新人教版六年級下冊第五單元《數(shù)學(xué)廣角-鴿巢問題》教學(xué)設(shè)計

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1、第五單元數(shù)學(xué)廣角一一鴿巢問題 單元要點分析 一、單元教材分析： 本教材專門安排“數(shù)學(xué)廣角”這一單元，向?qū)W生滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。和 以往的義務(wù)教育教材相比，這部分內(nèi)容是新增的內(nèi)容。本單元教材通過幾個直觀例子， 借助實際操作，向?qū)W生介紹“鴿巢問題”，使學(xué)生在理解“鴿巢問題”這一數(shù)學(xué)方法的 基礎(chǔ)上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，會用“鴿巢問題”加以解決。在數(shù)學(xué) 問題中，有一類與“存在性”有關(guān)的問題。在這類問題中，只需要確定某個物體（或某 個人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪個物體（或人）。這類問題依據(jù)的理論我 們稱之為“抽屜原理”?！俺閷显怼弊钕仁?19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利

2、克雷運(yùn)用于解 決數(shù)學(xué)問題的，所以又稱“狄利克雷原理”，也稱之為“鴿巢問題”。“鴿巢問題”的 理論本身并不復(fù)雜，甚至可以說是顯而易見的。但“鴿巢問題”的應(yīng)用卻是千變?nèi)f化的， 用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)論。因此，“鴿巢問 題”在數(shù)論、集合論、組合論中都得到了廣泛的應(yīng)用。 二、單元三維目標(biāo)導(dǎo)向： 1、知識與技能：（1）引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，經(jīng)歷探究“鴿 巢原理”的過程，初步了解“鴿巢原理”的含義，會用“鴿巢原理”解決簡單的實際問 題。 2、過程與方法：經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的學(xué)習(xí)過程，體驗觀察、猜測、實驗、推 理等活動的學(xué)習(xí)方法，滲透數(shù)形結(jié)合的

3、思想。 3、情感態(tài)度與價值觀：（1）體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，體驗學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的 樂趣。（2）理解知識的產(chǎn)生過程，受到歷史唯物注意的教育。（3）感受數(shù)學(xué)在實際生 活中的作用，培養(yǎng)刻苦鉆研、探究新知的良好品質(zhì)。 三、單元教學(xué)重難點 重點：應(yīng)用“鴿巢原理”解決實際問題。引導(dǎo)學(xué)會把具體問題轉(zhuǎn)化成 “鴿巢問題”。 難點：理解“鴿巢原理”，找出"鴿巢問題“解決的竅門進(jìn)行反復(fù)推理。 四、單元學(xué)情分析 “鴿巢原理”的變式很多，在生活中運(yùn)用廣泛，學(xué)生在生活中常常遇到此類問題。 教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個問題是否屬于“鴿巢原理”可以解決的范疇。能不能將 這個問題同“鴿巢原理”結(jié)合起來，是本次教學(xué)

4、能否成功的關(guān)鍵。所以，在教學(xué)中，應(yīng) 有意識地讓學(xué)生理解“鴿巢原理”的“一般化模型”。六年級的學(xué)生理解能力、學(xué)習(xí)能 力和生活經(jīng)驗已達(dá)到能夠掌握本章內(nèi)容的程度。教材選取的是學(xué)生熟悉的，易于理解的 生活實例，將具體實際與數(shù)學(xué)原理結(jié)合起來，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決實 際問題的能力。 五、教法和學(xué)法 1、讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程?？梢怨膭睢⒁龑?dǎo)學(xué)生借助學(xué)具、實物操作或 畫草圖的方式進(jìn)行“說理”。通過“說理”的方式理解“鴿巢原理”的過程是一種數(shù)學(xué) 證明的雛形。通過這樣的方式，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以后學(xué)習(xí)較嚴(yán)密的 數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。 2、有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想。當(dāng)我們面

