2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型一 二次函數(shù)與線段問題

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1、類型一 二次函數(shù)與線段問題 例1、 如圖1-1，拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，如果△PAC的周長最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 圖1-1 【解析】如圖1-2，把拋物線的對稱軸當(dāng)作河流，點(diǎn)A與點(diǎn)B對稱，連結(jié)BC，那么在△PBC中，PB＋PC總是大于BC的．如圖1-3，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周長也最?。? 由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)． 圖1-2 圖1-3 例2、如圖，

2、拋物線與y軸交于點(diǎn)A，B是OA的中點(diǎn)．一個(gè)動點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)，先經(jīng)過x軸上的點(diǎn)M，再經(jīng)過拋物線對稱軸上的點(diǎn)N，然后返回到點(diǎn)A．如果動點(diǎn)G走過的路程最短，請找出點(diǎn)M、N的位置，并求最短路程． 圖2-1 【解析】如圖2-2，按照“臺球兩次碰壁”的模型，作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)B′，連結(jié)A′B′與x軸交于點(diǎn)M，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)N． 在Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以A′B′＝10，即點(diǎn)G走過的最短路程為10．根據(jù)相似比可以計(jì)算得到OM＝，MH＝，NH＝1．所以M(, 0)，N(4, 1)． 圖2-2 例3、如圖3-1，拋物線與

3、y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B．點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，求線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 圖3-1 【解析】題目讀起來像繞口令，其實(shí)就是求|PA－PB|的最小值與最大值． 由拋物線的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)．設(shè)P(x, 0)． 絕對值|PA－PB|的最小值當(dāng)然是0了，此時(shí)PA＝PB，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上（如圖3-2）．解方程x2＋22＝(x－3)2＋62，得．此時(shí)P． 在△PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么|PA－PB|總是小于AB了．如圖3-3，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上時(shí)，|PA－PB|取得最大值，最大值

4、AB＝5．此時(shí)P． 圖3-2 圖3-3 例4、如圖4-1，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，點(diǎn)P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點(diǎn)，求PK＋QK的最小值． 圖4-1 【解析】如圖4-2，點(diǎn)Q關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)為Q′，在△KPQ′中，PK＋QK總是大于PQ′的．如圖4-3，當(dāng)點(diǎn)K落在PQ′上時(shí)，PK＋QK的最小值為PQ′．如圖4-4，PQ′的最小值為Q′H，Q′H就是菱形ABCD的高，Q′H＝． 這道題目應(yīng)用了兩個(gè)典型的最值結(jié)論：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短． 圖4-2 圖4

5、-3 圖4-4 例5、如圖5-1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙B和⊙A上的動點(diǎn)，求PE＋PF的最小值． 圖5-1 【解析】E、F、P三個(gè)點(diǎn)都不確定，怎么辦？BE＝1，AF＝2是確定的，那么我們可以求PB＋PA－3的最小值，先求PB＋PA的最小值（如圖5-2）． 如圖5-3，PB＋PA的最小值為AB′，AB′＝6．所以PE＋PF的最小值等于3． 圖5-2 圖5-3 例6、如圖6-1，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a

6、, 0)、F(a＋1, 0)，求a為何值時(shí)，四邊形ABEF周長最??？請說明理由． 圖6-1 【解析】在四邊形ABEF中，AB、EF為定值，求AE＋BF的最小值，先把這兩條線段經(jīng)過平移，使得兩條線段有公共端點(diǎn)． 如圖6-2，將線段BF向左平移兩個(gè)單位，得到線段ME． 如圖6-3，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，MA′與x軸的交點(diǎn)E，滿足AE＋ME最?。? 由△A′OE∽△BHF，得．解方程，得． 圖6-2 圖6-3 例7、如圖7-1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，當(dāng)

7、點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)C也隨之在y軸上運(yùn)動．在整個(gè)運(yùn)動過程中，求點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離． 圖7-1 【解析】如果把OB放在某一個(gè)三角形中，這個(gè)三角形的另外兩條邊的大小是確定的，那么根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和． 顯然△OBC是不符合條件的，因?yàn)镺C邊的大小不確定． 如圖7-2，如果選AC的中點(diǎn)D，那么BD、OD都是定值，OD＝1，BD＝． 在△OBD中，總是有OB＜OD＋BD． 如圖7-3，當(dāng)點(diǎn)D落在OB上時(shí)，OB最大，最大值為． 圖7-2 圖7-3 例8、如圖8-1，已知A(－2,0

8、)、B(4, 0)、．設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連結(jié)AF，一動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動到D后停止．當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動過程中用時(shí)最少？ 圖8-1 【解析】點(diǎn)B(4, 0)、的坐標(biāo)隱含了∠DBA＝30°，不由得讓我們聯(lián)想到30°角所對的直角邊等于斜邊的一半． 如果把動點(diǎn)M在兩條線段上的速度統(tǒng)一起來，問題就轉(zhuǎn)化了． 如圖8-2，在Rt△DEF中，F(xiàn)D＝2FE．如果點(diǎn)M沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，那么點(diǎn)M沿線段FE以每秒1個(gè)單位的速度正好運(yùn)動到點(diǎn)E．因此當(dāng)AF＋FE最小時(shí)，點(diǎn)M用時(shí)

9、最少． 如圖8-3，當(dāng)AE⊥DE時(shí)，AF＋FE最小，此時(shí)F． 圖8-2 圖8-3 例9、如圖9-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，連結(jié)AE，過點(diǎn)E作AE的垂線交AB邊于點(diǎn)F，求AF的最小值． 圖9-1 【解析】如圖9-2，設(shè)AF的中點(diǎn)為D，那么DA＝DE＝DF．所以AF的最小值取決于DE的最小值． 如圖9-3，當(dāng)DE⊥BC時(shí)，DE最小．設(shè)DA＝DE＝m，此時(shí)DB＝． 由AB＝DA＋DB，得．解得．此時(shí)AF＝． 圖9-2 圖9-3

10、 例10、如圖10-1，已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為(0, 1)、(1, 2)，連結(jié)PD、PE，求PD＋PE的最小值． 圖10-1 【解析】點(diǎn)P不在一條筆直的河流上，沒有辦法套用“牛喝水”的模型． 設(shè)P，那么PD2＝．所以PD＝． 如圖10-2，的幾何意義可以理解為拋物線上的動點(diǎn)P到直線y＝－1的距離PH．所以PD＝PH．因此PD＋PE就轉(zhuǎn)化為PH＋PE． 如圖10-3，當(dāng)P、E、H三點(diǎn)共線，即PH⊥x軸時(shí)，PH＋PE的最小值為3． 高中數(shù)學(xué)會學(xué)到，拋物線是到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的集合，在中考數(shù)學(xué)壓軸題里, 如果要用到這個(gè)性質(zhì)，最好鋪墊一個(gè)小題，求證PD＝PH. 圖10-2 圖10-3 7