高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 幾何證明選講 第1節(jié) 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課件 理

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1、第十三篇幾何證明選講第十三篇幾何證明選講( (選修選修4 41)1)第第1 1節(jié)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)節(jié)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)選考部分選考部分知識鏈條完善知識鏈條完善考點專項突破考點專項突破經(jīng)典考題研析經(jīng)典考題研析知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來知識梳理知識梳理 1.1.平行線截割定理及應(yīng)用平行線截割定理及應(yīng)用(1)(1)平行線等分線段定理平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段如果一組平行線在一條直線上截得的線段 , ,那么在其他直線上截那么在其他直線上截得的線段得的線段 . .(2)(2)平行線等分線段定理的推論平行線等分線段定理的推論經(jīng)

2、過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必 . .經(jīng)過梯形一腰的中點經(jīng)過梯形一腰的中點, ,且與底邊平行的直線且與底邊平行的直線 . .(3)(3)平行線分線段成比例定理及其推論平行線分線段成比例定理及其推論三條平行線截兩條直線三條平行線截兩條直線, ,所得的對應(yīng)線段所得的對應(yīng)線段 . .平行于三角形一邊的直線截其他兩邊平行于三角形一邊的直線截其他兩邊( (或兩邊的延長線或兩邊的延長線) )所得的對應(yīng)線所得的對應(yīng)線段段 . .相等相等也相等也相等平分第三邊平分第三邊平分另一腰平分另一腰成比例成比例成比例成比例2.2.相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理相似三角形的

3、判定定理與性質(zhì)定理(1)(1)相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理定理定理內(nèi)容內(nèi)容判定定理判定定理1 1 對應(yīng)相等對應(yīng)相等, ,兩三角形相似兩三角形相似判定定理判定定理2 2 對應(yīng)成比例且對應(yīng)成比例且 相等相等, ,兩三角形相似兩三角形相似判定定理判定定理3 3 對應(yīng)成比例對應(yīng)成比例, ,兩三角形相似兩三角形相似兩角兩角兩邊兩邊夾角夾角三邊三邊(2)(2)相似三角形的性質(zhì)定理相似三角形的性質(zhì)定理定理與推論定理與推論內(nèi)容內(nèi)容性質(zhì)定理性質(zhì)定理1 1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于的比都等于 . .相似三角形周長的比等于相

4、似三角形周長的比等于 . .性質(zhì)定理性質(zhì)定理2 2相似三角形面積的比等于相似比的相似三角形面積的比等于相似比的 . .推論推論相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比, ,外接外接圓的面積比等于相似比的圓的面積比等于相似比的 . .相似比相似比相似比相似比平方平方平方平方3.3.直角三角形相似的判定定理與射影定理直角三角形相似的判定定理與射影定理(1)(1)直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理定理定理內(nèi)容內(nèi)容判定定理判定定理1 1 如果兩個直角三角形如果兩個直角三角形 對應(yīng)相等對應(yīng)相等, ,那么它們相似那么它們相似判定定理判定定理2 2如

5、果兩個直角三角形的如果兩個直角三角形的 對應(yīng)成比例對應(yīng)成比例, ,那么它那么它們相似們相似判定定理判定定理3 3如果一個直角三角形的如果一個直角三角形的 和一條直角邊與另一個三角和一條直角邊與另一個三角形的形的 和一條直角邊對應(yīng)和一條直角邊對應(yīng) , ,那么這兩個直角三那么這兩個直角三角形相似角形相似有一個銳角有一個銳角兩條直角邊兩條直角邊斜邊斜邊斜邊斜邊成比例成比例(2)(2)直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的 ; ;兩直角兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的 . .

6、比例中項比例中項比例中項比例中項夯基自測夯基自測1.1.給出下列命題給出下列命題: :三角形相似不具有傳遞性三角形相似不具有傳遞性; ;兩組對應(yīng)邊成比例兩組對應(yīng)邊成比例, ,一組對應(yīng)邊所對的角相等的兩三角形相似一組對應(yīng)邊所對的角相等的兩三角形相似; ;兩個三角形相似兩個三角形相似, ,則對應(yīng)線段都成比例則對應(yīng)線段都成比例; ;相似三角形的內(nèi)切圓的半徑之比等于相似比相似三角形的內(nèi)切圓的半徑之比等于相似比. .其中正確的是其中正確的是( ( ) )(A)(A) (B)(B) (C)(C) (D)(D)C CC CD D4.4.在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=90,CDAB,CD

7、AB于于D,D,若若BDAD=13,BDAD=13,則則BCD=BCD=. . 5.5.已知梯形已知梯形ABCDABCD的上底的上底AD=8 cm,AD=8 cm,下底下底BC=15 cm,BC=15 cm,在邊在邊AB,CDAB,CD上分別取上分別取E,F,E,F,使使AEEB=DFFC=32,AEEB=DFFC=32,則則EF=EF=.答案答案: :12.2 cm12.2 cm考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一考點一 平行線截割定理及應(yīng)用平行線截割定理及應(yīng)用反思歸納反思歸納 (1)(1)利用平行線分線段成比例定理來計算或證明利用平行線分線段成比例定理來計算或證

