2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第19講 平行四邊形（含多邊形）（含解析）

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1、第19講　平行四邊形(含多邊形) 1．平行四邊形 (1)性質(zhì)： ①平行四邊形兩組對邊分別__相等__； ②平行四邊形對角相等，鄰角__互補(bǔ)__； ③平行四邊形對角線互相__平分__； ④平行四邊形是__中心__對稱圖形． (2)判定方法： ①定義：兩組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； ②兩組對邊分別__相等__的四邊形是平行四邊形； ③一組對邊平行且相等 的四邊形是平行四邊形； ④兩組對角 分別相等 的四邊形是平行四邊形； ⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形． 2．多邊形及其性質(zhì) (1)多邊形： ①內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于

2、(n－2)·180° ； ②外角和定理：n邊形的外角和為 360°； ③對角線：過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可引n－3條對角線，n邊形共有 條對角線． (2)正多邊形： ①正多邊形各邊相等，各內(nèi)角相等，各外角相等； ②正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為(n≥3)，每一個(gè)外角為； ③對稱性：所有的正多邊形都是軸對稱圖形，正n邊形有_n__條對稱軸；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形. 考點(diǎn)1：多邊形內(nèi)角和計(jì)算 【例題1】在一個(gè)多邊形中，一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角與其他各內(nèi)角的和為600°. (1)如果這個(gè)多邊形是五邊形，請求出這個(gè)外角的度數(shù)；

3、(2)是否存在符合題意的其他多邊形？如果存在，請求出邊數(shù)及這個(gè)外角的度數(shù)；如果不存在，請說明理由． 【解析】：(1)設(shè)這個(gè)外角的度數(shù)是x°.由題意，得 (5－2)×180－(180－x)＋x＝600.解得x＝120. 故這個(gè)外角的度數(shù)是120°. (2)存在．設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，這個(gè)外角的度數(shù)是x°.由題意，得 (n－2)×180－(180－x)＋x＝600. 整理，得x＝570－90n. ∵0＜x＜180，即0＜570－90n＜180. 解得4

4、歸納：本題注意隱含條件的挖掘，即鄰補(bǔ)角和為180°及凸多邊形的一個(gè)內(nèi)角是小于平角的角． 考點(diǎn)2：平行四邊形的性質(zhì)與判定 【例題2】(2017·大慶)如圖，以BC為底邊的等腰△ABC，點(diǎn)D，E，G分別在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延長GE至點(diǎn)F，使得BE＝BF. (1)求證：四邊形BDEF為平行四邊形； (2)當(dāng)∠C＝45°，BD＝2時(shí)，求D，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離． 【解析】(1)證明：∵△ABC是等腰三角形， ∴∠ABC＝∠C. ∵EG∥BC，DE∥AC， ∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四邊形CDEG是平行四邊形， ∴∠DEG＝∠C＝∠AEG. ∵BE＝BF

5、， ∴∠F＝∠BEF＝∠AEG， ∴∠F＝∠DEG， ∴BF∥DE. 又∵EG∥BC，即FE∥BD， ∴四邊形BDEF為平行四邊形； (2)解：∵∠C＝45°， ∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°， ∴△BDE，△BEF均是等腰直角三角形， ∴BF＝BE＝BD＝. 過點(diǎn)F作FM⊥BD交DB的延長線于點(diǎn)M，連接DF，如解圖所示． 則△BFM是等腰直角三角形． ∴FM＝BM＝BF＝1， ∴DM＝3. 在Rt△DFM中，由勾股定理得DF＝＝. 即D，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離為. 考點(diǎn)3： 關(guān)于平行四邊形的綜合探究問題 【例題3】(2018四川省眉山市15分 ) 如圖①

