輕松寒假,快樂復(fù)習(xí)30天 第10天

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1、 輕松寒假，快樂復(fù)習(xí)30天 第10天空間角及距離（非向量法） ★思路點睛 一．求二面角的平面角的基本方法： 1.定義法（點P在棱上） 2.三垂線定理法（點P在一個半平面上），此法關(guān)鍵是找出線面（二面角中的某個）垂直，再過線上的點做棱的垂線。 3.垂面法（點P在二面角內(nèi)）過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條射線所成的角，即為二面角的平面角。（或棱不出現(xiàn)，僅有一個交點出現(xiàn)時，過該交點存在兩平面的公共垂面，公共垂面與原來兩平面形成的角為二面角的平面角） 4.射影面積法: 5.補棱法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將

2、兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。 6.向量法（下節(jié)作業(yè)） 二．求空間距離的常用方法：直接法、轉(zhuǎn)化法、體積法、找垂面法、向量法。 三．注意事項：一定要注意各角的范圍，兩條異面直線所成的角]；線面角];斜線與平面所成角）；二面角]。 ★典型試題 1．已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為 A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 試題分析：如圖： 在正四棱錐中，連接AC與BD相交于一點O，連結(jié)OE，由于是的中點，所以O(shè)E//SD，故AEO即為直線所成的角；易知AOE是直角，又側(cè)棱長與底面邊長

3、都相等，設(shè)棱長為2，則A0=，OE=1，AE=，所以有：cosAEO=; 故選C． 2．正方體，棱長為4，點到截面的距離為（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 試題分析：點到截面的距離為正方體的對角線的，即. 3．在長方體中，．若分別為線段，的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 試題分析：取的中點G，連接EG、FG、，容易證明為直線與平面所成角，設(shè)AB=a，則，在三角形中可求出，在三角形中可求出，所以在三角形中可求出，答案選C. 4.正四面體ABCD的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則下列命題

4、中，錯誤的是() A．O－ABC是正三棱錐 B．直線OB∥平面ACD C．直線AD與OB所成的夾角為45° D．二面角D－OB－A為45° 【答案】B 【解析】構(gòu)造圖形，把此正四面體放在正方體中。可以判斷A，C，D為真命題，直線OB與平面ACD相交，所以B為假命題． 5．在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a

5、-ABCD中，AC和AB成角為． 【答案】 【解析】 試題分析：由題意可得：在正方體ABCD-ABCD中，AC和AB成角即為AC和AB所成角，所以是. 7．到正方體ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點： ①有且只有1個； ②有且只有2個； ③有且只有3個； ④有無數(shù)個． 其中正確答案的序號是________ 【答案】④ 【解析】注意到正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線B1D上的每一點到直線AB，CC1，A1D1的距離都相等，因此到ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB，CC1，A1D1所在直線距離相等的點有無數(shù)個，其中正確答

6、案的序號是④. 8．已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，則點B到平面EFG的距離為． 【答案】 【解析】設(shè)B到面EFG的距離為h， 由于， 所以 另一方面，， 所以， 得即為B到平面GEF的距離。 9.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為１的菱形，∠BCD＝600，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）平面PBE與平面PAB的位置關(guān)系是． （2）平面PAD和平面PBE所成的二面角（銳角）的大小為． 【答案】（1）垂直；（2） 【解析】 解：延長相交于點，連結(jié).

7、過點作于,由（1）知平面平面，所以平面.在中，因為,所以. 在等腰中,取的中點,連接.則.連結(jié).由三垂線定理的逆定理得，.所以是平面和平面所成的二面角的平面角（銳角） 在等腰中, 在中, 所以，在中， 故平面和平面所成的二面角的平面角（銳角）的大小是 10.（能力提高）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，OK＝，且圓O與圓K所在的平面所成的一個二面角為60°，則球O的表面積等于________． 【答案】16π 【解析】設(shè)兩圓的公共弦AB的中點為D，則KD⊥DA，OD⊥DA，∠ODK即為圓O和和圓K所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK＝60°.由于O

8、為球心，故OK垂直圓K所在平面，所以O(shè)K⊥KD.在直角三角形ODK中，＝sin60°，即OD＝×＝，設(shè)球的半徑為r，則DO＝r，所以r＝，所以r＝2，所以球的表面積為4πr2＝16π. 11.如圖，在三棱錐中，，，，． A C B D P （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求二面角的大??； （Ⅲ）求點到平面的距離． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）． 【解析】 解法一： （Ⅰ）取中點，連結(jié)． ，．，． ，平面． 平面，． （Ⅱ） A C B E P ，， ． 又，． 又，即，且， 平面． 取中點．連結(jié)． ，． 是在平面內(nèi)的

9、射影，． 是二面角的平面角． 在中，，， ，． 二面角的大小為． （Ⅲ） A C B D P H 由（Ⅰ）知平面， 平面平面． 過作，垂足為． 平面平面，平面． 的長即為點到平面的距離． 由（Ⅰ）知，又，且， 平面．平面，． 在中，，， ．． 點到平面的距離為． 解法二： （Ⅰ）取中點，連結(jié)． ，．，． ，平面． 平面，． （Ⅱ） A C B E P ，， ． 又，． 又，即，且， 平面． 取中點．連結(jié)． ，． 是在平面內(nèi)的射影，． 是在平面內(nèi)的射影， 于是可求得：, 則, 設(shè)二面角的大小為，則

10、 二面角的大小為． （Ⅲ） A C B D P H 由（Ⅰ）知平面， 平面平面． 過作，垂足為． 平面平面，平面． 的長即為點到平面的距離． 由（Ⅰ）知，又，且， 平面．平面，． 在中，，， ．． 點到平面的距離為． ★真題摘編 （2013高考真題）如圖，正三棱柱中，是中點． A B C E B1 A1 C1 （1）求證：平面⊥平面； （2）若，求二面角的大?。? 【答案】（1）見解析；（2）45° 【解析】 （1）證明：如圖，∵是正三棱柱， ∴ ∴． ∵△ABC是正三角形，E是AC中點， ∴ ∴. 又∵

11、， ∴平面． （2）解：如圖，作，于G，連CG. ∵平面， ∴， ∴FG是CG在平面上的射影. ∴根據(jù)三垂線定理得，， ∴∠CGF是二面角的平面角， 設(shè)，∵，則. 在中，. 在中，, 在中，∵, ∴. ∴二面角的大小是45°. County continuation records has examined and approved the draft, spirit, believe, prehensive Yearbook of zhuanglang already prepared draft, entered the phase of evaluation. Civil air defense work