概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式大全

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1、第1章 隨機(jī)事件及其概率 1排列組合 2關(guān)系運(yùn)算 A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C (AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) ， 3幾何概型 v （1）S是直線上的某個線段,長度為l(S),A是S的一個子集，則落在A中的概率為：P(A)=l(A)/l(S)。 v （2）S是平面上的某個區(qū)域,面積為u(S), 則落在A中的概率為：P(A)=u(A)/u(S)。 v （3）S是空間上的某個立體,體積為v(S), 則落在A中的概率為：P(A)=v(A)/v(S)。 甲乙兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地

2、會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就離開。如果每個人可在指定的任一小時內(nèi)任意時刻到達(dá)，試計算二人能夠會面的概率。 根據(jù)題意，這是一個幾何概型問題，于是 解： 4加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 當(dāng)P(AB)＝0時，P(A+B)=P(A)+P(B) 5減法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 當(dāng)BA時，P(A-B)=P(A)-P(B) 當(dāng)A=Ω時，P()=1- P(B) 6條件概率 事件B在事件A發(fā)生條件下發(fā)生的條件概率為 。 7乘法公式 P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB) [P(AB)>0] 8獨(dú)立性 ①兩個事件

3、的獨(dú)立性 設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。 若事件、相互獨(dú)立，且，則有 若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。 必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立. ?與任何事件都互斥。 ②多個事件的獨(dú)立性 設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互獨(dú)立。 對于n個事件類似。 9伯努利概型 概率P(A)=p , 發(fā)P()=1-p=q，用表示重伯努利試驗中出現(xiàn)次的概率， ，。 第

4、二章 隨機(jī)變量及其分布 1離散型隨機(jī)變量 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， （1）， （2） 2連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度 (1) ;(2) 。 3分布函數(shù) 1 ； 2、單調(diào)不減性：若x1

5、P(X=0)=q 泊松分布 或者P()：，，， 泊松分布為二項分布的極限分布（np=λ，n→∞）。 超幾何分布 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。 幾何分布 ，其中p≥0，q=1-p。(k次試驗，前k-1次失敗，第k次成功) 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。 均勻分布 a≤x≤b a≤x≤b X~U(a，b)： 其他， 0， xb。

6、 ? 當(dāng)a≤x1

7、落在以m為中心，3s為半徑的區(qū)間(m-3s, m +3s)內(nèi)的概率相當(dāng)大(0.9973),落在(m-3s, m +3s)以外的概率可以忽略不計 函數(shù)分布 離散型 連續(xù)型 FY (y) ＝P(Y￡y)＝P(g(X) ￡y)＝ 第三章 二維隨機(jī)變量及其分布 聯(lián) 合 分 布 離 散 型 Y X y1 y2 Y3 P(X=xi) （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2） x1 p11 p12 p13 x2 p21 p22

8、 p23 X3 P31 P32 P33 P(Y=yj) 1 連 續(xù) 型 二維隨機(jī)變量的本質(zhì) 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 （1） （2）F（x,y）分別對x和y是 減的 （3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即 （4） （5）對于. 離散型與連續(xù)型的關(guān)系 邊 緣 分 布 離散型 ； 。 連續(xù)型 條 件 分 布

9、 離散型 連續(xù)型 ； 獨(dú) 立 性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y) 離散型 有零不獨(dú)立 連續(xù)型 f(x,y)=fX(x)fY(y) 充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形 二維正態(tài)分布 ＝0 隨機(jī)變量的函數(shù) 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則： h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨(dú)立。 特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。

10、 二維均勻分布 其中SD為區(qū)域D的面積，稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。 若(X，Y)服從矩形區(qū)域a≤x ≤ b,c ≤ y ≤ d上的均勻分布，則(X，Y)的兩個邊緣分布仍為均勻分布，且分別為 二維正態(tài)分布 二維正態(tài)分布，（X，Y）～N（ 可以推出 X～N（ 但若X～N（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。 函數(shù)分布 Z=X+Y , 對于連續(xù)型，fZ(z)＝ 兩個獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。 卷積公式: M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（極值分布） 設(shè)隨機(jī)變量

