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1、專題12-2導(dǎo)函數(shù)解答題突破第二季
1．已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)，證明：.
【答案】（1）； （2）見解析.
【解析】
（1）由題意，又，
所以，
因此在點(diǎn)處的切線方程為，即
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又，
所以 ，
所以，即
等價(jià)于，
令，
設(shè)函數(shù)
,
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，又，
所以
所以，即
綜上①②可得：.
2．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）依題意，
當(dāng)時(shí)，令
2、，得或，令，得，
可知的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，
可知的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.
綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.
（2），即，
令， 則，
令，則.
①若，當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，即，
從而在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?
故當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；
②若，當(dāng)時(shí)，恒成立，從而在上單調(diào)遞減，
則，即時(shí)，，
從而在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意；
③若，由，得，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，則，即，
故在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為
3．已知函數(shù).
3、
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，為函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，求證：.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
（1）的定義域?yàn)椋?
由于，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，故，
故要證，即證，由于，即證.
不妨假設(shè)，只需證明，即.
設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，，故在上單調(diào)遞增，
則，則有，從而.
4．已知函數(shù).
（Ⅰ）設(shè)是的極值點(diǎn)，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，在定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)2（Ⅲ）詳見解析
【解析】
（Ⅰ）∵，x=0是f（x）
4、的極值點(diǎn)，∴，解得m=1．
經(jīng)檢驗(yàn)m=1符合題意.
（Ⅲ）證明：要證，即.
設(shè),即證
當(dāng)m≤2，x∈（-m，+∞）時(shí)，，故只需證明當(dāng)m=2時(shí)，.
當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在（－2，+∞）上為增函數(shù)，且．
故在（－2，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根，且∈（－1，0）．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,
從而當(dāng)時(shí)，取得最小值．
由，得，即，故．
綜上，當(dāng)m≤2時(shí)， 即＞m．
5．已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，證明在單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】（1）見解析；（2）見解析
（2）由（1）得時(shí)，在單調(diào)遞減，又，
所以時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)槎x域?yàn)?，故與有相同的零點(diǎn)，
令
5、，則，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，
所以，無零點(diǎn)，也無零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，令，得或
1
-
0
+
0
-
↘
↗
↘
，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)即時(shí)，，
故有一個(gè)零點(diǎn)，也有有一個(gè)零點(diǎn).
綜上可知，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).
6．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；
（2）若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）定義域是，
當(dāng)時(shí)，，
由
令，，使，當(dāng)時(shí)，，
單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
∴①
由②，③
將②③代入①得：
（2）由
①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
∴，滿足題
6、意；
②當(dāng)時(shí)，
∵，∴，∴，∴，∴在單調(diào)遞增，
需解得，∴
③當(dāng)時(shí)，，使
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
∵，
∴
，不恒成立，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
9．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)， 不等式成立.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)詳見解析
【解析】
（Ⅰ）由題意知，當(dāng)時(shí)，
解得，又，
，即曲線 在點(diǎn)處的切線方程為：
Ⅱ 證明：當(dāng)時(shí)，得
要證明不等式成立，即證成立
即證成立，即證成立
令，，易知，
由，知在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
所以成立
7、，即原不等式成立.
10．已知函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求證：或是函數(shù)在上有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要不充分條件.
【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間. （2） （3）見解析
【解析】
（1）若k=-1，則，所以
由于△=16-48<0,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.
（3）因?yàn)?
所以，當(dāng)△=，即時(shí)
函數(shù)在R上單調(diào)遞增
故在R上不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)
所以，若在R上有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必有△，
即是在R上有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件.
而當(dāng)，時(shí)，滿足
但
即此時(shí)只有兩個(gè)不同零點(diǎn)
同樣，當(dāng)時(shí)，滿足，
但
即此時(shí)也只有兩個(gè)不同零點(diǎn)
故k<-2或k>7是在R上有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要不充分條件.
專題122導(dǎo)函數(shù)解答題突破第二季領(lǐng)軍高考數(shù)學(xué)理壓軸題必刷題
