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1、正弦定理在RtABC中,各角與其對邊的關系:caA sincbB sinsin1cCc不難得到:sinsinsinabccABCCBAabc在非直角三角形ABC中有這樣的關系嗎?AcbaCB正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即(1) 若直角三角形,已證得結論成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB圖1過點A作ADBC于D,此時有證法1:(2)若三角形是銳角三角形, 如圖1,由(1)(2)(3)知，結論成立CCbA
2、Dsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3) 若三角形是鈍角三角形,且角C是鈍角如圖2, 此時也有cADB sin交BC延長線于D,過點A作ADBC，CAcbB圖2AasinBbsinCcsin（2R為為ABC外接圓直徑）外接圓直徑）2R思考求證:證明：證明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圓O,過B作直徑BC/,連AC/,AcbCBDa向量法證法2:利用向量的數(shù)量積，產(chǎn)生邊的長與內(nèi)角的三角函數(shù)的關系來證明.證明：BacAbcCabSABCsin21sin
3、21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21證法3:剖析定理、加深理解正弦定理可以解決三角形中哪類問題： 已知兩角和一邊，求其他角和邊. 已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角.CcBbAasinsinsin定理的應用例 1在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精確到0.01）.解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin19.32
4、=30sin105sin10已知兩角和任意邊，已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角求其他兩邊和一角CcAasinsina = CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a在ABC中，已知 A=75，B= 45，c= 求a ， b.23在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.a= ,c= 3434 3233ba練習例 2 已知a=16， b= ， A=30 .求角B，C和邊c已知兩邊和其中一邊已知兩邊和其中一邊的對角的對角,求其他邊和角求其他邊和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,
5、或120當 時60C=90.32cC=30.16sinsinACac316當120時B16300ABC16316變式: a=30, b=26, A=30求角B，C和邊c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70, 或180025.70=154.30由于154.30 +3001800故B只有一解（如圖）C=124.30,57.49sinsinACac變式: a=30, b=26, A=30求角B，C和邊c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70,C
6、=124.30,57.49sinsinACaca b A B ,三角形中大邊對大角已知兩邊和其中一邊的對角已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和求其他邊和角角1.根據(jù)下列條件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30.B=90，C=60，c= 313(2) b=40，c=20，C=45.練習注：三角形中角的正弦值小于時，角可能有兩解無解課堂小結（1）三角形常用公式：（2）正弦定理應用范圍： 已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角 已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。(注意解的情況)正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R已知兩
7、邊和其中一邊的對角已知兩邊和其中一邊的對角,求其求其他邊和角時他邊和角時,三角形三角形什么情況下有什么情況下有一解一解,二解二解,無解無解?課后思考課后思考ACababsinA無解無解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 兩解兩解BB1B2BACbaab一解一解aABabCABabCABabCab 一解一解正弦定理的綜合應用正弦定理的綜合應用221.tantan,.ABCaBbAABC在中，已知試判斷的形狀1.3,3 3,30 ,.ABCbcBABC在中，已知試判斷的形狀21.( cos)cos0,.xbA xaBa bABCABa bABC已知方程的兩根 之積等于兩根之和