11、X,Y相互獨(dú)立且分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)則M與N的分布函數(shù)分別為 分布 設(shè)n個隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和 的分布密度為 我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的分布，記為W～，其中 所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個重要參數(shù)。 分布滿足可加性：設(shè) 則 t分布 設(shè)X，Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 可以證明函數(shù) 的概率密度為 我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為T～t(n)。 F分布 設(shè)，且X與Y獨(dú)立，可以證明的概率密度函數(shù)為

12、 我們稱隨機(jī)變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為F～f(n1, n2). 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征 離散型 連續(xù)型 期望(平均值) E(X+Y)=E(X)+E(Y)； E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。 函數(shù)的期望 Y=g(X) Y=g(X) 方差，標(biāo)準(zhǔn)差 ， （1） D(C)=0； D(aX)=a2D(X)； D(aX+b)= a2D(X)； D(X)=E(X2)-E2(X) （2） D(X±Y)=D(X)+D(Y

13、) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))] D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 矩 ①k階原點(diǎn)矩νk=E(Xk)= ②k階中心矩 =， k=1,2, …. ①k階原點(diǎn)矩νk=E(Xk)= ②k階中心矩 = k=1,2, …. 切比雪夫不等式 E（X）=μ， D（X）=σ2 : 期望E（X） 方差D（X） E[X（X-1）}/備注 0-1分布 p 二項分布 np n(n-1)p2 泊松分布 幾何分布 超幾何分布 均勻分布

14、 指數(shù)分布 正態(tài)分布 n 2n t分布 0 (n>2) 二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征 期望 函數(shù)的期望 ＝ ＝ 方差 協(xié)方差 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). ， D（X）= cov(X,Y)= ; D（Y）=。 Cov (X, Y)=cov (Y, X) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y) X與Y的相關(guān)系數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差):= X的標(biāo)準(zhǔn)化變量:即“隨機(jī)

15、變量與期望之差除以均方差” 若記 則E(X*)=0， D(X*)=1 ||≤1，當(dāng)||=1時，稱X與Y完全相關(guān)： 1. 若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。 2. 若（X，Y）～N（）， 則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。 完全相關(guān) 而當(dāng)時，稱X與Y不相關(guān)。 以下五個命題是等價的：① ②cov(X,Y)=0 ③E(XY)=E(X)E(Y) ④D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y). 矩 1、A =E(X )為X的k階原點(diǎn)矩（k階矩）

16、(k=1,2,…)，數(shù)學(xué)期望E(X)即為X的一階原點(diǎn)矩； 2、B =E{[X-E(X)] }為X的k階中心矩(k=1,2,…)，方差D(X)即為X的二階中心矩。 3、=E(X Y )為X、Y的k+l階混合原點(diǎn)矩(k,l=1,2…)。 4、為隨機(jī)變量的k+l階混合中心矩(k,l=1,2,…)。 協(xié)方差矩陣C C=(C ) = 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 大數(shù)定律 切比雪夫 若X1，X2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=μ，則 伯努利 當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小 辛欽 中心極限定理 列維－林德伯格/獨(dú)立同分布

17、的中心極限 棣莫弗－拉普拉斯 隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差： 二項定理 若當(dāng)，則 超幾何分布的極限分布為二項分布。 泊松定理 若當(dāng)，則 其中k=0，1，2，…，n，…。 第六章 樣本及抽樣分布 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 所研究的對象的全體稱為總體,總體的每一個基本單位稱為個體. 設(shè)總體X的分布為F(x)，則樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布為 從總體X中抽出若干個個體稱為樣本，一般記為(X1,X2,…,Xn)。n稱為樣本容量。 當(dāng)總體X是離散型時，其分布律為 樣本的聯(lián)合分布律

18、為 當(dāng)總體X是連續(xù)型時， X~f(x)，則樣本的聯(lián)合密度為 （）為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。若中不包含未知參數(shù)，則（）為一個統(tǒng)計量。 常見統(tǒng)計量及其性質(zhì) 樣本均值 樣本方差 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本k階原點(diǎn)矩 樣本k階中心矩 ，，，,其中為二階中心矩。 正態(tài) 分布 設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù) t分布 定義 若X~N(0, 1)，Y~c2(n)，X與Y獨(dú)立，則 t(n)稱為自由度為n的t—分布。 p 3、(1) t分布表構(gòu)成(P296)： P{t(n)>λ}=p (2) P{t(n)>

