2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題5 因式分解（含解析）

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1、專題05 因式分解 專題知識回顧 1.分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式. 2.分解因式的一般方法： （1）提公共因式法. （2）運(yùn)用公式法. ①平方差公式： ②完全平方公式： （3）十字相乘法。利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法. ①對于二次三項(xiàng)式，若存在 ，則 ②首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法 在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下： 　　按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三

2、項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即. （4）分組分解法 對于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進(jìn)行分組，然后再分解因式. 3.分解因式的步驟： (1)先看各項(xiàng)有沒有公因式,若有,則先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來達(dá)到分解的目的; (4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解; (5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因

3、式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止. 若有公因式，先提公因式；然后再考慮用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每個(gè)因式都不能再分解為止. 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019?江蘇無錫）分解因式4x2－y2的結(jié)果是（ ） A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y） C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y） 【答案】C 【解析】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．直接利用平方差公式分解因式得出答案． 4x2－y

4、2＝（2x）2－y2 =（2x+y）（2x﹣y）． 【例題2】（2019貴州省畢節(jié)市） 分解因式：x4﹣16＝　 　． 【答案】（x2+4）（x+2）（x﹣2）． 【解析】運(yùn)用公式法． x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）． 【例題3】（2019廣東深圳）分解因式：ab2－a=____________． 【答案】a（b+1）（b－1） 【解析】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用 原式=a（b2－1）=a（b+1）（b－1）． 【例題4】（2019黑龍江哈爾濱）分解因式：= ． 【答案】a（a﹣3b）2． 【解析】

5、先提取公因式，再用完全平方公式。 a3﹣6a2b+9ab2 ＝a（a2﹣6ab+9b2） ＝a（a﹣3b）2． 【例題5】（經(jīng)典題）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】見解析。 【解析】（1）常數(shù)項(xiàng)－15可分為3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰為一次項(xiàng)系數(shù)。 （2）將y看作常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng)可分為(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰為一次項(xiàng)系數(shù)． 【例題6】（2019山東東營）因式分解：x（x－3）－x+3=____________． 【答案】（x－3）（x－1） 【解析】分組分解法 x（x－3

6、）－x+3= x（x－3）－（x－3）=（x－3）（x－1）． 【例題7】（2019湖北咸寧）若整式x2+my2（m為常數(shù)，且m≠0）能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，則m的值可以多少（寫一個(gè)即可）． 【答案】﹣1 【解析】令m＝﹣1，整式為x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案為：﹣1（答案不唯一）． 只要m取負(fù)值，其絕對值一個(gè)有理數(shù)的平方數(shù)即可。比如：m=-4，-9，-16，-25等。 【例題8】（經(jīng)典題）把a(bǔ)b﹣a﹣b+1分解因式。 【答案】（b﹣1）（a﹣1）． 【解析】當(dāng)被分解的式子是四項(xiàng)時(shí)，應(yīng)考慮運(yùn)用分組分解法進(jìn)行分解．本題可采用兩兩分組的方法，一、三

7、，二、四或一、二，三、四分組均可，然后再用提取公因式法進(jìn)行二次分解。 ab﹣a﹣b+1=（ab﹣a）﹣（b﹣1）=a（b﹣1）﹣（b﹣1）=（b﹣1）（a﹣1）． 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1. (2019黑龍江綏化) 下列因式分解正確的是( ) A.x2－x＝x(x+1) B.a2－3a－4＝(a+4)(a－1) C.a2+2ab－b2＝(a－b)2 D.x2－y2＝(x+y)(x－y) 【答案】D 【解析】 A.x2－x＝x(x－1),錯(cuò)誤; B.a2－3a－4＝(a－4)(a+1),錯(cuò)誤; C.a2+

8、2ab－b2不能因式分解,故錯(cuò)誤; D.x2－y2＝(x+y)(x－y),是平方差公式; 故選D 2.（2019廣西賀州）把多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果正確的是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】運(yùn)用公式法 ，故選：B． 3.（2019四川瀘州）把2a2﹣8分解因式，結(jié)果正確的是（　?。? A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2 C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2 【答案】C 【解析】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用 原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2），故選：C． 4.（2018山東濰坊）下列因式分解正確的是（　　

