高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 不等式選講 第2節(jié) 證明不等式的基本方法課件 理 新人教版

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1、第第2 2節(jié)證明不等式的基本方法節(jié)證明不等式的基本方法考綱展示考綱展示通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法比較法、綜合法、分析法. 知識(shí)梳理自測知識(shí)梳理自測考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 知識(shí)梳理自測知識(shí)梳理自測 把散落的知識(shí)連起來把散落的知識(shí)連起來1.1.比較法比較法知識(shí)梳理知識(shí)梳理 方法方法原理原理作差法作差法a-b0a-b0abab作商法作商法 ab(a0,b0)ab(a0,b0)2.2.綜合法與分析法綜合法與分析法(1)(1)綜合法綜合法: :從從 出發(fā)出發(fā), ,利用定義、公理、定理、性質(zhì)等利用定義、

2、公理、定理、性質(zhì)等, ,經(jīng)過經(jīng)過一系列的一系列的 、論證而得出命題成立、論證而得出命題成立. .(2)(2)分析法分析法: :從從 出發(fā)出發(fā), ,逐步尋求使它成立的逐步尋求使它成立的 條件條件, ,直直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)( (定義、公理或已證明的定定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等理、性質(zhì)等),),從而得出要證的命題成立從而得出要證的命題成立. .1ab已知條件已知條件推理推理要證的結(jié)論要證的結(jié)論充分充分3.3.反證法與放縮法反證法與放縮法(1)(1)反證法反證法證明命題時(shí)先假設(shè)要證的命題證明命題時(shí)先假設(shè)要證的命題 , ,以此為出發(fā)點(diǎn)

3、以此為出發(fā)點(diǎn), ,結(jié)合結(jié)合 , ,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等, ,進(jìn)行正確的推理進(jìn)行正確的推理, ,得到和命題的條件得到和命題的條件( (或已或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等) ) 的結(jié)論的結(jié)論, ,以說明假設(shè)不正確以說明假設(shè)不正確, ,從而得出原命題成立從而得出原命題成立, ,我們把這種證明方法稱為反證法我們把這種證明方法稱為反證法. .(2)(2)放縮法放縮法證明不等式時(shí)證明不等式時(shí), ,通過把不等式中的某些部分的值通過把不等式中的某些部分的值 或或 , ,簡化不等簡化不等式式, ,從而達(dá)到證明的目的從而達(dá)到證明的目的,

4、 ,我們把這種方法稱為放縮法我們把這種方法稱為放縮法. .不成立不成立已知條件已知條件矛盾矛盾放大放大縮小縮小4.4.三個(gè)正數(shù)的算術(shù)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)- -幾何平均不等式幾何平均不等式(1)(1)定理定理a=b=ca=b=c不小于不小于不小于不小于a a1 1=a=a2 2= =a=an n 雙基自測雙基自測 B B 解析解析: :根據(jù)條件和分析法的定義可知選項(xiàng)根據(jù)條件和分析法的定義可知選項(xiàng)B B最合理最合理. .故選故選B.B.2.2.已知已知a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0,a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0,用反證法求證用反證法求證a0,b0,c0a0,b0,c0時(shí)的反設(shè)為

5、時(shí)的反設(shè)為( ( ) )(A)a0,b0,c0(A)a0,b0,c0,c0 (B)a0,b0,c0(C)a,b,c(C)a,b,c不全是正數(shù)不全是正數(shù)(D)abc0(D)abc0,b0,c0a0,b0,c0”, ,應(yīng)為應(yīng)為a,b,ca,b,c不全是正數(shù)不全是正數(shù), ,故選故選C.C.C C 答案答案: :9 9 考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí)在講練中理解知識(shí)考點(diǎn)一考點(diǎn)一 比較法證明不等式比較法證明不等式反思?xì)w納反思?xì)w納 比較法證明不等式的方法與步驟比較法證明不等式的方法與步驟(1)(1)作差比較法作差比較法: :作差、變形、判號、下結(jié)論作差、變形、判號、下結(jié)論. .(2)(2)作商

6、比較法作商比較法: :作商、變形、判斷、下結(jié)論作商、變形、判斷、下結(jié)論. .提醒提醒: :(1)(1)當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí), ,一般使用作一般使用作差比較法差比較法. .(2)(2)當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時(shí)當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時(shí), ,一般使用作商比一般使用作商比較法較法. .考點(diǎn)二考點(diǎn)二 用綜合法、分析法證明不等式用綜合法、分析法證明不等式反思?xì)w納反思?xì)w納(2)(2)用分析法證明不等式時(shí)用分析法證明不等式時(shí), ,不要把不要把“逆求逆求”錯(cuò)誤地作為錯(cuò)誤地作為“逆推逆推”, ,分析的過分析的過

