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1、2.4.2 空間兩點(diǎn)的距離公式
一、選擇題
1.設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A(2,-3,5)關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn),則|AB|等于( )
A.10 B.
C. D.38
[答案] A
[解析] A(2,-3,5)關(guān)于xOy坐標(biāo)面的對稱點(diǎn)B(2,-3,-5)
∴|AB|==10.
2.已知三點(diǎn)A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),則( )
A.三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形
B.三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形
C.三點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形
D.三點(diǎn)構(gòu)不成三角形
[答案] D
[解析] ∵|AB|=,|AC|=2,|BC|=,而|AB|+|BC|=|AC|,
2、∴三點(diǎn)A、B、C共線,構(gòu)不成三角形.
3.已知A(1,0,2),B(1,-3,1),點(diǎn)M在z軸上且到A、B兩點(diǎn)的距離相等,則M點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A.(-3,0,0) B.(0,-3,0)
C.(0,0,-3) D.(0,0,3)
[答案] C
[解析] 設(shè)M(0,0,C),由|AM|=|BM|得:
=,
∴C=-3,選C.
4.已知正方體的每條棱都平行于坐標(biāo)軸,兩個頂點(diǎn)為A(-6,-6,-6),B(8,8,8),且兩點(diǎn)不在正方體的同一個面上,正方體的對角線長為( )
A.14 B.3
C.5 D.42
[答案] A
[解析] d(A,B)=
=14
3、.
5.(2010·曲師大附中高一期末檢測)以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)為頂點(diǎn)的三角形是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
[答案] D
[解析] |AB|==7,|BC|==7,|AC|==7,
∴|BC|2=|AB|2+|AC|2,
∴△ABC為等腰直角三角形.
6.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,若D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),A1(4,0,3),則對角線AC1的長為( )
A.9 B.
C.5 D.2
[答案] B
[解析] 如圖
4、所示,由題設(shè)條件可知:|AA1|=3,|AB|=2,
∴C1(0,2,3),∴|AC1|=.
7.點(diǎn)M(2,-3,5)到x軸的距離d等于( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 點(diǎn)M在x軸上射影N的坐標(biāo)是(2,0,0),∴d==.
8.設(shè)A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0),則AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離|CM|=( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵AB的中點(diǎn)M,C(0,1,0),
∴|CM|==.
二、填空題
9.若點(diǎn)A(-1,2,-3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為B,則AB
5、的長為________.
[答案] 2
[解析] ∵A(-1,2,-3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B(1,2,3),
∴|AB|==2.
10.(2010·錦州市高一期末檢測)在空間中,已知點(diǎn)A(-2,3,4)在y軸上有一點(diǎn)B使得|AB|=7,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________.
[答案] (0,3+,0)或(0,3-,0)
[解析] 設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b,0),
由題意得=7,解得b=3±.
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3+,0)或(0,3-,0)
11.在空間直角坐標(biāo)系中,正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A(3,-1,2),其中心M的坐標(biāo)為(0,1,2),則該正方體的棱長等于_____
6、___.
[答案]
[解析] ∵|AM|=
=,
∴對角線|AC1|=2,
設(shè)棱長為x,則3x2=(2)2,∴x=.
12.點(diǎn)P在坐標(biāo)平面xOy內(nèi),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,4),且|PA|=5,滿足條件的P點(diǎn)組成的曲線是________.
[答案] 以O(shè)為圓心,半徑為3的圓
[解析] 如右圖:∵AO⊥平面xOy,
∴AO⊥OP,
又|AO|=4,|AP|=5,∴|OP|=3.
三、解答題
13.已知點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為(3,1,-1)、(2,-2,-3),分別在x、y、z軸上取點(diǎn)A、B、C,使它們與P1、P2兩點(diǎn)距離相等,求A、B、C的坐標(biāo).
[解析] 設(shè)A(
7、x,0,0),B(0,y,0),c(0,0,z),由|AP1|=|AP2|得,=
∴x=-3,
同理,由|BP1|=|BP2|得y=-1,由|CP1|=|CP2|得z=-,∴A(-3,0,0),B(0,-1,0),C(0,0,-).
14.(1)在z軸上求與點(diǎn)A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距離的點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)在yOz平面上,求與點(diǎn)A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距離的點(diǎn)的坐標(biāo).
[解析] (1)設(shè)所求點(diǎn)P為(0,0,c)由題設(shè)|PA|=|PB|,
∴=解之得
c=,∴P(0,0,).
(2)設(shè)所求點(diǎn)為P(0,b,c)∵|PA|=|PB|=
8、|PC|,
∴
∴∴∴P(0,1,-2).
15.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,
點(diǎn)M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N在D1C上且為D1C中點(diǎn),求M、N兩點(diǎn)間的距離.
[解析] 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,據(jù)題設(shè)條件有:
|A1C1|=2,
∵|MC1|=2|A1M|,
∴|A1M|=,
∴M(,,4).
又C(2,2,0),D1(0,2,4),N為CD1中點(diǎn)∴N(1,2,2),∴|MN|==.
16.若點(diǎn)G到△ABC三個頂點(diǎn)的距離的平方和最小,則點(diǎn)G就為△ABC的重心.已知△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分雖為A(3,3,1),B(1,0,5),C(-1,3,-3),求△ABC的重心G的坐標(biāo).
[解析] 設(shè)重心G的坐標(biāo)為(x,y,z),則|GA|2+|GB|2+|GC|2=(x-3)2+(y-3)2+(z-1)2+(x-1)2+y2+(z-5)2+(x+1)2+(y-3)2+(z+3)2
=3x2-6x+3y2-12y+3z2-6z+64
=3(x-1)2+3(y-2)2+3(z-1)2+46,
當(dāng)x=1,y=2,z=1時,
|GA|2+|GB|2+|GC|2取最小值46,∴重心G的坐標(biāo)為(1,2,1)
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