9、） A． x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B． x2+2x+1=x（x+2）+1 C． 3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D． 2x+4=2（x+2） 【答案】D 【解析】A.原式利用平方差公式分解得到結(jié)果，即可做出判斷； 原式=（x+2）（x﹣2），錯(cuò)誤； B.原式利用完全平方公式分解得到結(jié)果，即可做出判斷； 原式=（x+1）2，錯(cuò)誤； C.原式提取公因式得到結(jié)果，即可做出判斷； 原式=2m（x﹣2y），錯(cuò)誤； D.原式提取公因式得到結(jié)果，即可做出判斷． 原式=2（x+2），正確。 5.（2018四川南充）下列因式分解正確的是（　?。? A． a4b﹣6a3b

10、+9a2b=a2b（a2﹣6a+9） B． x2﹣x+=（x﹣）2 C． x2﹣2x+4=（x﹣2）2 D． 4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y） 【答案】B 【解析】原式各項(xiàng)分解得到結(jié)果，即可做出判斷． A.原式=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2，錯(cuò)誤； B.原式=（x﹣）2，正確； C.原式不能分解，錯(cuò)誤； D.原式=（2x+y）（2x﹣y），錯(cuò)誤。 6.（2018黑龍江齊齊哈爾）把多項(xiàng)式x2﹣6x+9分解因式，結(jié)果正確的是（?。? A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2 C．（x+3）（x﹣3） D．（

11、x+9）（x﹣9） 【答案】A 【解析】原式利用完全平方公式分解即可． x2﹣6x+9=（x﹣3）2 7.（2018湖北荊州）把多項(xiàng)式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分組分解法分解因式，正確的分組方法應(yīng)該是（　?。? A.?（4x2﹣y）﹣（2x+y2）?????B.?（4x2﹣y2）﹣（2x+y） C.?4x2﹣（2x+y2+y）??????? D.?（4x2﹣2x）﹣（y2+y） 【答案】B 【解析】把第一、三項(xiàng)為一組，利用平方差公式分解因式，二四項(xiàng)為一組，整理后再利用提公因式法分解因式即可． 原式=4x2﹣2x﹣y2﹣y， =（4x2﹣y2）﹣（2x

12、+y）， =（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y）， =（2x+y）（2x﹣y﹣1）． 二、填空題 9.(2019海南)因式分解:ab－a＝________. 【答案】a(b－1) 【解析】用提公因式法進(jìn)行因式分解,ab－a＝a(b－1). 10.（2019廣西北部灣）因式分解:3ax2-3ay2= 【答案】3a(x+y)(x-y). 【解析】3ax2-3ay2=3a(x2-y2)=3a(x+y)(x-y) 11.（2019貴州黔西南州）分解因式：9x2﹣y2＝　 ?。? 【答案】（3x+y）（3x﹣y） 【解析】運(yùn)用公式法 原式＝

13、(3x)2﹣y2 =（3x+y）（3x﹣y） 12.（2019·湖南張家界）因式分解：x2y－y＝ ． 【答案】y(x＋1)(x－1)． 【解析】x2y－y＝y(tǒng)(x2－1)＝y(tǒng)(x＋1)(x－1) ． 13.（2019湖北十堰）分解因式：a2+2a＝　 　 ?。? 【答案】a（a+2） 【解析】觀察原式，找到公因式a，提出即可．解：a2+2a＝a（a+2）． 14.（2019湖北仙桃）分解因式：x4﹣4x2＝　 ?。? 【答案】x2（x+2）（x﹣2） 【解析】x4﹣4x2＝x2（x2﹣4）＝x2（x+2）（x﹣2） 15.（2019湖

14、南湘西）因式分解：ab﹣7a＝　 ?。? 【答案】　a（b﹣7） 【解析】原式＝a（b﹣7），故答案為：a（b﹣7）． 16.（2019寧夏）分解因式： ． 【答案】 【解析】． 17.（2019年陜西?。┮蚴椒纸猓? ． 【答案】 【解析】． 18. (2019黑龍江大慶)分解因式:a2b+ab2－a－b＝________. 【答案】(a+b)(ab－1) 【解析】a2b+ab2－a－b＝ab(a+b)－(a+b)＝(a+b)(ab－1). 19.（2019吉林長春）分解因式：ab+2b= . 【答案

15、】b(a+2)． 【解析】ab+2b=b(a+2)． 20.（2019吉林?。┓纸庖蚴剑篴2-1= 【答案】(a+1)(a-1) 【解析】平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積 a2-1=(a+1)(a-1) 21.（2019·江蘇常州）分解因式：ax2－4a＝__________． 【答案】a(x＋2)(x-2) 【解析】本題考查了因式分解的常用方法，根據(jù)因式分解的步驟，先提公因式，再運(yùn)用公式法進(jìn)行分解，ax2－4a＝a(x2－4)＝a(x＋2)(x-2)，因此本題答案為a(x＋2)(x-2)． 22.（2019廣西桂林）若，則　　　　．