5、對一個具體的問題時，能否將這 個具體問題和“鴿巢原理”聯(lián)系起來，能否找到該問題中的具體情境與“鴿巢原理”的 “一般化模型”之間的內(nèi)在關(guān)系，找出該問題中什么是“待分的東西”，什么是“鴿巢”， 是解決問題的關(guān)鍵。教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個問題是否屬于用“鴿巢原理”可以 解決的范疇；再思考如何尋找隱藏在其背后的“鴿巢問題”的一般模型。這個過程是學(xué) 生經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實素材中找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型， 是學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的重要體現(xiàn)。 3、要適當(dāng)把握教學(xué)要求?！傍澇苍怼北旧砘蛟S并不復(fù)雜，但它的應(yīng)用廣泛且靈 活多變。因此，用“鴿巢原理”解決實際問題時，經(jīng)常會遇到一些困難。

6、例如，有時要 找到實際問題與“鴿巢原理”之間的聯(lián)系并不容易，即使找到了，也很難確定用什么作 為“鴿巢”，要用幾個“鴿巢”。因此，教學(xué)時，不必過于要求學(xué)生“說理”的嚴(yán)密性， 只要能結(jié)合具體問題，把大致意思說出來就可以了，鼓勵學(xué)生借助實物操作等直觀方式 進(jìn)行猜測、驗證。 六、單元課時劃分：本單元計劃課時數(shù)：6課時 鴿巢問題1課時 “鴿巢問題”的具體應(yīng)用1課時 練習(xí)課1課時 單元測評 2課時 試卷講評 1課時 第五單元數(shù)學(xué)廣角一一鴿巢問題 第一課時 課 題：鴿巢問題 教學(xué)內(nèi)容：教材第68-70頁例1、例2,及“做一做”的第1題，及第71頁練習(xí)十 三的1-2題。 教學(xué)目標(biāo)： 1

7、、知識與技能：了解“鴿巢問題”的特點，理解“鴿巢原理”的含義。使學(xué)生學(xué) 會用此原理解決簡單的實際問題。 2、過程與方法：經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的學(xué)習(xí)過程，體驗觀察、猜測、實驗、推 理等活動的學(xué)習(xí)方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。 3、情感、態(tài)度和價值觀：通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發(fā)學(xué)生的 學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。 教學(xué)重難點： 重點：引導(dǎo)學(xué)生把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題”。 難點：找出“鴿巢問題”解決的竅門進(jìn)行反復(fù)推理。 教學(xué)準(zhǔn)備：課件。 教學(xué)過程： 一、情境導(dǎo)入： 二、探究新知： 1.教學(xué)例1.(課件出示例題1情境圖) 思考問題：把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，

8、不管怎么放，總有1個筆筒里至少有2支 鉛筆。為什么呢？ “總有”和“至少”是什么意思？ 學(xué)生通過操作發(fā)現(xiàn)規(guī)律-理解關(guān)鍵詞的含義-探究證明-認(rèn)識“鴿巢問題”的學(xué)習(xí) 過程來解決問題。 (1)操作發(fā)現(xiàn)規(guī)律：通過吧4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，可以發(fā)現(xiàn)：不管怎么放，總 有1鴿筆筒里至少有2支鉛筆。 (2)理解關(guān)鍵詞的含義：“總有”和“至少”是指把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，不管 怎么放，一定有1個筆筒里的鉛筆數(shù)大于或等于2支。 (3)探究證明。 方法一：用“枚舉法”證明。 方法二：用“分解法”證明。 把4分解成3個數(shù)。 由圖可知，把4分解成3個數(shù)，與枚舉法相似，也有4中情況，每一種情況分得的

9、3個數(shù)中，至少有1個數(shù)是不小于2的數(shù)。 方法三：用“假設(shè)法”證明。 通過以上幾種方法證明都可以發(fā)現(xiàn)：把 4只鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，無論怎么放，總 有1個筆筒里至少放進(jìn)2只鉛筆。 （4）認(rèn)識“鴿巢問題” 像上面的問題就是“鴿巢問題”，也叫“抽屜問題”。在這里，4支鉛筆是要分 放的物體，就相當(dāng)于4只“鴿子”，“ 3個筆筒”就相當(dāng)于3個“鴿巢”或“抽屜”， 把此問題用“鴿巢問題”的語言描述就是把 4只鴿子放進(jìn)3個籠子，總有1個籠子里至 少有2只鴿子。 這里的“總有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少， 即在所有方法中，放的鴿子最多的那個“籠子”里鴿子“最少”的個數(shù)。

