2020年中考數(shù)學(xué)考點總動員 第03講 整式及其因式分解（含解析）

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1、第03講 整式及其因式分解 1．代數(shù)式及求值 (1)概念：用基本運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代數(shù)式．單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式； (2)列代數(shù)式：找出數(shù)量關(guān)系，用表示已知量的字母表示出所求量的過程； (3)代數(shù)式求值：把已知字母的值代入代數(shù)式中，并按原來的運算順序計算求值． 2．整式及有關(guān)概念 (1)單項式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項式，所有字母指數(shù)的和叫做單項式的_次數(shù)，單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)．單獨的數(shù)、字母也是單項式； (2)多項式：由幾個單項式相加組成的代數(shù)式叫做多項式，多項式里次

2、數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)，一個多項式中的每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項_； (3)整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式； (4)同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項，叫做同類項；所有的常數(shù)項都是同類項． 4．整式的運算 (1)整式的加減 整式加減的實質(zhì)是合并同類項．把多項式中同類項的系數(shù)相加，合并為一項，叫做合并同類項，其法則是：幾個同類項相加，把它們的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的__指數(shù)_不變． (2)整式的乘法 ①單項式×單項式：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)一起作為積的一

3、個因式； ②單項式×多項式：m(a＋b)＝ma＋mb； ③多項式×多項式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd； ④乘法公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2_； 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2 (3)整式的除法 ①單項式÷單項式：將系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式； ②多項式÷單項式：先把多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加． 5．因式分解 (1)定義：把一個多項式化成幾個_整式乘積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法互為逆變形． (2)因式分解的方法

4、 ①提取公因式法： ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)． 公因式的確定： (3)因式分解的一般步驟 ①如果多項式的各項有公因式，那么必須先提取公因式； ②如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方公式；為四項時，考慮利用分組的方法進行分解； ③分解因式必須分解到不能再分解為止，每個因式的內(nèi)部不再有括號，且同類項合并完畢，若有相同因式寫成冪的形式，這樣才算分解徹底； ④注意因式分解中的范圍：如在有理數(shù)范圍內(nèi)分析解因式時x4－4＝(x2＋2)(x2－2)．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式時x4－4＝(x2＋2)(x＋)(x－)，題目不作說明的，表明是

5、在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式． 考點1： 整式的運算 【例題1】（（2019?湖北武漢?8分）計算：（2x2）3﹣x2?x4． 【分析】先算乘方與乘法，再合并同類項即可． 【解答】解：（2x2）3﹣x2?x4 ＝8x6﹣x6 ＝7x6． 歸納：整式的運算中需注意以下幾點： (1)冪的乘方→轉(zhuǎn)化為指數(shù)乘法運算．即(a2)3＝a2×3. (2)同底數(shù)冪的乘法→轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運算．即a2·a3＝a2＋3. (3)在算積的乘方時，若底數(shù)中含有數(shù)字，要記住對數(shù)字也要進行乘方． (4)在利用完全平方公式求值時，通常用到以下幾種變形： ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；

6、 ②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； ③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； ④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab. 考點2： 因式分解 【例題2】把4a2添上1項或2項，使它能夠進行因式分解． (1)寫出3個且要用三種不同的分解方法； (2)若要求能進行2步或2步以上分解，如何添加？請寫出一個即可． 【解答】解：(1)答案不唯一，例如：4a2＋2a＝2a(2a＋1)； 4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2；4a2－1＝(2a－1)(2a＋1)． (2)答案不唯一，例如： ①4a2－4b2＝4(a2－b2)＝4(a＋b)(a－b)； ②4a2－a4＝a2(4－a2)＝a

7、2(2－a)(2＋a)； ③4a2－8ab＋4b2＝4(a2－2ab＋b2)＝4(a－b)2. 歸納：公式法分解因式需注意以下幾點： (1)公式中的“a”和“b”也可以是多項式，可將這個多項式看作一個整體，分解后注意合并同類項； (2)靈活運用多種方法分解因式，其一般順序是：首先提取公因式，然后再考慮用公式，最后結(jié)果一定要分解到不能再分解為止． 考點3： 整式的綜合運用 【例題3】)嘉淇準(zhǔn)備完成題目：化簡：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．發(fā)現(xiàn)系數(shù)“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成3，請你化簡：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)； (2)他媽媽說：“你猜錯

