高考人教版數(shù)學理總復習練習：第五章 數(shù)列 課時作業(yè)30 Word版含解析

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1、 第五章　數(shù)列 課時作業(yè)30　數(shù)列的概念與簡單表示法 1．(2019·青島模擬)數(shù)列1,3,6,10,15，…的一個通項公式是(　C　) A．a(chǎn)n＝n2－(n－1) B．a(chǎn)n＝n2－1 C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ 解析：設此數(shù)列為{an}，則由題意可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，… 仔細觀察數(shù)列1,3,6,10,15，…可以發(fā)現(xiàn)： 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， … 所以第n項為1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝， 所以數(shù)列1,3,6,10,15，…的通項公式為an＝. 2．(2019·長沙模擬)已知數(shù)

2、列的前4項為2,0,2,0，則依此歸納該數(shù)列的通項不可能是(　C　) A．a(chǎn)n＝(－1)n－1＋1 B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝2sin D．a(chǎn)n＝cos(n－1)π＋1 解析：對n＝1,2,3,4進行驗證，an＝2sin不合題意． 3．(2019·廣東茂名模擬)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且?n∈N*都有2Sn＝3an＋4，則Sn＝(　A　) A．2－2×3n B．4×3n C．－4×3n－1 D．－2－2×3n－1 解析：∵2Sn＝3an＋4，∴2Sn＝3(Sn－Sn－1)＋4(n≥2)，變形為Sn－2＝3(Sn－1－2)，又n＝1時，2S1＝3S1＋4，解得S1

3、＝－4，∴S1－2＝－6.∴數(shù)列{Sn－2}是等比數(shù)列，首項為－6，公比為3.∴Sn－2＝－6×3n－1，可得Sn＝2－2×3n，故選A. 4．(2019·河北石家莊一模)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，則a2 018的值為(　B　) A．2 B．－3 C．－ D. 解析：∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3， 同理可得：a3＝－，a4＝，a5＝2，……，可得an＋4＝an， 則a2 018＝a504×4＋2＝a2＝－3.故選B. 5．(2019·廣東廣州一模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2,2anan＋1＝a＋1，設bn＝，則數(shù)列{bn}是(　D　) A．常數(shù)

4、列 B．擺動數(shù)列 C．遞增數(shù)列 D．遞減數(shù)列 解析：∵2anan＋1＝a＋1，∴an＋1＝， ∵bn＝，∴bn＋1＝＝＝＝b， ∴bn＋1－bn＝b－bn＝bn(bn－1)， ∵a1＝2，b1＝＝， ∴b2＝2，∴b3＝2＝4，b4＝2＝8， ∴數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列，故選D. 6．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，若an＋2＝2an＋1－an＋2，則an＝(　C　) A.n2－n＋ B．n3－5n2＋9n－4 C．n2－2n＋2 D．2n2－5n＋4 解析：由題意得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2， 因此數(shù)列{an＋1－an}是以1為

5、首項，2為公差的等差數(shù)列，an＋1－an＝1＋2(n－1)＝2n－1， 當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋3＋…＋(2n－3)＝1＋＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2， 又a1＝1＝12－2×1＋2， 因此an＝n2－2n＋2(n∈N*)，故選C. 7．(2019·河北保定一模)已知函數(shù)f(x)＝若數(shù)列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是(　C　) A．(1,3) B．(1,2] C．(2,3) D. 解析：∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，f(x)＝an＝f(n)(n∈N*)，

6、 ∴3－a＞0，a＞1且f(10)＜f(11)，∴1＜a＜3且10(3－a)－6＜a2，解得2＜a＜3，故實數(shù)a的取值范圍是(2,3)，故選C. 8．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，則的最小值為(　C　) A．21 B．10 C. D. 解析：由已知條件可知，當n≥2時， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝33＋2＋4＋…＋2(n－1) ＝n2－n＋33， 又n＝1時，a1＝33滿足此式． 所以＝n＋－1. 令f(n)＝＝n＋－1， 則f(n)在[1,5]上為減函數(shù)，在[6，＋∞)上為增函數(shù)． 又f(5

7、)＝，f(6)＝，則f(5)＞f(6)， 故f(n)＝的最小值為. 9．在一個數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝28__. 解析：依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 10．(2019·成都質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，則an＝　. 解析：由題意知＝＝. 所