10、 小結(jié)：只要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多，就總有 1個筆筒里至少放進(jìn)2支鉛筆。 如果放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多 2,那么總有1個筆筒至少放2支鉛筆；如果放 的鉛筆比筆筒的數(shù)量多3,那么總有1個筆筒里至少放2只鉛筆…… 小結(jié)：只要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多，就總有 1個筆筒里至少放2支鉛筆。 （5）歸納總結(jié)： 鴿巢原理（一）：如果把 m個物體任意放進(jìn)n個抽屜里（m>n ,且n是非零自然 數(shù)），那么一定有一個抽屜里至少放進(jìn)了放進(jìn)了 2個物體。 2、教學(xué)例2（課件出示例題2情境圖） 思考問題：（一）把7本書放進(jìn)3個抽屜，不管怎么放，總有1個抽屜里至少有3 本書。為什么呢？（二）如果有 8本書會怎

11、樣呢？ 10本書呢？ 學(xué)生通過“探究證明-得出結(jié)論”的學(xué)習(xí)過程來解決問題（一）。 （1）探究證明。 方法一：用數(shù)的分解法證明。 把7分解成3個數(shù)的和。把7本書放進(jìn)3個抽屜里，共有如下8種情況： 由圖可知，每種情況分得的3個數(shù)中，至少有1個數(shù)不小于3,也就是每種分法中 最多那個數(shù)最小是3,即總有1個抽屜至少放進(jìn)3本書。 方法二：用假設(shè)法證明。 把7本書平均分成3份，7 + 3=2 （本）……1 （本），若每個抽屜放2本，則還剩 1本。如果把剩下的這1本書放進(jìn)任意1個抽屜中，那么這個抽屜里就有 3本書。 （2）得出結(jié)論。 通過以上兩種方法都可以發(fā)現(xiàn)：7本書放進(jìn)3個抽屜中，不管怎

12、么放，總有1個抽 屜里至少放進(jìn)3本書。 學(xué)生通過“假設(shè)分析法-歸納總結(jié)”的學(xué)習(xí)過程來解決問題（二）。 （1）用假設(shè)法分析。 8 + 3=2 （本）……2 （本），剩下2本，分別放進(jìn)其中2個抽屜中，使其中2個 抽屜都變成3本，因此把8本書放進(jìn)3個抽屜中，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放 進(jìn)3本書。 10 + 3=3 （本）……1 （本），把10本書放進(jìn)3個抽屜中，不管怎么放，總有1 個抽屜里至少放進(jìn)4本書。 （2）歸納總結(jié)： 綜合上面兩種情況，要把a(bǔ)本書放進(jìn)3個抽屜里，如果a + 3=b （本）……1 （本） 或a + 3=b （本）……2 （本），那么一定有1個抽屜里至少放進(jìn)（b+

13、1）本書。 鴿巢原理（二）：古國把多與kn個的物體任意分別放進(jìn)n個空抽屜（k是正整數(shù)， n是非0的自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中至少放進(jìn)了（k+1）個物體。 三、鞏固練習(xí) 1、完成教材第70頁的“做一做”第1題。 學(xué)生獨立思考解答問題，集體交流、糾正。 2、完成教材第71頁練習(xí)十三的1-2題。 學(xué)生獨立思考解答問題，集體交流、糾正。 四、課堂總結(jié) 板書設(shè)計： 鴿巢問題 思考方法： 枚舉法、分解法、假設(shè)法 鴿巢原理（一）：如果把 m個物體任意放進(jìn)n個抽屜里（m>n ,且n是非零自 然數(shù)） 鴿巢原理（二）：古國把多與 kn個的物體任意分別放進(jìn) n個空抽屜（k是正整數(shù)，n是