8、，且為的邊， ， 為的對角，試判斷的形狀1., ,sinsinsin.ABCa b cABCaabcb cBCAABC在中，為邊長， ， ， 為所對的角，若試判斷的形狀2222222.0.coscoscoscoscoscosABCabbccaABBCCA在中，求證：2.(sinsin)(sinsin)(sinsin)0.ABCaBCbCAcAB在中，求證： 3.12057,.ABCAABBCABCS在中，若，求的面積3.sin()sinsin.ABCCABPABAPCBPCPCPBPA一條直線上有三點 ， ， ，點 在 ，之間,點 是直線之外一點，設，求證：CBAP3.,3,3.4 3sin(
9、)3.4 3sin()336.6sin()3.6sin()336ABCABCABCABBBCBDB中，則的周長為4.ABCADBACABBDACDC在中，是的平分線， 用正弦定理證明：ACBD1.(1)sinsin.(2)sinsin.ABCABAB判斷正誤：若，則；反之也成立在中，若，則； 反之也成立352.sincos,513sin.ABCABC在中，已知，求.6563)sin(sin.54cos,sinsinsinsin,53sin.1312sin), 0(,135cosBACAABAbaBbAaBAABBB只能為銳角，可知由正弦定理又解：.sin,1312sin,54cosCBAABC
10、求中，已知變：在.65336563sin.6533)sin(sin135cos)2(.6563)sin(sin135cos) 1 (.135cos,sinsin,1312sin53sin), 0(,54cos或時，時，角，可以為銳角也可以為鈍又解：CBACBBACBBBBAbaBABAAA3., ,2 cos(60).oABCABCa b cbcaCA在中，設所對的邊分別為，若，求.120150302103030.21)30sin(1cossin30sinsinsin)cossin3(cossin3cossinsinsincoscossin)sin(sin)sin60sincos60(coss
11、in2sinsin000000000AAAAAACCCAACACACCACACABCCACB又即略解：由正弦定理得2214.().4ABCSbcABC已知的面積，試確定的形狀.20sin10)sin1 (21, 0)(410)sin1 (21)(41sin21)(412222為等腰直角三角形且解：ABCcbAAcbAbccbAbccbAbccbS實際問題實際問題例例1、如圖，要測底部不能到達的煙囪的高、如圖，要測底部不能到達的煙囪的高AB，從與煙囪底部在，從與煙囪底部在同一水平直線上的同一水平直線上的C、D兩處，測得煙囪的仰角分別是兩處，測得煙囪的仰角分別是和4560，CD間的距離是間的距離是
12、12m.已知測角儀器高已知測角儀器高1.5m,求煙囪的高。求煙囪的高。圖中給出了怎樣的一個圖中給出了怎樣的一個幾何圖形？已知什么，幾何圖形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想實例講解實例講解AA1BCDC1D1分析：分析：如圖，因為AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(9 .295 . 14 .2811mAABAAB答：煙囪的高為 29.9m.ABCDE65203
13、52.3520100065 ,(1 ).ABDDBCm例 某登山隊在山腳 處測得山頂 的仰角為 ，沿傾斜角為的斜坡前進米 后到達 處，又測得 處的仰角為求山的高度精確到ABCDE652035BEDC2.57,1.89,2.01,45 ,120 ,.BCcm CDcmBEcm BC某地出土一塊玉佩（如圖），其中一角破損，現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)；為了復原，計算原另兩邊的長BEDCA 解斜三角形的問題，通常都要根據(jù)題意，從實際問題中抽象解斜三角形的問題，通常都要根據(jù)題意，從實際問題中抽象出出一個或幾個三角形一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得出所要求的量，然后通過解這些三角形，得出所要求的量，從而得到
14、實際問題的解。從而得到實際問題的解。 在這個過程中，貫穿了在這個過程中，貫穿了數(shù)學建模數(shù)學建模的思想。這種思想即是從實際的思想。這種思想即是從實際問題出發(fā)，經(jīng)過抽象概括，把它轉化為具體問題中的數(shù)學模型，問題出發(fā)，經(jīng)過抽象概括，把它轉化為具體問題中的數(shù)學模型，然后通過推理演算，得出數(shù)學模型的解，再還原成實際問題的解。然后通過推理演算，得出數(shù)學模型的解，再還原成實際問題的解。本節(jié)小結本節(jié)小結:正弦定理的證明1.結構：正弦定理正弦定理的應用解三角形2.方法、技巧、規(guī)律(1)正弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關系， 是解三角形的重要工具;(2)兩類問題：一類已知兩角和一邊； 另一類是已知兩邊和一邊的對角；(3)注意正弦定理的變式；(4)180.注意內(nèi)角和為的應用，以及角之間的轉化3.思維誤區(qū)警示：(1)(2)正弦定理可以解任意三角形；運用該定理解決“已知兩邊和其中一邊 的對角，求另一邊的對角，進而求其它 元素”這類問題時，注意對解的判斷.
高中數(shù)學 正弦定理課件 蘇教版必修5