7、程是尋求結(jié)論成立的充分條件程是尋求結(jié)論成立的充分條件, ,而不一定是充要條件而不一定是充要條件, ,同時(shí)要正確使用同時(shí)要正確使用“要要證證”“”“只需證只需證”這樣的連接這樣的連接“關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞”. .(3)(3)分析法與綜合法常常結(jié)合起來使用分析法與綜合法常常結(jié)合起來使用, ,稱為分析綜合法稱為分析綜合法, ,其實(shí)質(zhì)是既充分利其實(shí)質(zhì)是既充分利用已知條件用已知條件, ,又時(shí)刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)又時(shí)刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo), ,即不僅要搞清已知什么即不僅要搞清已知什么, ,還要明確干什么還要明確干什么, ,通常用分析法找到解題思路通常用分析法找到解題思路, ,用綜合法書寫證題過程用綜合法書寫證題過程. .考點(diǎn)三

8、考點(diǎn)三 用反證法證明不等式用反證法證明不等式證明證明: :假設(shè)假設(shè)a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4均不大于均不大于25,25,即即a a1 125,a25,a2 225,a25,a3 325,a25,a4 425.25.則則a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4100,100,這與已知這與已知a a1 1+a+a3 3+a+a3 3+a+a4 4100100矛盾矛盾. .故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤. .所以所以a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4中至少有一個(gè)數(shù)大于中至少有一個(gè)數(shù)大于25.25.【例【例3 3】 ( (20172017銀川月考銀川

9、月考) )已知已知a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4100,100,求證求證:a:a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4中至少中至少有一個(gè)數(shù)大于有一個(gè)數(shù)大于25.25.反思?xì)w納反思?xì)w納 對于某些問題中所證結(jié)論若是對于某些問題中所證結(jié)論若是“都是都是”“”“都不是都不是”“”“至至多多”“”“至少至少”等問題等問題, ,一般用反證法一般用反證法. .其一般步驟是反設(shè)其一般步驟是反設(shè)推理推理得出矛得出矛盾盾肯定原結(jié)論肯定原結(jié)論. .考點(diǎn)四考點(diǎn)四 放縮法證明不等式放縮法證明不等式反思?xì)w納反思?xì)w納 放縮法的關(guān)鍵是控制放縮的幅度放縮法的關(guān)鍵是控制放縮的幅度, ,幅度過大或

10、過小都會(huì)與所幅度過大或過小都會(huì)與所證不等式有差異證不等式有差異. .備選例題備選例題 解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 把典型問題的解決程序化把典型問題的解決程序化【教師備用教師備用】利用綜合法證明不等式利用綜合法證明不等式【典例典例】 (10 (10分分)()(20172017全國全國卷卷) )已知已知a0,b0,aa0,b0,a3 3+b+b3 3=2,=2,證明證明:(1)(a+b)(a:(1)(a+b)(a5 5+b+b3 3)4;)4;滿分展示滿分展示證明證明: :(1)(a+b)(a(1)(a+b)(a5 5+b+b5 5)=a)=a6 6+ab+ab5 5+a+a5 5b+bb+b6 6

11、1 1分分=(a=(a3 3+b+b3 3) )2 2-2a-2a3 3b b3 3+ab(a+ab(a4 4+b+b4 4) )3 3分分=4+ab(a=4+ab(a2 2-b-b2 2) )2 24 4分分所以所以(a+b)(a(a+b)(a5 5+b+b5 5)4.)4. 5 5分分(2)a+b2.(2)a+b2.答題模板答題模板第一步第一步: :展開不等式的左邊并適當(dāng)整理展開不等式的左邊并適當(dāng)整理; ;第二步第二步: :利用已知條件將展開結(jié)果進(jìn)行配方利用已知條件將展開結(jié)果進(jìn)行配方; ;第三步第三步: :利用兩數(shù)和的立方公式展開整理利用兩數(shù)和的立方公式展開整理; ;第四步第四步: :利用利用ab(ab( ) )2 2進(jìn)行放縮進(jìn)行放縮; ;第五步第五步: :解不等式獲得待證結(jié)論解不等式獲得待證結(jié)論. .2ab