6、，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，AB=AC=BD，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，N為線段AM上的點(diǎn)，且MB=MN. （1）求證：BN平分∠ABE； （2）若BD=1，連結(jié)DN，當(dāng)四邊形DNBC為平行四邊形時(shí)，求線段BC的長； （3）如圖②，若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連結(jié)FN、FM，求證：△MFN∽△BDC. 【答案】（1）證明：∵AB=AC, ?∴∠ABC=∠ACB, 又∵M(jìn)為BC中點(diǎn)， ∴AM⊥BC， 在Rt△ABM中， ∴∠ABC+∠MAB=90°, ∵AC⊥BD， 在Rt△CBE中， ∴∠ACB+∠EBC=90°, ∴∠MAB=∠EBC, 又∵

7、MB=MN，AM⊥BC， ∴△NBM為等腰直角三角形， ∴∠MBN=∠MNB=45°, ∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°, ∵∠MAB=∠EBC, ∴∠NBE=∠ABN, ∴BN平分∠ABE. （2）解：∵四邊形DNBC為平行四邊形， 設(shè)BM=CM=MN=a，則DN=BC=2a， 在△ABN和△DBN中， ∵ ∴△ABN≌△DBN中（SAS）， ∴AN=DN=2a， 在Rt△ABM中， ∵BD=1，AB=AC=BD， ∴AB=1， ∴AM2+BM2=AB2 ， ∴（2a+a）2+a2=1， 解得：a= . ∴BC=2

8、a= . （3）解證明：∵M(jìn)B=MN，M為BC中點(diǎn)， ∴MN=MB= BC， 又∵F是AB的中點(diǎn)，AB=AC=BD， 在Rt△ABM中， ∴MF=AF=BF= AB= BD， ∴∠MAB=∠FMN, 由（1）知∠MAB=∠EBC, ∴∠FMN=∠EBC, 又∵ , ∴△MFN∽△BDC. 一、選擇題： 1. （2018·浙江寧波·4分）已知正多邊形的一個(gè)外角等于40°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（　?。? A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解答】解：正多邊形的一個(gè)外角等于40°，且外角和為360°， 則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是：360°÷40°=9．

9、 故選：D． 2. 在平行四邊形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（　?。? A．∠D=60° B．∠A=120° C．∠C+∠D=180° D．∠C+∠A=180° 【答案】D 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D， 而∠B=60°， ∴∠A=∠C=120°，∠D=60°． 所以D是錯(cuò)誤的． 故選D． 3. （2018?寧波）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)，連結(jié)OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，則∠1的度數(shù)為（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 【

10、答案】B 【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°， ∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°， ∵對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)， ∴EO是△DBC的中位線， ∴EO∥BC， ∴∠1=∠ACB=40°．故選：B． 4. （2018·浙江省臺州·4分）如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=3．以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q，再分別以點(diǎn)P，Q為圓心，大于PQ的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)N，射線CN交BA的延長線于點(diǎn)E，則AE的長是（　?。? A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：∵由題意可知CF是∠BCD的平

11、分線， ∴∠BCE=∠DCE． ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC， ∴BE=BC=3， ∵AB=2， ∴AE=BE﹣AB=1， 故選：B． 5. （2018?陜西?3分）點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對稱中心，AD＞AB，E.F分別是AB邊上的點(diǎn)，且EF＝AB；G、H分別是BC邊上的點(diǎn)，且GH＝BC；若S1,S2分別表示?EOF和?GOH的面積，則S1,S2之間的等量關(guān)系是（ ）. A．2S1＝3S2. B．2S1＝S2. C． S1＝3S2. D．3S1＝2S2. 【答案】A 【詳解】

12、過點(diǎn)O分別作OM⊥BC，垂足為M，作ON⊥AB，垂足為N， ∵點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對稱中心， ∴S平行四邊形ABCD=AB?2ON， S平行四邊形ABCD=BC?2OM， ∴AB?ON=BC?OM， ∵S1=EF?ON，S2=GH?OM，EF＝AB，GH＝BC， ∴S1=AB?ON，S2=BC?OM， ∴2S1＝3S2， 故答案為：2S1＝3S2.故選A. 二、填空題： 6. （2018·湖南省衡陽·3分）如圖，?ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，且AD≠CD，過點(diǎn)O作OM⊥AC，交AD于點(diǎn)M．如果△CDM的周長為8，那么?ABCD的周長是　?。? 【答案】16 【