8、了，我看到該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果是常數(shù)．”通過計算說明原題中“”是幾？ 【解析】：(1)(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2) ＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2 ＝－2x2＋6. (2)設(shè)“”是a，則 原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2) ＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2 ＝(a－5)x2＋6. ∵標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果是常數(shù)， ∴a－5＝0. 解得a＝5. 歸納：整式的化簡是指通過去括號、合并同類項等將代數(shù)式化為最簡形式 一、選擇題： 1. （2019?湖南株洲?3分）下列各式中，與3x2y3是同類項的是（　?。? A．2x5 B．3x3y2 C．﹣

9、x2y3 D．﹣y5 【答案】C 【解答】解：A.2x5與3x2y3不是同類項，故本選項錯誤； B.3x3y2與3x2y3不是同類項，故本選項錯誤； C.﹣x2y3與3x2y3是同類項，故本選項正確； D.﹣y5與3x2y3是同類項，故本選項錯誤；故選：C． 2. （ 四川樂山，4，3分）下列等式一定成立的是( )． A．2m+3n=5mn B．(m3)2=m6 C．m2·m3=m6 D．(m-n)2=m2-n2 【答案】B． 【解答】解：選項A中的兩項不是同類項，不能合并；選項B是冪的乘方運，根據(jù)法則可知是正確的；選項C m2·m3=m5，錯誤；選項D，(m-n)

10、2=m2-2mn+n2，錯誤，故選擇B． 3. （2019?湖南株洲?3分）下列各選項中因式分解正確的是（　?。? A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a(chǎn)3﹣2a2+a＝a2（a﹣2） C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 【答案】D 【解答】解：A.x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此選項錯誤； B.a3﹣2a2+a＝a2（a﹣1），故此選項錯誤； C.﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此選項錯誤； D.m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正確． 故選：D． 4. （2018?寧波）在矩形ABCD內(nèi)，將兩張邊長分別為a和b（a＞b）的

11、正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2．當(dāng)AD﹣AB=2時，S2﹣S1的值為（　?。? A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b 【答案】B 【解答】S1=（AB﹣a）?a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）?a+（AB﹣b）（AD﹣a）， S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）， ∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）?a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a

12、）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b?AD﹣ab﹣b?AB+ab=b（AD﹣AB）=2b． 故選：B． 5. （2018?紹興）下面是一位同學(xué)做的四道題：①（a+b）2=a2+b2，②（﹣2a2）2=﹣4a4，③a5÷a3=a2，④a3?a4=a12．其中做對的一道題的序號是（　?。? A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解答】①（a+b）2=a2+2ab+b2，故此選項錯誤； ②（﹣2a2）2=4a4，故此選項錯誤； ③a5÷a3=a2，正確； ④a3?a4=a7，故此選項錯誤． 故選：C． 二、填空題： 6. （2019?湖南懷化?4分）當(dāng)a＝

13、﹣1，b＝3時，代數(shù)式2a﹣b的值等于　 ?。? 【答案】-5 【解答】解：當(dāng)a＝﹣1，b＝3時，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5， 故答案為：﹣5． 7. （2018湖北荊州）（3.00分）如圖所示，是一個運算程序示意圖．若第一次輸入k的值為125，則第2018次輸出的結(jié)果是　5?。? 【答案】5 【解析】：∵第1次輸出的結(jié)果是25，第2次輸出的結(jié)果是5，第3次輸出的結(jié)果是1，第4次輸出的結(jié)果是5，第5次輸出的結(jié)果是5，…， ∴第2n次輸出的結(jié)果是5，第2n+1次輸出的結(jié)果是1（n為正整數(shù)）， ∴第2018次輸出的結(jié)果是5． 故答案為：5． 8. （2019?湖北十堰?3

