x,y),則點(diǎn)P到直線y=x的距離為=,點(diǎn)P到x軸的距離為|y|,由題意得=|y|,整理得y=x或y=-x,故選C.
答案:C
11.已知點(diǎn)O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB為直角三角形,則必有( )
A.b=a3
B.b=a3+
C.(b-a3)=
7、0
D.|b-a3|+|b-a3-|=0
解析:根據(jù)直角三角形的直角的位置求解.
若以O(shè)為直角頂點(diǎn),則B在x軸上,則a必為0,此時(shí)O,B重合,不符合題意;
若∠A=,則b=a3≠0.
若∠B=,根據(jù)斜率關(guān)系可知a2·=-1,所以a(a3-b)=-1,即b-a3-=0.
以上兩種情況皆有可能,故只有C滿足條件.
答案:C
12.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是( )
A.(0,1) B.
C. D.
解析:根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)面積相等得出a,b的關(guān)系式,然后求出b的
8、取值范圍.
由題意畫出圖形,如圖(1).
由圖可知,直線BC的方程為x+y=1.
由解得M.
可求N(0,b),D.
∵直線y=ax+b將△ABC分割為面積相等的兩部分,
∴S△BDM=S△ABC.
又S△BOC=S△ABC,
∴S△CMN=S△ODN,
即×|-|×b=(1-b)×.
整理得=.
∴=,
∴-1=,∴=+1,
(1) (2)
即b=,可以看出,當(dāng)a增大時(shí),b也增大.
當(dāng)a→+∞時(shí),b→,即b<.
當(dāng)a→0時(shí),直線y=ax+b接近于y=b.
當(dāng)y=b時(shí),如圖(2),===.
∴1-b=,∴b=1-.
∴b>1-.
由上分析可知
9、1-<b<,故選B.
答案:B
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知,a,b,c為某一直角三角形的三邊長(zhǎng),c為斜邊,若點(diǎn)(m,n)在直線ax+by+2c=0上,則m2+n2的最小值為________.
解析:點(diǎn)(m,n)在直線ax+by+2c=0上,且m2+n2為直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方,當(dāng)兩直線垂直時(shí),距離最?。蔰====2,∴m2+n2≥4.
答案:4
14.已知點(diǎn)A(-1,1),B(2,-2),若直線l:x+my+m=0與線段AB相交(包含端點(diǎn)的情況),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.
解析:直線l:x+my+m=0恒過定點(diǎn)M(0,
10、-1),而kAM==-2,kBM==-.要使直線l:x+my+m=0與線段AB相交,觀察圖象(圖略),當(dāng)m=0時(shí),l與線段AB相交;當(dāng)m≠0時(shí),顯然有k≥-或k≤-2,而k=-,得m≥2或0<m≤或m<0.所以m≥2或m≤.
答案:∪[2,+∞)
15.設(shè)m∈R,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,y)(點(diǎn)P與點(diǎn)A,B不重合),則|PA|2+|PB|2=__________.
解析:由動(dòng)直線x+my=0知定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0),由動(dòng)直線mx-y-m+3=0知定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3),且兩直線相互垂直,故△PAB是直角三角形,且PA⊥PB,因此
11、|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.
答案:10
16.在函數(shù)y=4x2的圖象上求一點(diǎn)P,使P到直線y=4x-5的距離最短,則P點(diǎn)坐標(biāo)為__________.
解析:直線方程化為4x-y-5=0.
設(shè)P(a,4a2),則點(diǎn)P到直線的距離為
d==
=.
當(dāng)a=時(shí),點(diǎn)P到直線的距離最短,最短距離為.
答案:
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)(1)求與直線3x+4y-7=0垂直,且與原點(diǎn)的距離為6的直線方程;
(2)求經(jīng)過直線l1∶2x+3y-5=0與l2∶7x+15y+1=0的交點(diǎn),且平行于直線
12、x+2y-3=0的直線方程.
解析:(1)設(shè)所求的直線方程為4x-3y+c=0.由已知=6,解得c=±30,
故所求的直線方程為4x-3y±30=0.(5分)
(2)設(shè)所求的直線方程為2x+3y-5+λ(7x+15y+1)=0,即(2+7λ)x+(3+15λ)y+λ-5=0,由已知-=-,解得λ=1.
故所求的直線方程為9x+18y-4=0.(10分)
18.(本小題滿分12分)點(diǎn)P(x,y)到x軸、y軸和直線x+y-2=0的距離相等,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).
解析:由題意可知|x|=|y|=.
(2分)
當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),|x|=,
即x2-4x+2=0,
解得x=2+或x=2-;(6
13、分)
當(dāng)x=-y時(shí),|x|=,
解得x=或x=-.(10分)
所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2+,2-,或-.
(12分)
19.(本小題滿分12分)已知△ABC的頂點(diǎn)A(3,-1),AB邊上的中線所在直線方程為6x+10y-59=0,∠B的平分線所在直線方程為x-4y+10=0,求BC邊所在直線的方程.
解析:設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4y1-10,y1),則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.(2分)
∵AB的中點(diǎn)在直線6x+10y-59=0上,
∴6×+10×-59=0,(4分)
解得y1=5,∴B(10,5).(6分)
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x-4y+10=0的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x′,y′),
則有
解得即A′(
14、1,7).(8分)
而BC邊所在的直線經(jīng)過點(diǎn)A′,B,
∴BC邊所在直線的方程為=,
整理得2x+9y-65=0.(12分)
20.(本小題滿分12分)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(4,0),B(8,10),C(0,6).
(1)求過A點(diǎn)且平行于BC的直線方程;
(2)求過B點(diǎn)且與點(diǎn)A,C距離相等的直線方程.
解析:(1)kBC=,過A點(diǎn)且平行于BC的直線方程為y-0=(x-4),即x-2y-4=0.(5分)
(2)設(shè)過B點(diǎn)的直線方程為y-10=k(x-8),
即kx-y-8k+10=0,
由=,
即k=或k=-.
所求的直線方程為y-10=(x-8)或y-10=-(x-
15、8),即7x-6y+4=0或3x+2y-44=0.
(12分)
21.(本小題滿分12分)如圖,在平行四邊形OABC中,點(diǎn)C(1,3),過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.
(1)求CD所在直線的方程;
(2)求D點(diǎn)坐標(biāo).
解析:(1)直線OC的斜率為3,因?yàn)镃D⊥OC,
所以直線CD的斜率是-,直線CD的方程為:y-3=-(x-1),化簡(jiǎn)得x+3y-10=0.
(5分)
(2)A(3,0),因?yàn)镺C∥AB,所以AB斜率與OC斜率相等,
所以直線AB的方程為:y=3(x-3),
聯(lián)立方程解得
∴D.(12分)
22.(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OPQR的頂點(diǎn)
16、按逆時(shí)針順序依次是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t∈(0,+∞),試判斷四邊形OPQR的形狀,并給出證明.
解析:四邊形OPQR是矩形,
OP邊所在直線的斜率kOP=t,
QR邊所在直線的斜率kQR==t,
OR邊所在直線的斜率kOR=-,
PQ邊所在直線的斜率kPQ==-.
∴kOP=kQR,kOR=kPQ,
∴OP∥QR,OR∥PQ,
∴四邊形OPQR是平行四邊形.
又kQR·kOR=t×=-1,
∴QR⊥OR,
∴四邊形OPQR是矩形.(6分)
又∵kOQ=,kPR=,
令kOQ·kPR=-1,得t不存在,
∴OQ與PR不垂直,四邊形OPQR不能為菱形.
∴四邊形OPQR不為正方形,
故四邊形OPQR是矩形.(12分)
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