13、解答】解：∵ABCD是平行四邊形， ∴OA=OC， ∵OM⊥AC， ∴AM=MC． ∴△CDM的周長=AD+CD=8， ∴平行四邊形ABCD的周長是2×8=16． 故答案為16． 7. （2018?十堰）如圖，已知?ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=10，AB=5，則△OCD的周長為　 ?。? 【答案】14 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5， ∴△OCD的周長=5+4+5=14， 故答案為14． 8. （2018?株洲市?3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，且BD＝CD，過點(diǎn)A

14、作AM⊥BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，且DN＝，在DB的延長線上取一點(diǎn)P，滿足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，則AP＝_____. 【答案】6 【解析】分析：根據(jù)BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根據(jù)AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依據(jù)∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，進(jìn)而得到AP=AM=6． 詳解：∵BD=CD，AB=CD， ∴BD=BA， 又∵AM⊥BD，DN⊥AB， ∴DN=AM=3， 又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP， ∴∠P=∠PAM， ∴△APM是等

15、腰直角三角形， ∴AP=AM=6， 故答案為：6． 9. （2018?無錫）如圖，已知∠XOY=60°，點(diǎn)A在邊OX上，OA=2．過點(diǎn)A作AC⊥OY于點(diǎn)C，以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊三角形ABC，點(diǎn)P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥OY交OX于點(diǎn)D，作PE∥OX交OY于點(diǎn)E．設(shè)OD=a，OE=b，則a+2b的取值范圍是　 ?。? 【答案】2≤a+2b≤5． 【解答】解：過P作PH⊥OY交于點(diǎn)H， ∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四邊形EODP是平行四邊形，∠HEP=∠XOY=60°， ∴EP=OD=a， Rt△HEP中，∠EPH=30°，

16、∴EH=EP=a， ∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH， 當(dāng)P在AC邊上時(shí)，H與C重合，此時(shí)OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2； 當(dāng)P在點(diǎn)B時(shí)，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5， ∴2≤a+2b≤5． 三、解答題： 10. 已知n邊形的內(nèi)角和θ＝(n－2)×180°. (1)甲同學(xué)說，θ能取360°；而乙同學(xué)說，θ也能取630°.甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n；若不對，說明理由； (2)若n邊形變?yōu)?n＋x)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x. 【解析】：(1)甲對，乙不對．理由： ∵θ＝360°

17、，∴(n－2)×180＝360.解得n＝4. ∵θ＝630°，∴(n－2)×180＝630.解得n＝. ∵n為整數(shù)，∴θ不能取630°. ∴甲對，乙不對． (2)依題意，得 (n－2)×180＋360＝(n＋x－2)×180. 解得x＝2. 11. (2017·河北模擬)看圖回答問題： (1)內(nèi)角和為2 018°，佳佳為什么說不可能？ (2)音音求的是幾邊形的內(nèi)角和？ 【解析】：(1)∵n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°， ∴內(nèi)角和一定是180°的倍數(shù)． ∵2 018÷180＝11……38， ∴內(nèi)角和為2 018°不可能． (2)設(shè)漏加的內(nèi)角為x°，依題意，得

18、 (n－2)·180＝2 018＋x， ∴x＝180n－2 378. ∵90＜x＜180，∴90＜180n－2 378＜180. 解得13＜n＜14，且n為整數(shù)． ∴多邊形的邊數(shù)是14. 故音音求的是十四邊形的內(nèi)角和． 12. 如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)在對角線AC上． (1)若BE，DF分別是△ABO，△CDO的中線，求證：四邊形BEDF是平行四邊形； (2)若BE，DF分別是△ABO，△CDO的角平分線，四邊形BEDF還是平行四邊形嗎？若BE，DF分別是△ABO，△CDO的高線時(shí)，四邊形BEDF還是平行四邊形嗎？ 【點(diǎn)撥】(1)可從對角線互相平分上證明四邊形BEDF是