14、分）對于實數(shù)a，b，定義運算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，則m＝　 ?。? 【答案】﹣3或4． 【解答】解：根據(jù)題意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24， （2m﹣1）2﹣49＝0， （2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0， 2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0， 所以m1＝﹣3，m2＝4． 故答案為﹣3或4． 9. 2019?河北?4分）如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)． 示例：即4+3＝7 則（1）用含x的式子表示m＝　 ?。? （2）當(dāng)y＝﹣2時，n的值為　

15、 ?。? 【答案】1 【解答】解：（1）根據(jù)約定的方法可得： m＝x+2x＝3x； 故答案為：3x； （2）根據(jù)約定的方法即可求出n x+2x+2x+3＝m+n＝y(tǒng)． 當(dāng)y＝﹣2時，5x+3＝﹣2． 解得x＝﹣1． ∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1． 故答案為：1． 三、解答題： 10. 老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了如圖所示的一個二次三項式，形式如圖： (1)求所捂的二次三項式； (2)若x＝＋1，求所捂二次三項式的值． 解：(1)設(shè)所捂的二次三項式為A，根據(jù)題意，得A＝x2－5x＋1＋3x＝x2－2x＋1. (2)當(dāng)x＝＋1時，A

16、＝(x－1)2＝()2＝6. 11. （2018?邵陽）先化簡，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=． 【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化簡，去括號合并得到最簡結(jié)果，把a與b的值代入計算即可求出值． 【解答】：原式=a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2=4ab， 當(dāng)a=﹣2，b=時，原式=﹣4． 12. 在一次數(shù)學(xué)課上，李老師對大家說：“你任意想一個非零數(shù)，然后按下列步驟操作，我會直接說出你運算的最后結(jié)果．” (1)若小明同學(xué)心里想的是數(shù)5，請幫他計算出最后結(jié)果； (2)老師說：“同學(xué)們，無論你們心里想的是什么非零數(shù)，

17、按照以上步驟進行操作，得到的最后結(jié)果都相等．”小明同學(xué)想驗證這個結(jié)論，于是，設(shè)心里想的數(shù)是a(a≠0)，請你幫小明完成這個驗證過程． 解：(1)第一步：(5＋1)2－(5－1)2＝20； 第二步：20×25＝500； 第三步：500÷5＝100. ∴小明計算出最后結(jié)果為100. (2)∵[(a＋1)2－(a－1)2]×25÷a ＝(a＋1＋a－1)(a＋1－a＋1)×25÷a ＝4a×25÷a ＝100， ∴結(jié)論成立． 13. 如圖，已知大正方形的邊長為a＋b＋c，利用圖形的面積關(guān)系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.當(dāng)大正方形的邊長為a＋b＋

18、c＋d時，利用圖形的面積關(guān)系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n個數(shù)的和的平方等于這n個數(shù)的平方和加上它們兩兩乘積的2倍． 根據(jù)以上結(jié)論解決下列問題： (1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，則ab＋bc＋ac＝11； (2)從－4，－2，－1，3，5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)相乘，再把所有的積相加，若和為m，求m的值． 解：∵－4－2－1＋3＋5＝1， ∴兩邊平方后得(－4－2－1＋3＋5)2＝(－4)2＋(－2)2＋(－1)2＋32＋52＋2m＝55＋2m＝1. ∴m＝(1－55)÷2＝－54÷2＝

19、－27. 14. 如圖，已知大正方形的邊長為a＋b＋c，利用圖形的面積關(guān)系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.當(dāng)大正方形的邊長為a＋b＋c＋d時，利用圖形的面積關(guān)系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n個數(shù)的和的平方等于這n個數(shù)的平方和加上它們兩兩乘積的2倍． 根據(jù)以上結(jié)論解決下列問題： (1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，則ab＋bc＋ac＝11； (2)從－4，－2，－1，3，5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)相乘，再把所有的積相加，若和為m，求m的值． 解：∵－4－2－1＋3＋5＝1， ∴兩邊平方后得(－4－2－1＋3＋5)2＝(－4)2＋(－2)2＋(－1)2＋32＋52＋2m＝55＋2m＝1. ∴m＝(1－55)÷2＝－54÷2＝－27. 9