6、0,)
B. f(x)在[,]上是減函數(shù)
C. f(x)的一個對稱中心是(,0)
D. 將f(x)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象
12．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a0 B．f(0)f(3)>0 C．f(0)f(2)>0 D．f(0)f(3)<0
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．設(shè)向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b與
7、2a－b平行，則a·b＝ ．
14．如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點M，則
點M恰好取自陰影部分的概率是 ．
15．已知0<β<<α<π，且cos(α-)＝－，sin(-β)＝，則cos(α＋β) =_____．
16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的極大值點，則a的取值范圍為_______．
三、解答題（本大題共6小題，共70分）
17．（本小題滿分12分）
在△ABC中，已知asinA-csinC=(a-b)sinB, △ABC外接圓的半徑為.
（1）求C；
（2）求△ABC的面積S的最大值.
8、
18.（本小題滿分12分）
在三棱錐M-ABC中,AB=2AC=2，MA=MB=，AB=4AN，AB^AC，平面MAB^平面ABC，S為BC的中點.
(1) 證明：CM^SN；
(2) 求SN與平面CMN所成角的大小.
19．(本小題滿分12分)
某班同學(xué)利用國慶節(jié)進行社會實踐，對 歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：
組數(shù)
分組
低碳族的人數(shù)
占本組的頻率
第一組
[25,30)
120
0.6
9、第二組
[30,35)
195
p
第三組
[35,40)
100
0.5
第四組
[40,45)
a
0.4
第五組
[45,50)
30
0.3
第六組
15
0.3
(1)補全頻率分布直方圖并求n、a、p的值；
(2)從，使 2φ(x1)<φ(x2)成立，求實數(shù)t的取值范圍．
請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.
22.（本小題滿分10分）選修4～1:幾何證明選講
如
10、圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，直線ADE，CFD，CGE都是⊙O的割線，
已知AC=AB.
(1) 若CG=1，CD=4，求的值;
(2) 求證：FG//AC.
23．（本小題滿分10分）選修4～4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓C的方程為r=6sinq.
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點P（1,2）,設(shè)圓C與直線l交于點A，B．求∣PA∣+∣PB∣的最小值．
24．（本小題滿分
11、10分）選修4～5：不等式選講
設(shè)不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集為M，a，b∈M.
(1)證明：;
(2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小，并說明理由．
蘭州一中2015-2016-1學(xué)期期中考試參考答案
高三數(shù)學(xué)（理）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1. 已知集合A=則（CRA）B= ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以.
2．若，，，則 ( )
A．
12、B． C． D．
【答案】A
3．設(shè)曲線y＝在點(3,2)處的切線與直線ax＋y＋3＝0垂直，則a等于 ( )
A．2 B． C. －2 D．－
【答案】C
【解析】 因為y＝的導(dǎo)數(shù)為y′＝，所以曲線在(3,2)處的切線斜率為k＝－，
又直線ax＋y＋3＝0的斜率為－a，所以－a·(－)＝－1，解得a＝－2.
4. 已知函數(shù)f(x)=，則f = ( )
A． B．-
13、C．1 D． -1
【答案】D
【解析】，所以.
5．下列說法中，正確的是 ( )
A．命題“若a0”的否定是“對任意x?R，x2-x<0”
D．已知x?R，則“x>1”是“x>2”的充分不必要條件
【答案】B
6. 已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30°)，且cos α
14、＝－，則m的值為 ( )
A． B. － C．－ D.
【答案】A
【解析】 (1)∵r＝，∴cos α＝＝－，∴m>0，∴＝，即m＝.
7．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于 ( )
A．1 B. C.
15、 D.
【答案】D
【解析】∵＝＋＝＋， ∴2＝＋，即＝＋. 故λ＋μ＝＋＝.
8．已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)＝lnx－ax(a>)，當(dāng)x∈(－2,0)時，f(x)的最小值為1，則a＝ ( )
A．-1 B．1 C． D．e2
【答案】B
【解析】∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)在(0,2)上的最大值為－1.當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)＝－a，
令f′(x)＝0得x＝，又a>，∴0<<2.當(dāng)x<時，f′
16、(x)>0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x>時，f′(x)<0，f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f()＝ln－a·＝－1，解得a＝1.
9．若將函數(shù)y＝tan(ω>0)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)y＝tan的圖象重合，則ω的最小值為 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函數(shù)y＝tan向右平移后得到解析y＝tan＝tan.
又因為y＝tan，∴令－＝＋k
17、π，∴＝＋kπ(k∈Z)，由ω>0得ω的最小值為.
10．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－9ln x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A．10)，當(dāng)x－≤0時，00且a＋1≤3，解得1
18、 ( )
A．f(x)的圖象過點(0,)
B. f(x)在[,]上是減函數(shù)
C. f(x)的一個對稱中心是(,0)
D. 將f(x)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象
【答案】C
12．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a0 B．f(0)f(3)>0 C．f(0)f(2)>0 D．f(0)f(3)<0
【答案】B
19、【解析】∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f′(x)<0，得10，得x<1或x>3，
∴f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函數(shù)．
又a0，y極小值＝f(3)＝－abc<0，∴00.
又x＝1，x＝3為函數(shù)f(x)的極值點，后一種情況不可能成立，如圖．
∴f(0)<0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0，∴正確結(jié)論的是B.
二、填空題（本大題共4
20、小題，每小題5分，共20分）
13．設(shè)向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b與2a－b平行，則a·b＝ ．
【答案】
【解析】a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由題意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，
則m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.