19、 tp(n)}=p，tp(n)為水平p的上側(cè)分位數(shù) (1) f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對稱； (2) f(t)的極限為N(0,1)的密度函數(shù)，即 = 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。樣本函數(shù) 其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。 設(shè)n個相互獨(dú)立的 X1,X2,…,Xn，Xi~N(0,1)， 則

20、 稱為自由度為n的c2分布。 λ （1） 求 解： (2) c2分布的可加性 X1,X2 相互獨(dú)立，則X1+X2 ~c2(n1+n2) p (1)構(gòu)成 P{c2(n)>λ}=p，已知n,p可查表(P298)求得λ; 水平為的上側(cè)分位數(shù)分位點(diǎn) (2) 。。。。。。。。。。。樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。 F 分 布 若X~c2(n1)，Y~c2(n2) ，X,Y獨(dú)立，則 稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為n2的F—分布，其概率密度為 F分布表(P2

21、94)及有關(guān)計算 (1)構(gòu)成：P{F(n1,n2)>λ}=p (2)有關(guān)計算P{F(n1,n2)>λ}=p λ=Fp(n1,n2) 性質(zhì)： 樣本函數(shù) 其中 表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。 正態(tài)總體的抽樣分布定理 4、(雙正態(tài)總體的抽樣分布)設(shè)(X1,X2,…,Xn1)是N(μ1,σ12)的樣本，(Y1,Y2,…,Yn2)是N(μ2,σ22)的樣本，且相互獨(dú)立，S12，S22是樣本方差，則 (1) (2) 稱為混合樣本方差。 1.若

22、 則 2.設(shè)(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體 N(μ,σ2)的樣本，則 (1) 與S2獨(dú)立 (2) (3) 3.設(shè)(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總 體N(μ,σ2)的樣本，則 第七章 參數(shù)估計 （1）點(diǎn)估計(用某個函數(shù)值作為總體未知函數(shù)的估計值) 矩估計 極大似然估計 樣本的k階原點(diǎn)矩為 這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有

23、樣本的似然函數(shù),簡記為Ln. 為樣本的似然函數(shù)。 最大似然估計量。 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn) 無偏性 若E （）=，則稱 為的無偏估計量。 E（）=E（X）， E（S2）=D（X） 有效性 若，則稱有效。 一致性 設(shè)是的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有 則稱為的一致估計量（或相合估計量）。若為的無偏估計，且則為的一致估計。 只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計量。 區(qū)間估計(對未知參數(shù)給出一個范圍，并給出在一定的可靠度下使這個范圍包含未知參數(shù)的真值) 置信區(qū)間和置信度 設(shè)總體X含有一個待估的未知參

24、數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量與，使得區(qū)間以的概率包含這個待估參數(shù)，即 那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。 單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計 設(shè)為總體的一個樣本，在置信度為下，我們來確定的置信區(qū)間。具體步驟如下： （i）選擇樣本函數(shù)； （ii）由置信度，查表找分位數(shù)； （iii）導(dǎo)出置信區(qū)間。 已知方差，估計均值 （i）選擇樣本函數(shù) (ii) 查表找分位數(shù) （iii）導(dǎo)出置信區(qū)間 未知方差，估計均值 （i）選擇樣本函數(shù) (ii)查表找分位數(shù) （iii）導(dǎo)出置信區(qū)間 方差的區(qū)間估計 （i）選擇樣本函數(shù) （ii）查表找分位數(shù)

25、 （iii）導(dǎo)出的置信區(qū)間 第八章 假設(shè)檢驗 基本步驟 1）提出零假設(shè)H0（2）選擇統(tǒng)計量K（3）對于檢驗水平α查表找分位數(shù)λ（4）由樣本值計算統(tǒng)計量之值K； 將進(jìn)行比較，作出判斷：當(dāng)時否定H0，否則認(rèn)為H0相容。 第一類錯誤(棄真錯誤) 當(dāng)H0為真時，作出拒絕H0的判斷, 記α=P{拒絕H0| H0真}； 第二類錯誤(取偽錯誤) 當(dāng)H0不真時，作出接受H0的判斷, β=P{接受H0| H0假} 單正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗 條件 零假設(shè) 統(tǒng)計量 對應(yīng)樣本 函數(shù)分布 否定域 已知 N（0，1） 未知 未知