14、非0 的自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中至少放進(jìn)了（k+1）個物體。 教學(xué)反思: 第五單元數(shù)學(xué)廣角一一鴿巢問題 第二課時 課 題：“鴿巢問題”的具體應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容：教材第70-71頁例3,及“做一做”的第2題，及第71頁練習(xí)十三的 3-4 題。 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能：在了解簡單的“鴿巢原理”的基礎(chǔ)上，使學(xué)生學(xué)會用此原理解決 簡單的實際問題。 2、過程與方法：經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的學(xué)習(xí)過程，體驗觀察、猜測、實驗、推 理等活動的學(xué)習(xí)方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。 3、情感、態(tài)度和價值觀：通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發(fā)學(xué)生的 學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。 教學(xué)重

15、難點： 重點：引導(dǎo)學(xué)生把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題”。 難點：找出“鴿巢問題”中的“鴿巢”是什么，“鴿巢”有幾個，在利用“鴿巢原 理”進(jìn)行反向推理。 教學(xué)準(zhǔn)備：課件。 教學(xué)過程： 一 .情境導(dǎo)入 、探究新知 1、教學(xué)例3 (課件出示例3的情境圖). 出示思考的問題：盒子里有同樣大小的紅球和籃球各 4個，要想摸出的球一定有2 個同色的，少要摸出幾個球？ 學(xué)生通過“猜測驗證一分析推理”的學(xué)習(xí)過程解決問題。 (1)猜測驗證。 ‘猜測1 :只摸2個球;、 就能保證這2個球 1同色。 ) ,猜測2:摸出5個球) 肯定有2個球是同 k色的。 ) /要舉出一個反例就可以推翻

16、這種猜測 如：這兩個球正好是一紅一藍(lán)時就不能 懣足條件。 驗證一 ? A 1巴紅、藍(lán)兩種顏色看作兩個“鴿巢”，因為 飛 叁上5 + 2=2...1，所以摸出5個球時，至少有3 7卜球是同色的，因此摸出5個球是沒必要的。) 嚀青測1 ：摸出3個球? 至少有2個球是同 驗證 .色的。 」 ,把紅、藍(lán)兩種顏色看作兩個“鴿巢”，因為f 3 + 2=1…1 ,所以摸出3個球時，至少有3 (個是同色的。 綜上所述，摸出3個球，至少有2個球是同色的。 (2)分析推理。 根據(jù)“鴿巢原理(一)”推斷：要保證有一個抽屜至少有 2個球，分的無圖個數(shù)失 少要比抽屜數(shù)多1?，F(xiàn)在把“顏色種數(shù)”看

17、作“抽屜數(shù)”，結(jié)論就變成了 “要保證摸出 2個同色的球，摸出的球的個數(shù)至少要比顏色種數(shù)多 1"。因此，要從兩種顏色的球中 保證摸出2個同色的，至少要摸出3個球。 2、趁熱打鐵：箱子里有足夠多的5種不同顏色的球，最少取出多少個球才能保證 其中一定有2個顏色一樣的球？ 學(xué)生獨立思考解決問題，集體交流。 3、歸納總結(jié)： 運(yùn)用“鴿巢原理”解決問題的思路和方法： (1)分析題意； (2)把實際問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題”，弄清“鴿巢”和分放的“鴿子”。 (3)根據(jù)“鴿巢原理”推理并解決問題。 三、鞏固練習(xí) 1、完成教材第70頁的“做一做”的第2題。(學(xué)生獨立解答，集體交流。) 2、完成教材