14．如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點M，則
點M恰好取自陰影部分的概率是 ．
【答案】
15．已知0<β<<α<π，且cos(α-)＝－，sin(-β)＝，則cos(α＋β) =_____．
【答案】－
【解析】∵0<β<<α<π，∴<α－<π
21、，－<－β<，
∴sin＝＝，cos＝ ＝，
∴cos ＝cos＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的極大值點，則a的取值范圍為_______．
【答案】 (－1，＋∞)
【解析】f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.
∴f′(x)＝－ax＋a－1＝.
(1)若a≥0，當(dāng)00，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
所以x＝1是f(x)的極大值點．
(
22、2)若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.因為x＝1是f(x)的極大值點，所以－>1，解得－1
23、 -------------------------------10分
-------------------------------12分
18.（本小題滿分12分）
在三棱錐M-ABC中,AB=2AC=2，MA=MB=，AB=4AN，AB^AC，平面MAB^平面ABC，S為BC的中點.
(1) 證明：CM^SN；
(2) 求SN與平面CMN所成角的大小.
【解析】解法一：（1）取AB中點O，連接MO、CO、SO
∵MA=MB，∴MO⊥AB
∵平面MAB⊥平面ABC，平面MAB∩平面ABC=
24、AB
∴MO⊥平面ABC -------------------------------2分
∵△NOS和△AOC都是等腰直角三角形
∵AB=2AC=2，AB=4AN， ∴AO=AC，NO=SO，
∴∠AOC=45°，∠ONS=45°，
∴CO⊥SN，∴CM⊥SN. -------------------------------6分
（2）在△MNC中， MN=, CN=, CM=，
∴S△MNC= -------------------------------10分
設(shè)S
25、到平面MNC的距離為h，SN與平面CMN所成角為θ,
∵VM﹣NSC=VS﹣NMC ∴S△NSC.MO=S△MNC.h ∴h= -------------------------------11分
∴sinq== ∴SN與平面CMN所成角為 . -------------------------------12分
解法二：（1）證明：取AB中點O，連接MO、SO，∵MA=MB，∴MO⊥AB，
∵平面MAB⊥平面ABC，平面MAB∩平面ABC=AB, ∴MO⊥平面ABC，又SO⊥AB ；
∴如圖,可以以O(shè)為原點，以O(shè)B為x軸，以O(shè)
26、S為y軸，
以O(shè)M為z軸建立空間直角坐標(biāo)系， -------------------------------2分
各點坐標(biāo)如下：C(-1,1,0)、M(0,0,)、N(-,0,0)、S(0,,0)
∴=(1,-1,)，=(-,-,0)， -------------------------------5分
∴ , ∴CM⊥SN -------------------------------6分
（2）由題意知=(, -1, 0), =(, 0, )， ------------------------8分
設(shè)平面CMN的法向量為=(x,
27、y,z)，則，∴
令y=1,得平面CMN的法向量為=(2,1,-2)， -------------------------------10分
設(shè)SN與平面CMN所成角為q，則sinq=|cos<,>|=，
∴SN與平面CMN所成角為 -------------------------------12分
19．(本小題滿分12分)
某班同學(xué)利用國慶節(jié)進行社會實踐，對 歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人
28、數(shù)頻率分布直方圖：
組數(shù)
分組
低碳族的人數(shù)
占本組的頻率
第一組
[25,30)
120
0.6
第二組
[30,35)
195
p
第三組
[35,40)
100
0.5
第四組
[40,45)
a
0.4
第五組
[45,50)
30
0.3
第六組
15
0.3
(1)補全頻率分布直方圖并求n、a、p的值；
(2)從，使 2φ(x1)<φ(x2)成立，求實數(shù)t的取值范圍．
【解析】(1)∵函數(shù)的定義域為R，f′(x)＝, ------------------
29、---------1分
1)當(dāng)a=0時，f′(x)<0，f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，＋∞);
2)當(dāng)a<0時，由f′(x)=0，得x=;
∴f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，),單調(diào)遞減區(qū)間是(，+∞);
3)當(dāng)0
30、x)在上單調(diào)遞減，
∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1.
②當(dāng)t≤0時，φ′(x)>0，φ(x)在上單調(diào)遞增，
∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0.
③當(dāng)00，φ(x)在(t，1]上單調(diào)遞增，所以2φ(t)
31、:幾何證明選講
如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，直線ADE，CFD，CGE都是⊙O的割線，
已知AC=AB.
(1) 若CG=1，CD=4，求的值;
(2) 求證：FG//AC.
【解析】(1) 由題意可得：四點共圓，
.
∽. .
又，=4. -----------------------4分
(2)因為AB為切線，AE為割線，AB2=AD·AE，
又因為AC=AB，所以AD·AE=AC2，．
所以，又因為，所以∽，
所以，又因為，所以，
所以FG//AC．
32、 ----------------------10分
23．（本小題滿分10分）選修4～4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓C的方程為r=6sinq.
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點P（1,2）,設(shè)圓C與直線l交于點A，B．求∣PA∣+∣PB∣的最小值．
【解析】（1）由r=6sinq得r2=6rsinq.，化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=6y，
即x2+(y-3)2=
33、9. -----------------------4分
（2）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得.
由，故可設(shè)是上述方程的兩根，
所以又直線過點，故結(jié)合t的幾何意義得
=
所以∣PA∣+∣PB∣的最小值為 -----------------------10分
24．（本小題滿分10分）選修4～5：不等式選講
設(shè)不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集為M，a，b∈M.
(1)證明：;
(2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小，并說明理由．
【解析】(1)證
34、明：記f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
由－2<－2x－1<0，解得－0，
所以|1－4ab|2>4|a－b|2，
故|1－4ab|>2|a－b| -----------------------10分
·28·
甘肅省蘭州一中高三上學(xué)期期中考試 理科數(shù)學(xué)試題及答案