8、以an＝a1×××…× ＝1×××…×＝ ＝＝. 11．數(shù)列{an}的通項公式為an＝(2n＋1)n－1，則數(shù)列{an}的最大項為　. 解析：an＋1－an＝(2n＋3)n＋1－(2n＋1)n ＝n ＝n ＝n.因為n≥1，所以－n＜0，n＞0，所以an＋1－an＜0，所以an＋1＜an，所以a1＞a2＞a3＞…＞an＞an＋1＞…，所以數(shù)列{an}的最大項為a1＝. 12．(2019·山東青島調(diào)研)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝3×2n－3，其中n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，Tn為其前n項和，b2＝a5，b11＝

9、S3，求Tn的最值． 解：(1)由Sn＝3×2n－3，n∈N*得， (ⅰ)當n＝1時，a1＝S1＝3×21－3＝3. (ⅱ)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3×2n－3)－(3×2n－1－3)＝3×(2n－2n－1)＝3×2n－1(*)． 又當n＝1時，a1＝3也滿足(*)式． 所以，對任意n∈N*，都有an＝3×2n－1. (2)設等差數(shù)列{bn}的首項為b1，公差為d， 由(1)得b2＝a5＝3×25－1＝48，b11＝S3＝3×23－3＝21. 由等差數(shù)列的通項公式得 解得 所以bn＝54－3n. 可以看出bn隨著n的增大而減小， 令bn≥0，解得n≤18，

10、 所以Tn有最大值，無最小值，且T18(或T17)為前n項和Tn的最大值，T18＝＝9×(51＋0)＝459. 13．(2019·黃岡質(zhì)檢)已知數(shù)列{xn}滿足xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，且xn＋3＝xn對于任意的正整數(shù)n均成立，則數(shù)列{xn}的前2 017項和S2 017＝(　D　) A．672 B．673 C．1 342 D．1 345 解析：∵x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)， ∴x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a， ∴x1＋x2＋x3＝1＋a＋(1－a)＝2， 又xn＋3＝xn對于任意的正整數(shù)n均

11、成立， ∴數(shù)列{xn}的周期為3，所以數(shù)列{xn}的前2 017項和S2 017＝S672×3＋1＝672×2＋1＝1 345.故選D. 14．(2019·河南鄭州一中模擬)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且對任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋＋…＋＝(　D　) A. B. C. D. 解析：∵a1＝1，且對任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，用累加法可得an＝a1＋＝， ∴＝＝2， ∴＋＋＋…＋＝ 2＝，故選D. 15．設{an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)a－na＋an＋1·a

12、n＝0(n＝1,2,3，…)，則它的通項公式an＝　. 解析：因為(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0， 所以(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0， 又因為an＞0，故(n＋1)an＋1－nan＝0， 即＝，故＝，＝，＝，… ＝， 把以上各式分別相乘得＝，即an＝. 16．(2019·寶安中學等七校聯(lián)考)已知{an}是遞增數(shù)列，其前n項和為Sn，a1＞1，且10Sn＝(2an＋1)(an＋2)，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項an； (2)是否存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak成立？若存在，寫出一組符合條件的m，n，k的值；若不存在，請說

13、明理由． 解：(1)由10a1＝(2a1＋1)(a1＋2)， 得2a－5a1＋2＝0，解得a1＝2或a1＝. 又a1＞1，所以a1＝2. 因為10Sn＝(2an＋1)(an＋2)， 所以10Sn＝2a＋5an＋2. 故10an＋1＝10Sn＋1－10Sn＝2a＋5an＋1＋2－2a－5an－2， 整理，得2(a－a)－5(an＋1＋an)＝0， 即(an＋1＋an)[2(an＋1－an)－5]＝0. 因為{an}是遞增數(shù)列且a1＝2， 所以an＋1＋an≠0，因此an＋1－an＝. 所以數(shù)列{an}是以2為首項，為公差的等差數(shù)列． 所以an＝2＋(n－1)＝(5n－1)． (2)滿足條件的正整數(shù)m，n，k不存在，理由如下： 假設存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak， 則5m－1＋5n－1＝(5k－1)， 整理，得2m＋2n－k＝，(*) 顯然，(*)式左邊為整數(shù)，所以(*)式不成立． 故滿足條件的正整數(shù)m，n，k不存在．