福建省2019年中考數學總復習 第五單元 四邊形 課時訓練31 正方形練習

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1、課時訓練31 正方形 限時：30分鐘 夯實基礎 1．不能判定四邊形是正方形的是(　　) A．對角線互相垂直且相等的四邊形 B．對角線互相垂直的矩形 C．對角線相等的菱形 D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形 2．如圖K31－1，邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連接BD并延長交FG于點P，則DP等于(　　) 圖K31－1 A．22 B．42 C．2 D．1 3．[2018·仙桃]如圖K31－2，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中點．將△ABG沿AG對折

2、至△AFG，延長GF交DC于點E，則DE的長是(　　) 圖K31－2 A．1 B．1．5 C．2 D．2．5 4．[2018·德陽]如圖K31－3，將邊長為3的正方形繞點B逆時針旋轉30°，那么圖中陰影部分的面積為(　　) 圖K31－3 A．3 B．3 C．3－3 D．3－32 5．[2018·福清模擬]在矩形ABCD中，再增加條件　　　　(只需填一個)可使矩形ABCD成為正方形．? 6．[2018·深圳]如圖K3

3、1－4，四邊形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三點共線，AB＝4，則陰影部分的面積是　　　?。? 圖K31－4 7．[2018·武漢]以正方形ABCD的邊AD為邊作等邊三角形ADE，則∠BEC的度數是　　　?。? 8．如圖K31－5，BD為正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC，交DC于點E，將△BCE繞點C順時針旋轉90°得到△DCF．若CE＝1 cm，則BF＝　　　　cm．? 圖K31－5 9．[2018·青島]如圖K31－6，已知正方形ABCD的邊長為5，點E，F(xiàn)分別在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點G，點H為BF的中點，連接G

4、H，則GH的長為　　　　．? 圖K31－6 10．[2018·陜西]如圖K31－7，已知：在正方形ABCD中，M是BC邊上一定點，連接AM．請用尺規(guī)作圖法，在AM上求作一點P，使△DPA∽△ABM．(不寫作法，保留作圖痕跡) 圖K31－7 能力提升 11．[2017·天津]如圖K31－8，正方形ABCD和正方形EFCG的邊長分別為3和1，點F，G分別在邊BC，CD上，P為AE的中點，連接PG，則PG的長為　　　?。? 圖K31－8 12．[2018·北京]如圖K31－9，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一個動點(不與點A，B重合)，連接DE，點A關于

5、直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH． (1)求證：GF＝GC； (2)用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明． 圖K31－9 拓展練習 13．[2018·臺州]如圖K31－10，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2∶3，則△BCG的周長為　　　　．? 圖K31－10 14．[2018·龍巖質檢]如圖K31－11，邊長為6的正方形ABCD

6、中，E，F(xiàn)分別是AD，AB上的點，AP⊥BE，P為垂足． (1)如圖①，AF＝BF，AE＝23，點T是射線PF上的一個動點，則當△ABT為直角三角形時，求AT的長． (2)如圖②，若AE＝AF，連接CP，求證：CP⊥FP． 圖K31－11 參考答案 1．A　 2．B 3．C　[解析] 連接AE．∵△ABG沿AG對折至△AFG，∴AB＝AF，GB＝GF＝3．∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝AF．∵AE是公共邊，∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL)．∴DE＝EF．設DE＝x，則EF＝DE＝x，GE＝x＋3，C

7、E＝6－x．在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＋CE2＝GE2．∴32＋(6－x)2＝(x＋3)2．解得x＝2．故選C． 4．C　[解析] 由旋轉可知∠1＝∠4＝30°，∴∠2＋∠3＝60°． ∵∠BAM＝∠BC'M＝90°，AB＝BC'，BM＝BM， ∴Rt△ABM≌Rt△C'BM， ∴∠2＝∠3＝30°． 在Rt△ABM中，AB＝3，∠2＝30°， 則AM＝tan30°×AB＝1． ∴S△ABM＝S△BMC'＝32， ∴S陰影＝S正方形－(S△ABM＋S△BMC')＝3-3． 5．AB＝BC(答案不唯一) 6．8　[解析] ∵四邊形ACDF是正方形，∴AC＝AF，∠C

8、AF＝90°，∴∠CAE＋∠BAF＝90°，∵∠CEA是直角， ∴∠CAE＋∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠BAF，則在△ACE和△FAB中，∵∠AEC＝∠ABF＝90°，∠ACE＝∠BAF，AC＝AF，∴△ACE≌ △FAB(AAS)，∴AB＝CE＝4，∴陰影部分的面積S△ABC＝12AB·CE＝12×4×4＝8． 7．30°或150°　[解析] 如圖①，∵△ADE是等邊三角形，∴DE＝DA，∠DEA＝∠1＝60°．∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠2＝90°．∴∠CDE＝150°，DE＝DC，∴∠3＝12(180°－150°)＝15°．同理可求得∠4＝15°． ∴∠BEC＝