8、明, ,首先要觀察首先要觀察平行線組平行線組, ,再確定所截直線再確定所截直線, ,進而確定比例線段及比例式進而確定比例線段及比例式, ,同時注意合比性同時注意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運用質(zhì)、等比性質(zhì)的運用. .(2)(2)平行線分線段成比例定理及推論是證明兩條線段相等的重要依據(jù)平行線分線段成比例定理及推論是證明兩條線段相等的重要依據(jù), ,特特別是在應(yīng)用推論時別是在應(yīng)用推論時, ,一定要明確哪一條線段平行于三角形的一邊一定要明確哪一條線段平行于三角形的一邊, ,是否過是否過一邊的中點一邊的中點. .考點二考點二相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)【例例2 2】 如圖如圖, ,已知已知ABC

9、ABC中中,AD,BE,CF,AD,BE,CF分別是分別是BC,AC,ABBC,AC,AB邊上的高邊上的高. .求證求證: :AFEAFEDFBDFBDCE.DCE.反思歸納反思歸納 證明相似三角形的一般思路證明相似三角形的一般思路(1)(1)先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等; ;(2)(2)若只有一個角對應(yīng)相等若只有一個角對應(yīng)相等, ,再判定這個角的兩鄰邊是否對應(yīng)成比例再判定這個角的兩鄰邊是否對應(yīng)成比例; ;(3)(3)若無角對應(yīng)相等若無角對應(yīng)相等, ,就要證明三邊對應(yīng)成比例就要證明三邊對應(yīng)成比例. .【即時訓(xùn)練即時訓(xùn)練】 (1)(1)如圖所示如圖所示,D,D為為ABCABC中中BC

10、BC邊上一點邊上一點,CAD=B,CAD=B,若若AD=5,AB=9,BD=6,AD=5,AB=9,BD=6,則則DCDC的長為的長為.答案答案: :(2)9(2)9直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理考點三考點三 【例例3 3】如圖如圖, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,CDAB,CDAB于于D,DEACD,DEAC于于E,EFABE,EFAB于于F.F.求證求證:CE:CE2 2=BDDF.=BDDF.反思歸納反思歸納 (1) (1)運用直角三角形中的射影定理時要注意大前提是運用直角三角形中的射影定理時要注意大前提是在直角三角形中在直角三角形中, ,要確定好直角

11、邊及其射影要確定好直角邊及其射影. .(2)(2)在證明問題中要注意等積式與比例式的相互轉(zhuǎn)化在證明問題中要注意等積式與比例式的相互轉(zhuǎn)化, ,同時注意射影同時注意射影定理的其他變式定理的其他變式. .【即時訓(xùn)練】【即時訓(xùn)練】 如圖如圖, ,在在ABCABC中中,ADBC,ADBC于于D,DEABD,DEAB于于E,DFACE,DFAC于于F.F.求證求證:AEAB=AFAC.:AEAB=AFAC.證明證明: :因為因為ADBC,ADBC,所以所以ADBADB為直角三角形為直角三角形. .又因為又因為DEAB,DEAB,由射影定理知由射影定理知,AD,AD2 2=AE=AEAB.AB.同理可得同理

12、可得ADAD2 2=AF=AFAC,AC,所以所以AEAEAB=AFAB=AFAC.AC.備選例題備選例題 【例例1 1】 如圖如圖, ,在在 ABCDABCD中中,E,E是是ABAB延長線上一點延長線上一點,DE,DE交交ACAC于于G,G,交交BCBC于于F.F.求證求證:(1)DG:(1)DG2 2=GE=GEGF;GF;【例例2 2】 如圖所示如圖所示, ,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,AB=CD,DECA,ADBC,AB=CD,DECA,且交且交BABA的延長的延長線于線于E,E,求證求證:ED:EDCD=EACD=EABD.BD. 經(jīng)典考題研析經(jīng)典考題研析 在經(jīng)典中學(xué)

13、習(xí)方法在經(jīng)典中學(xué)習(xí)方法【教師備用教師備用】三角形相似的判定三角形相似的判定【典例典例】(2012(2012高考新課標全國卷高考新課標全國卷) )如圖如圖,D,E,D,E分別為分別為ABCABC邊邊AB,ACAB,AC的中點的中點, ,直線直線DEDE交交ABCABC的外接圓于的外接圓于F,GF,G兩點兩點. .若若CFAB,CFAB,證明證明: :(1)CD=BC;(1)CD=BC;(2)(2)BCDBCDGBD.GBD.(2)(2)因為因為FGBC,FGBC,故故GB=CF.GB=CF.由由(1)(1)可知可知BD=CF,BD=CF,所以所以GB=BD,GB=BD,所以所以BGD=BDG.BGD=BDG.由由BC=CDBC=CD知知CBD=CDB,CBD=CDB,又因為又因為DGB=EFC=DBC,DGB=EFC=DBC,所以所以BCDBCDGBD.GBD.命題意圖命題意圖: :本題主要考查了三角形中位線定理本題主要考查了三角形中位線定理, ,平行四邊形的判定與性平行四邊形的判定與性質(zhì)質(zhì), ,等弧所對的弦以及三角形相似的判定等基礎(chǔ)知識等弧所對的弦以及三角形相似的判定等基礎(chǔ)知識, ,考查了邏輯推理考查了邏輯推理能力能力, ,試題難度中等試題難度中等. .