16、【答案】 【解析】，．故答案為：． 23.（2019內(nèi)蒙古赤峰）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　 ?。? 【答案】x（x﹣y）2 【解析】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用 原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，故答案為：x（x﹣y）2 24.（2018河南）因式分解：x3y﹣xy=　 ?。? 【答案】xy（x+1）（x﹣1） 【解析】本題考查用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解的能力，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止． 首先提取公因式xy，再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行二次分解． x3y﹣xy，

17、=xy（x2﹣1） =xy（x+1）（x﹣1） 25.（2018云南麗江）分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=________． 【答案】（x﹣3）（4x+3） 【解析】x2+3x（x﹣3）﹣9 =x2﹣9+3x（x﹣3） =（x﹣3）（x+3）+3x（x﹣3） =（x﹣3）（x+3+3x） =（x﹣3）（4x+3）． .26.（2018河南鄭州）分解因式：3a2b+6ab2=　 ?。? 【答案】3ab（a+2b）。 【解析】觀察可得此題的公因式為：3ab，提取公因式即可求得答案：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）。 27.（2018海南）分解因式：x2

18、y-y=________． 【答案】y（x+1）（x-1） 【解析】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用 x2y-y， =y（x2-1）， =y（x+1）（x-1）. 28.（2018黑龍江大慶）分解因式：9a3﹣ab2=　 ?。? 【答案】a（3a﹣b）（3a+b） 【解析】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．觀察原式9a3﹣ab2，找到公因式a，提取公因式a后發(fā)現(xiàn)9a2﹣b2是平方差公式，再利用平方差公式繼續(xù)分解． 9a3﹣ab2， =a（9a2﹣b2）， =a（3a﹣b）（3a+b）． 29.（2018遼寧錦州）分解因式x3－9x= 【答案

19、】。 【解析】要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方式或平方差式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式。因此， 。 30.（2018江西）因式分解：a2﹣6a+9=　 ?。? 【答案】（a﹣3）2． 【解析】本題是一個(gè)二次三項(xiàng)式，且a2和9分別是a和3的平方，6a是它們二者積的兩倍，符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此可用完全平方公式進(jìn)行因式分解． a2﹣6a+9=（a﹣3）2． 31.（2018遼寧沈陽）分解因式：2x2﹣8y2=　 　． 【答案】2（x+2y）（x﹣2y）． 【解析】觀察原式2x2﹣8y

20、2，找到公因式2，提出公因式后發(fā)現(xiàn)x2﹣4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式繼續(xù)分解可得． 2x2﹣8y2=2（x2﹣4y2）=2（x+2y）（x﹣2y）． 32．（2019吉林）把多項(xiàng)式ax2+2a2x+a3分解因式的結(jié)果是　 ?。? 【答案】a（x+a）2 【解析】首先提取公因式a，然后將二次三項(xiàng)式利用完全平方公式進(jìn)行分解即可． ax2+2a2x+a3 =a（x2+2ax+a2） =a（x+a）2 33.（2018重慶）分解因式： =________. 【答案】 【解析】因式分解-運(yùn)用公式法 原式= = 三、解答題

21、 34.（2019廣西河池）分解因式：． 【答案】見解析。 【解析】直接利用完全平方公式化簡，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可． 原式． 35.（2018河南）若|m﹣4|與n2﹣8n+16互為相反數(shù)，把多項(xiàng)式a2+4b2﹣mab﹣n因式分解． 【答案】見解析。 【解析】∵|m﹣4|與n2﹣8n+16互為相反數(shù)， ∴|m﹣4|+n2﹣8n+16=0， ∴|m﹣4|+（n﹣4）2=0， ∴m﹣4=0，n﹣4=0， ∴m=4，n=4， ∴a2+4b2﹣mab﹣n=a2+4b2﹣4ab﹣4=（a2+4b2﹣4ab）﹣4=（a﹣2b）2﹣22=（a﹣2b+2）（a﹣2b﹣2

22、）． 36.（2018河北）先閱讀以下材料，然后解答問題． 分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）； 也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（ nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）． 以上分解因式的方法稱為分組分解法．請用分組分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2 ． 【答案】見解析。 【解析】a3﹣b3+a2b﹣ab2 =（a3+a2b）﹣（b3+ab2） =a2（a+b）﹣b2（b+a） =（a+b）（a2﹣b2） =（a+b）2（a﹣b）． 10