18、第71頁的練習(xí)十三的第3-4題。(學(xué)生獨立解答，集體交流。) 3、課外拓展延伸題：一個布袋里有紅色、黑色、藍(lán)色的襪子各 8只。每次從布袋 里最少要拿出多少只可以保證其中有 2雙顏色不同的襪子？（襪子不分左右） 四、課堂總結(jié) 板書設(shè)計： 鴿巢問題 每個抽屜里放入的物品數(shù) 1 X 2 + 1 =3 （個） 抽屜數(shù) 教學(xué)反思： 第五單元數(shù)學(xué)廣角一一鴿巢問題 第三課時 課 題：練習(xí)課 教學(xué)內(nèi)容：教材71頁練習(xí)十三的5、6題，及相關(guān)的練習(xí)題。 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能：進(jìn)一步熟知“鴿巢原理”的含義，會用“鴿巢原理”熟練解決簡 單的實際問題。 2、過程與方法：經(jīng)歷探究“鴿

19、巢原理”的學(xué)習(xí)過程，體驗觀察、猜測、實驗、推 理等活動的學(xué)習(xí)方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。 3、情感、態(tài)度和價值觀：通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發(fā)學(xué)生的 學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。 教學(xué)重難點 重點：應(yīng)用“鴿巢原理”解決實際問題。引導(dǎo)學(xué)會把具體問題轉(zhuǎn)化成 “鴿巢問題”. 難點：理解“鴿巢原理”，找出"鴿巢問題“解決的竅門進(jìn)行反復(fù)推理。 教學(xué)準(zhǔn)備：課件。 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 二、指導(dǎo)練習(xí) （一'）基礎(chǔ)練習(xí)題 1、填一填： （1）水東小學(xué)六年級有30名學(xué)生是二月份（按28天計算）出生的，六年級至少有 （）名學(xué)生的生日是在二月份的同一天。 （2）有3個同

20、學(xué)一起練習(xí)投籃，如果他們一共投進(jìn) 16個球，那么一定有1個同學(xué) 至少投進(jìn)了（）個球。 （3）把6只雞放進(jìn)5個雞籠，至少有（）只雞要放進(jìn)同1個雞籠里。 （4）某班有個小書架，40個同學(xué)可以任意借閱，小書架上至少要有（）本書, 才可以保證至少有1個同學(xué)能借到2本或2本以上的書。 學(xué)生獨立思考解答，集體交流糾正。 2、解決問題。 （1）（易錯題）六（1）班有50名同學(xué)，至少有多少名同學(xué)是同一個月出生的？ （2）書籍里混裝著3本故事書和5本科技書，要保證一次一定能拿出 2本科技書。 一次至少要拿出多少本書？ （3）把16支鉛筆最多放入幾個鉛筆盒里，可以保證至少有 1個鉛筆盒里的鉛筆不

21、少于6支？ （二）拓展延伸題 1、把27個球最多放在幾個盒子里，可以保證至少有 1個盒子里有7個球？ 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：盒子數(shù)看作抽屜數(shù)，如果要使其中1個抽屜里至少有7個球, 那么球的個數(shù)至少要比抽屜數(shù)的（7-1）倍多1個，而（27-1） + （7-1） =4…2 ,因此 最多放進(jìn)4個盒子里，可以保證至少有1個盒子里有7個球。 教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解答： 2、一個袋子里裝有紅、黃、藍(lán)襪子各 5只，一次至少取出多少只可以保證每種顏 色至少有1只？ 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：假設(shè)先取5只，全是紅的，不符合題意，要繼續(xù)去；假設(shè)再取 5只，5只有全是黃的，這時再取一只一定是藍(lán)色的，這樣取 5X2+1=11 （只）可以保證 每種顏色至少有1只。 教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解答： 3、六（2）班的同學(xué)參加一次數(shù)學(xué)考試，滿分為 100分，全班最低分是75。已知每 人得分都是整數(shù)，并且班上至少有 3人的得分相同。六（2）班至少有多少名同學(xué)？ 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：因為最高分是100分，最低分是75分，所以學(xué)生可能得到的 不同分?jǐn)?shù)有100-745+1=26 （種）。 教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解答： 三、鞏固練習(xí) 完成教材第71頁練習(xí)十三的5、6題。（學(xué)生獨立思考解答問題，集體交流、糾正。） 四、課堂總結(jié) 板書設(shè)計：新 教學(xué)反思: