高中數(shù)學 第二章 平面解析幾何習題課課件 新人教B版必修2

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1、習題課圓的方程的綜合應用1.圓的標準方程與一般方程的比較 2.直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的解決方法(1)幾何法側(cè)重點在于利用圓的幾何性質(zhì),并利用半徑與距離的量來刻畫位置關(guān)系,解法簡捷、直觀;(2)代數(shù)法側(cè)重點在于利用聯(lián)立方程的思路,通過方程解的組數(shù)來刻畫位置關(guān)系,解法比較抽象,但很嚴謹.3.重要結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0 x+y0y=r2.(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)過圓x2+y2=r2外一點P(a,b)作圓的切線PA,PB,其中A,B為切點,則直

2、線AB的方程為ax+by=r2.(4)A(x1,y1),B(x2,y2),以AB為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(5)過兩圓交點的直線方程.設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,-得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.若圓C1與圓C2相交,則為過兩圓交點的弦所在直線的方程.(6)過直線與圓的交點的圓系方程.若直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,則方程x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0表示過直線l與圓C的兩個交點的圓系方程.(7)過圓

3、與圓的交點的圓系方程.若圓C1:x2+y2+Dx+Ey+F=0與圓C2:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,則過這兩個圓交點的圓系方程可設(shè)為x2+y2+Dx+Ey+F+(x2+y2+Dx+Ey+F)=0(-1).(8)圓的常用幾何性質(zhì).圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上.圓上異于直徑端點的點與直徑的兩端點連線垂直.過切點且垂直于該切線的直線必過圓心.4.做一做:如果x2+y2-2x+y+k=0是圓的方程,則實數(shù)k的取值范圍是()答案:B 解析:本題可轉(zhuǎn)化為直線x+y+1=0與圓(x-1)2+(y-1)2=R2(R0)相切,求R.答案:B6.做一做:直線x+ y-2=0與圓x2+y2=4相交于A,

4、B兩點,則弦AB的長度等于()解析:如圖所示,由題意知圓的圓心坐標為(0,0),半徑r=2. 答案:B 7.做一做:若直線x-my+2=0與圓x2+(y-1)2=1有兩個不同的交點,則()解析:由已知得直線與圓相交,因此圓心到直線的距離 答案:B 8.做一做:若圓(x+2)2+y2=9與圓(x-1)2+(y+a)2=64內(nèi)切,則實數(shù)a=.解析:兩圓圓心坐標分別為(-2,0),(1,-a),半徑分別為3和8.答案:4 9.做一做:求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點,且滿足下列條件的圓的方程.(1)過原點;(2)面積最小.解:(1)設(shè)所求的圓的方程為:x2+y2+2x

5、-4y+1+(2x+y+4)=0,即x2+y2+2(1+)x+(-4)y+1+4=0.此圓過原點,(2)依題意可知當圓心在直線2x+y+4=0上時,所求的圓的面積最小.探究一探究二探究三探究四探究五一題多解求圓的方程求圓的方程【例1】 已知圓C關(guān)于y軸對稱,經(jīng)過點A(1,0),且被x軸分成兩段弧長之比為12,求圓C的方程.思路分析:先設(shè)出圓的標準方程,然后利用點在圓上及弧長之比列出方程組求解即可.解:因為圓C關(guān)于y軸對稱,所以圓心C在y軸上,故可設(shè)C(0,b),圓C的半徑為r,即圓的方程為x2+(y-b)2=r2,又圓C被x軸分成兩段弧長之比為12,經(jīng)過A(1,0),探究一探究二探究三探究四探

6、究五一題多解反思感悟求圓的方程的兩種方法(1)直接法:利用圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,數(shù)形結(jié)合直接求出圓心坐標、半徑,進而求出圓的方程.(2)待定系數(shù)法:先設(shè)出圓的方程,再由條件構(gòu)建系數(shù)滿足的方程(組)求得各系數(shù),進而求出圓的方程.探究一探究二探究三探究四探究五一題多解變式訓練變式訓練1設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點,若|AB|=2 ,則圓C的面積為.解析:圓C的方程可化為x2+(y-a)2=2+a2,直線方程為x-y+2a=0,故圓C的面積為(2+a2)=4.答案:4探究一探究二探究三探究四探究五一題多解直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應用直線與圓、

7、圓與圓位置關(guān)系的應用【例2】 (1)設(shè)直線kx-y+1=0被圓O:x2+y2=4所截弦的中點的軌跡為C,則曲線C與直線x+y-1=0的位置關(guān)系為()A.相交B.相切C.相離D.不確定(2)已知圓C1:x2+y2=m與圓C2:x2+y2+6x-8y-11=0相切,則實數(shù)m的值為.解析:(1)直線kx-y+1=0恒過點(0,1)且點(0,1)在圓O內(nèi),又所截弦的中點與點(0,1)的連線垂直于與點(0,0)的連線,則弦的中點的軌跡C為以點(0,1)和點(0,0)為直徑兩端點的圓,其方程為曲線C與直線x+y-1=0相交,故選A. 探究一探究二探究三探究四探究五一題多解(2)由于圓C1的圓心在圓C2內(nèi)部

8、,所以兩圓只能內(nèi)切.圓C2的方程可化為(x+3)2+(y-4)2=36,由于兩圓內(nèi)切,所以有 =5,解得m=1或m=121.答案:(1)A(2)1或121反思感悟解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系問題有幾何法和代數(shù)法,但一般使用幾何法解決,解決的關(guān)鍵是找出圓心、半徑及距離,含參類問題也要注意最后結(jié)果的檢驗.探究一探究二探究三探究四探究五一題多解變式訓練變式訓練2(1)若直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是()A.-3,-1B.-1,3C.-3,1D.(-,-31,+)(2)圓x2+y2+4x-4y+7=0與圓x2+y2-4x+10y+13=0的公切線的條數(shù)是()

9、A.1B.2C.3D.4探究一探究二探究三探究四探究五一題多解解析:(1)圓(x-a)2+y2=2的圓心C(a,0)到直線x-y+1=0的距離為d,半徑分別為r1=1,r2=4,則dr1+r2,即兩圓相離,因此它們有4條公切線.答案:(1)C(2)D探究一探究二探究三探究四探究五一題多解與圓有關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的最值問題【例3】 若實數(shù)x,y滿足(x-2)2+y2=3,則 的最大值為.探究一探究二探究三探究四探究五一題多解反思感悟處理與圓有關(guān)的最值問題,應充分考慮圓的幾何性質(zhì),并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合思考求解.與圓有關(guān)的最值問題,常見的有以下幾種類型:(2)形如t=ax+by的最

10、值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點與定點的距離的平方的最值問題.探究一探究二探究三探究四探究五一題多解變式訓練變式訓練3若直線l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長,則(a-2)2+(b-2)2的最小值為()答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五一題多解與圓有關(guān)的弦及弦長問題與圓有關(guān)的弦及弦長問題【例4】 (1)已知圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.當a為何值時,直線l與圓C相切?當直線l與圓交于A,B兩點,且|AB|=2 時,求直線l的方程.(2)已知圓x2+y2+

11、x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P,Q兩點,O為坐標原點,那么是否存在實數(shù)m,使得OPOQ?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.思路分析:(1)利用d=r列式;利用弦長公式列方程;(2)通過原點和點(x,y)的直線的斜率為 ,由直線與圓的方程構(gòu)造以 為未知數(shù)的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系得出kOPkOQ的表達式,從而使問題得以解決.探究一探究二探究三探究四探究五一題多解解:(1)圓的方程化為標準方程為x2+(y-4)2=4,即圓心為C(0,4),半徑r=2.設(shè)AB中點為D,則CDB為直角三角形,點C到直線AB的距離為直線l的方程為x-y+2=0或7x-y+14=0. 探究一探

12、究二探究三探究四探究五一題多解(2)由直線方程得3=x+2y,將其代入圓的方程x2+y2+x-6y+m=0,整理得(12+m)x2+4(m-3)xy+(4m-27)y2=0.由題意知x0,經(jīng)檢驗,符合題意.故存在m=3,使得OPOQ.探究一探究二探究三探究四探究五一題多解2.關(guān)于弦的逆向問題,一定要將垂直、夾角或距離等條件用代數(shù)式表達出來,進而求得參數(shù).探究一探究二探究三探究四探究五一題多解變式訓練變式訓練4(1)已知直線x-y+a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B兩點,且ACBC,則實數(shù)a的值為.(2)已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-

13、4x+2y-11=0.求兩圓的公共弦所在直線的方程及公共弦長.(1)解析:由題意,得圓心C的坐標為(-1,2),半徑r=3.答案:0或6 探究一探究二探究三探究四探究五一題多解兩式相減并化簡得3x-4y+6=0,則3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在直線的方程.由題易知圓C1的圓心C1(-1,3),半徑r=3.C1到直線3x-4y+6=0的距離探究一探究二探究三探究四探究五一題多解與圓有關(guān)的軌跡問題與圓有關(guān)的軌跡問題【例5】 定長為4的線段AB的兩個端點A,B分別在x軸和y軸上滑動,求線段AB的中點M的軌跡方程.思路分析:要設(shè)出動點M及A,B的坐標,并找出三點坐標之間的關(guān)系,最后利用|AB|=

14、4化簡即得.解:設(shè)線段AB的中點M為(x,y),線段AB的端點A(x0,0),B(0,y0), 化簡得x2+y2=4,所以線段AB的中點M的軌跡方程是x2+y2=4.探究一探究二探究三探究四探究五一題多解反思感悟求軌跡的方法很多,但目前應掌握好直接法與相關(guān)點法:直接法的關(guān)鍵是設(shè)出動點,直接將條件代數(shù)化化簡即得;相關(guān)點法不僅要設(shè)出所求動點坐標,還要設(shè)出與之聯(lián)動的相關(guān)點的坐標,并且要找出它們坐標之間的關(guān)系,再代數(shù)化化簡即得.探究一探究二探究三探究四探究五一題多解變式訓練變式訓練5已知點O(0,0)和點B(m,0)(m0),動點P到點O和點B的距離之比為21.求P點的軌跡.解:設(shè)P(x,y),由|P

15、O|PB|=21, 探究一探究二探究三探究四探究五一題多解與圓有關(guān)的切線問題【典例】 求經(jīng)過點(1,-7)且與圓x2+y2=25相切的直線方程.思路點撥:方法1:采用代數(shù)法,根據(jù)當=0時直線與圓相切來求斜率k.方法2:采用幾何法,若直線與圓相切,則圓心到直線的距離等于半徑.方法3:利用過圓上一點(x0,y0)的切線方程為x0 x+y0y=r2求解.探究一探究二探究三探究四探究五一題多解解法1因為12+(-7)2=5025,所以點(1,-7)是圓外一點.由題易知切線的斜率存在,所以設(shè)切線的斜率為k,由點斜式得y+7=k(x-1),即y=k(x-1)-7.將上式代入圓的方程x2+y2=25,得x2

16、+k(x-1)-72=25,整理得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0,令=(2k2+14k)2-4(k2+1)(k2+14k+24)=0,整理得12k2-7k-12=0,所以切線方程為4x-3y-25=0或3x+4y+25=0. 探究一探究二探究三探究四探究五一題多解解法2由題易知切線的斜率存在,所以設(shè)所求直線的斜率為k,所以所求切線的方程為y+7=k(x-1),整理成一般式為kx-y-k-7=0.所以切線方程為4x-3y-25=0或3x+4y+25=0. 探究一探究二探究三探究四探究五一題多解解法3設(shè)所求切線的方程為x0 x+y0y=25,(x0,y0)是圓上的點

17、,將點(1,-7)代入上式得x0-7y0=25,故所求切線的方程為4x-3y-25=0或3x+4y+25=0. 名師點評在求過定點的圓的切線方程時,應首先確定點與圓的位置關(guān)系:(1)若點在圓外,則切線應有兩條,若根據(jù)點到直線(設(shè)成點斜式的直線)的距離等于半徑,求出的切線只有一條,則說明還有一條斜率不存在的直線,不要漏掉;(2)若點在圓上,則切線只有一條,這條切線與圓心和該點的連線垂直,垂足為該點.1234561.已知點M(x0,y0)是圓x2+y2=a2(a0)內(nèi)異于圓心的一點,則直線x0 x+y0y=a2與該圓的位置關(guān)系為()A.相切 B.相交C.相離 D.相切或相交答案:C 1234562

18、.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓,則a的值為()A.-1B.2C.-1或2D.1解析:由題意得a2=a+2,a20,a+20,解得a=-1或a=2.因為D2+E2-綜上所述,a=-1.故選A.答案:A1234563.已知圓C:x2+y2+mx-4=0上存在兩點關(guān)于直線x-y+3=0對稱,則實數(shù)m的值為()A.8B.-4C.6D.無法確定解析:圓上存在關(guān)于直線x-y+3=0對稱的兩點,則直線x-y+3=0過圓答案:C 1234564.已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|P

19、M|+|PN|的最小值為()解析:圓C1,C2如圖所示.設(shè)P是x軸上任意一點,則|PM|的最小值為|PC1|-1,同理|PN|的最小值為|PC2|-3,則|PM|+|PN|的最小值為|PC1|+|PC2|-4.作C1關(guān)于x軸的對稱點C1(2,-3),連接C1C2,與x軸交于點P,連接PC1,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知|PC1|+|PC2|的最小值為|C1C2|,則|PM|+|PN|的最小值為5 -4.選A.答案:A1234565.已知點P是圓x2+y2=16上的動點,點A為(12,0),M為PA的中點,則點M的軌跡方程是.解析:設(shè)M(x,y),A(12,0),M為PA的中點,P(2x-1

20、2,2y).點P為圓x2+y2=16上的動點,(2x-12)2+4y2=16,即(x-6)2+y2=4.答案:(x-6)2+y2=41234566.已知點M(3,1),直線ax-y+4=0及圓(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求過M點的圓的切線方程;(2)若直線ax-y+4=0與圓相切,求a的值;(3)若直線ax-y+4=0與圓交于A,B兩點,且弦AB的長為2 ,求a的值.解:(1)圓心為C(1,2),半徑為r=2.當直線的斜率不存在時,直線方程為x=3.由圓心C(1,2)到直線x=3的距離為3-1=2=r.知此時直線與圓相切.當直線的斜率存在時,設(shè)其方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.綜上可知過M點的圓的切線方程為x=3或3x-4y-5=0. 123456