19、平行四邊形；(2)BE，DF分別是△ABO，△CDO的角平分線和高線時(shí)，可得到△BOE≌△DOF，仍有OE＝OF，則有四邊形BEDF是平行四邊形． 【解答】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BE，DF分別是△ABO，△CDO的中線， ∴OE＝OF. ∴四邊形BEDF是平行四邊形． (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OB＝OD，AB∥CD. ∴∠ABO＝∠CDO. ∵BE，DF分別是△ABO，△CDO的角平分線， ∴∠OBE＝∠ODF. 又∵∠BOE＝∠DOF， ∴△BOE≌△DOF(ASA)． ∴OE＝OF. ∴

20、四邊形BEDF是平行四邊形． 同理可證得BE，DF分別是△ABO，△CDO的高線時(shí)，仍有四邊形BEDF是平行四邊形． 13. 正方形ABCD的邊長是5，點(diǎn)M是直線AD上一點(diǎn)，連接BM，將線段BM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段ME，在直線AB上取點(diǎn)F，使AF＝AM，且點(diǎn)F與點(diǎn)E在AD同側(cè)，連接EF，DF. (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在DA延長線上時(shí)，求證：△ADF≌△ABM； (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，求證：四邊形DFEM是平行四邊形； (3)在(2)的條件下，線段AM與線段AD有什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EFDM的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值． 圖1　　　　　　　　圖2

21、【解析】：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠DAF＝∠BAM＝90°，AD＝AB. 在△ADF和△ABM中， ∴△ADF≌△ABM(SAS)． (2)證明：延長BM交DF于K. ∵△ADF≌△ABM， ∴DF＝BM，∠ABM＝∠ADF. ∵EM＝BM，∴EM＝DF. ∵∠ABM＋∠AMB＝90°，∠AMB＝∠DMK， ∴∠ADF＋∠DMK＝90°.∴∠BKD＝90°. ∵∠EMB＝90°，∴∠EMB＝∠BKF＝90°. ∴EM∥DF. ∴四邊形EFDM是平行四邊形． (3)設(shè)DM＝x，則AM＝AF＝5－x， S?EFDM＝DM·AF＝x(5－x)＝－(

22、x－)2＋. ∵－1＜0， ∴x＝時(shí)，?EFDM的面積最大，最大面積為， 即當(dāng)AM＝AD時(shí)，?EFDM的面積最大，最大面積為. 14. 正方形ABCD的邊長是5，點(diǎn)M是直線AD上一點(diǎn)，連接BM，將線段BM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段ME，在直線AB上取點(diǎn)F，使AF＝AM，且點(diǎn)F與點(diǎn)E在AD同側(cè)，連接EF，DF. (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在DA延長線上時(shí)，求證：△ADF≌△ABM； (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，求證：四邊形DFEM是平行四邊形； (3)在(2)的條件下，線段AM與線段AD有什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EFDM的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值． 圖1　　　　　

23、　　　圖2 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠DAF＝∠BAM＝90°，AD＝AB. 在△ADF和△ABM中， ∴△ADF≌△ABM(SAS)． (2)證明：延長BM交DF于K. ∵△ADF≌△ABM， ∴DF＝BM，∠ABM＝∠ADF. ∵EM＝BM，∴EM＝DF. ∵∠ABM＋∠AMB＝90°，∠AMB＝∠DMK， ∴∠ADF＋∠DMK＝90°.∴∠BKD＝90°. ∵∠EMB＝90°，∴∠EMB＝∠BKF＝90°. ∴EM∥DF. ∴四邊形EFDM是平行四邊形． (3)設(shè)DM＝x，則AM＝AF＝5－x， S?EFDM＝DM·AF＝x(5－x)＝－(x－)2＋. ∵－1＜0， ∴x＝時(shí)，?EFDM的面積最大，最大面積為， 即當(dāng)AM＝AD時(shí)，?EFDM的面積最大，最大面積為. 13