9、30°． 如圖②，∵△ADE是等邊三角形，∴DE＝DA，∠1＝∠2＝60°．∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠CDA＝90°．∴DE＝DC，∠3＝30°，∴∠4＝12(180°－30°)＝75°．同理可求得∠5＝75°．∴∠BEC＝360°―∠2―∠4―∠5＝150°．故答案為30°或150°． 8．(2＋2) 9．342　[解析] ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝5，∠BAD＝∠D＝∠C＝90°．又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠DAF＝∠ABE，∴∠ABE＋∠BAG＝90°，∠BGF＝∠BGA＝90°．在Rt△BCF中，CF＝3，BC＝5，∴B

10、F＝52＋32＝34．在Rt△BGF中，點H為BF的中點，∴GH＝12BF＝342． 10．解：如圖所示，AM與DG的交點即為滿足條件的點P． 作法如下(題目不要求寫作法，以下步驟可省略)： ①以點D為圓心，以任意長為半徑畫弧交AM于E，F(xiàn)兩點， ②分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于12EF長為半徑畫弧，兩弧交于點G， ③作直線DG交AM于點P，則點P即為所求點． 11．5　[解析] 如圖所示，延長GE交AB于點N，過點P作PM⊥GN于M．由正方形的性質可知AN＝AB－BN＝AB－EF＝2，NE＝GN－GE＝BC－FC＝2．根據點P是AE的中點及PM∥AN，可得PM為△ANE的中位線，

11、所以ME＝12NE＝1，PM＝12AN＝1，因此MG＝2．根據勾股定理可得PG＝PM2＋MG2＝5． 12．解：(1)證明：連接DF，如圖： ∵點A關于直線DE的對稱點為F，∴DA＝DF，∠DFE＝∠A＝90°．∴∠DFG＝90°． ∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA＝DF，∠C＝∠DFG＝90°． 又∵DG＝DG，∴Rt△DGF≌Rt△DGC(HL)． ∴GF＝GC． (2)如圖，在AD上取點P，使AP＝AE，連接PE，則BE＝DP． 由(1)可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，從而由∠ADC＝90°，得2∠2＋2∠3＝90°，∴∠EDH＝45°． 又∵EH⊥DE，∴

12、△DEH是等腰直角三角形．∴DE＝EH． ∵∠1＋∠AED＝∠5＋∠AED＝90°，∴∠1＝∠5．∴△DPE≌△EBH(SAS)．∴PE＝BH． ∵△PAE是等腰直角三角形，從而PE＝2AE． ∴BH＝2AE． 13．3＋15　[解析] ∵正方形ABCD中，AB＝3，∴S正方形ABCD＝32＝9， ∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2∶3， ∴空白部分的面積與正方形ABCD的面積之比為1∶3，∴S空白＝3， ∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°． ∵CE＝DF，∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF＋∠BCG

13、＝90°，∴∠CBE＋∠BCG＝90°， 即∠BGC＝90°，△BCG是直角三角形， 易知S△BCG＝S四邊形FGED＝32，∴S△BCG＝12BG·CG＝32， ∴BG·CG＝3， 根據勾股定理得：BG2＋CG2＝BC2，即BG2＋CG2＝9． ∴(BG＋CG)2＝BG2＋2BG·CG＋CG2＝9＋2×3＝15， ∴BG＋CG＝15， ∴△BCG的周長＝BG＋CG＋BC＝3＋15． 14．解：在正方形ABCD中，∠DAB＝90°． 在Rt△BAE中，tan∠ABE＝AEAB＝236＝33，∴∠ABE＝30°． (1)分三種情況： ①當點T在AB的上方，∠ATB＝90°時

14、， 顯然此時點T和點P重合，即AT＝AP＝12AB＝3． ②當點T在AB的下方，∠ATB＝90°時，如圖①所示． 在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3， ∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°． 在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3， ∴△FTB是等邊三角形， ∴TB＝3，AT＝AB2－BT2＝33． ③當點T在AB下方，∠ABT＝90°時，如圖②所示． 在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF·tan60°＝33． 在Rt△ABT中，AT＝AB2＋BT2＝37． 綜上所述：當△ABT為直角三角形時，AT的長為3或33或37． (2)證明：如圖③所示， 在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4． 在Rt△EAB中，AP⊥BE，易知∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°． ∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4． ∵tan∠1＝PBAP，tan∠3＝ABAE， ∴PBAP＝ABAE，∵AE＝AF，AB＝BC，∴BPAP＝BCAF， ∵∠4＝∠1， ∴△PBC∽△PAF，∴∠5＝∠6． ∵∠6＋∠7＝90°，∴∠5＋∠7＝90°，即∠CPF＝90°， ∴CP⊥FP． 11