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1、考點強化練20 圓的有關概念及性質(zhì)
基礎達標
一、選擇題
1.
(2018廣西貴港)如圖,點A,B,C均在☉O上,若∠A=66°,則∠OCB的度數(shù)是( )
A.24° B.28°
C.33° D.48°
答案A
解析∵∠A=66°,∴∠COB=132°.
∵CO=BO,
∴∠OCB=∠OBC=12(180°-132°)=24°,
故選A.
2.
(2018江蘇鹽城)如圖,AB為☉O的直徑,CD是☉O的弦,∠ADC=35°,則∠CAB的度數(shù)為( )
A.35° B.45°
C.55° D.65°
答案C
解析由圓周角定理得,∠ABC=∠ADC=35°
2、,
∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°-∠ABC=55°,
故選C.
3.
(2018湖北襄陽)如圖,點A,B,C,D都在半徑為2的☉O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,則弦BC的長為( )
A.4 B.22
C.3 D.23
答案D
解析∵OA⊥BC,
∴CH=BH,AC=AB,
∴∠AOB=2∠CDA=60°,
∴BH=OB·sin∠AOB=3,∴BC=2BH=23,故選D.
二、填空題
4.如圖,☉O的直徑AB過弦CD的中點E,若∠C=25°,則∠ADC= .?
答案65°
解析∵∠C=25°,
∴∠A=
3、∠C=25°.
∵☉O的直徑AB過弦CD的中點E,
∴AB⊥CD,∴∠AED=90°,
∴∠D=90°-25°=65°.
5.
(2018江蘇揚州)如圖,已知☉O的半徑為2,△ABC內(nèi)接于☉O,∠ACB=135°,則AB= .?
答案22
解析連接AD,BD,OA,OB,
∵☉O的半徑為2,△ABC內(nèi)接于☉O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,
∵OA=OB=2,∴AB=22.
三、解答題
6.
“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深1寸,鋸道長一尺,問徑幾何?”這是《九章算術》中的問題,用現(xiàn)在的數(shù)學語言可以表述為:如圖
4、,CD為☉O的直徑,弦AB⊥CD于點E,CE=1寸,AB=10寸,求直徑CD的長.
解如圖,連接OA,根據(jù)垂徑定理,得AE=5寸.
在Rt△AOE中,設OA=x寸,則OE=(x-1)寸,根據(jù)勾股定理有52+(x-1)2=x2,解得x=13,所以直徑CD=26寸.?導學號13814060?
7.
(2018浙江湖州)如圖,已知AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的點,OC∥BD,交AD于點E,連接BC.
(1)求證:AE=ED;
(2)若AB=10,∠CBD=36°,求AC的長.
(1)證明∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,
∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,
5、
即OC⊥AD,∴AE=ED.
(2)解∵OC⊥AD,∴AC=CD,
∴∠ABC=∠CBD=36°,
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,
∴AC的長=72π×5180=2π.
能力提升
一、選擇題
1.(2018貴州安順)已知☉O的直徑CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足為M,且AB=8 cm,則AC的長為( )
A.25 cm B.45 cm
C.25 cm或45 cm D.23 cm或43 cm
答案C
解析連接AC,AO,∵☉O的直徑CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,
當C
6、點位置如圖1所示時,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM=OA2-AM2=52-42=3cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC=AM2+CM2=42+82=45cm;
當C點位置如圖2所示時,同理可得OM=3cm,∵OC=5cm,∴MC=5-3=2cm,
在Rt△AMC中,AC=AM2+MC2=42+22=25cm.
故選C.
2.
(2018湖北咸寧)如圖,已知☉O的半徑為5,弦AB,CD所對的圓心角分別是∠AOB,∠COD,若∠AOB與∠COD互補,弦CD=6,則弦AB的長為( )
A.6 B.8
C.52 D.53
答案B
7、
解析如圖,延長AO交☉O于點E,連接BE,
則∠AOB+∠BOE=180°,
又∵∠AOB+∠COD=180°,
∴∠BOE=∠COD,
∴BE=CD=6,
∵AE為☉O的直徑,∴∠ABE=90°,
∴AB=AE2-BE2=102-62=8,
故選B.
二、填空題
3.(2018湖北孝感)已知☉O的半徑為10 cm,AB,CD是☉O的兩條弦,AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,則弦AB和CD之間的距離是 cm.?
答案2或14
解析①當弦AB和CD在圓心同側(cè)時,如圖1,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AE=8cm,CF=6cm,
∵O
8、A=OC=10cm,
∴EO=6cm,OF=8cm,
∴EF=OF-OE=2cm.
②當弦AB和CD在圓心異側(cè)時,如圖2,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AF=8cm,CE=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴OF=6cm,OE=8cm,
∴EF=OF+OE=14cm.
∴AB與CD之間的距離為14cm或2cm.
三、解答題
4.如圖,有一座拱橋是圓弧形的,它的跨度為60 m,拱高18 m,當洪水泛濫到跨度只有30 m時,要采取緊急措施.若拱頂離水面只有4 m,即PN=4 m時是否要采取緊急措施?
解不需要采取緊急措施.如圖,設弧的圓心為O,由圓的對稱
9、性知點P,N,O共線,連接OA,OA',PO,設PO交AB于點M,該圓的半徑為r,
由題意得PM=18,AM=30,
則(r-18)2+302=r2,解得r=34.
當PN=4時,ON=30,所以A'N=16,則A'B'=32>30,故不需要采取緊急措施.?導學號13814061?
5.
(2018湖北宜昌)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的圓交AC于點D,交BC于點E,延長AE至點F,使EF=AE,連接FB,FC.
(1)求證:四邊形ABFC是菱形;
(2)若AD=7,BE=2,求半圓和菱形ABFC的面積.
(1)證明∵AB是直徑,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE,
∵AE=EF,∴四邊形ABFC是平行四邊形,
∵AC=AB,∴四邊形ABFC是菱形.
(2)解設CD=x.連接BD.
∵AB是直徑,∴∠ADB=∠BDC=90°,
∴AB2-AD2=CB2-CD2,
∴(7+x)2-72=42-x2,
解得x=1或x=-8(舍去)
∴AC=8,BD=82-72=15,
∴S菱形ABFC=815.
∴S半圓=12·π·42=8π.
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