二次函數(shù)知識點

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1、如皋市外國語學校八年級下數(shù)學期末復習 制卷人：馮海云 審核人：佘明秀 二次函數(shù)知識點 班級_________姓名_____________ 1、二次函數(shù)的概念 一般地，如果特，特別注意a不為零。那么y叫做x 的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。 2、二次函數(shù)的圖像 二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。 3、二次函數(shù)圖像的畫法 五點法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標軸

2、的交點：當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。 4、求拋物線的頂點、對稱軸的方法 （1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線. （2）配方法：用配方法，將拋物線化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線. （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為

3、軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點. 若拋物線上有兩點A（m,n）、B(p,n)的縱坐標相等,則它的對稱軸為直線x= 用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失. 5、二次函數(shù)的性質(zhì) 1、二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 二次函數(shù) 圖像 a>0 a<0 y 0 x y 0 x 性質(zhì) （1）拋物線開口向上，并向上

4、無限延伸； （2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）； （3）在對稱軸的左側(cè)，即當x<時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增； （4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值， （1）拋物線開口向下，并向下無限延伸； （2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）； （3）在對稱軸的左側(cè)，即當x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減； （4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值， 2、二次函數(shù)中，的含義： （1）決定開口方向及開口大?。?0時，拋物線開口向上； <0時，拋物線開口向下。越小，開口越大

5、 （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè). 口訣 --- 同左 異右 （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置. 當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： ①，拋物線經(jīng)過原點; ②,與軸交于正半軸； ③,與軸交于負半軸. 以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 . 3、二次函數(shù)圖象的平移 平移規(guī)律：左加右減 上加下減 (必須理解記憶) 4、二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：

6、 （2）頂點式： （3）交點式： 5、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標。因此用一元二次方程中的來判斷二次函數(shù)圖像與x軸的交點情況。 當>0時，圖像與x軸有兩個交點；若圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．則兩點間的距離 當=0時，圖像與x軸有一個交點； 當<0時，圖像與x軸沒有交點。 6、兩點間距離公式：點A坐標為（x1，y1）點B坐標為（x2，y2），則AB間的距離，即線段AB的長度為 7、設(shè)兩條直線分別為，： ： 若且。 若 8、二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值范圍是

7、，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當時，，當時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當時，，當時，。 9、對稱點坐標: 關(guān)于軸對稱： 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱： 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點對稱： 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不

8、會發(fā)生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式． 二次函數(shù)期末復習（基礎(chǔ)題） 班級____________學號______________姓名___________________ 二次函數(shù)的定義 1、下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是 . ①y=x2－4x+1； ②y=2x2； ③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1； ⑥y=mx2+n

9、x+p； ⑦y =錯誤！未定義書簽。； ⑧y=－5x。 2、在一定條件下，若物體運動的路程s（米）與時間t（秒）的關(guān)系式為s=5t2+2t，則t＝4秒時，該物體所經(jīng)過的路程為 。 3、若函數(shù)y=(m2+2m－7)x2+4x+5是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的取值范圍為 。 4、若函數(shù)y=(m－2)xm －2+5x+1是關(guān)于的二次函數(shù)，則m的值為 。 5、已知函數(shù)y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函數(shù)，求m的值為 。 二次函數(shù)的對稱軸、頂點、最值 1．拋物線y=2x2+4x+m2－m經(jīng)過坐標原點，則m

10、的值為 。 2．拋物y=x2+bx+c線的頂點坐標為（1，3），則b＝ ，c＝ . 3．拋物線y＝x2＋3x的頂點在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若拋物線y＝ax2－6x經(jīng)過點(2，0)，則拋物線頂點到坐標原點的距離為( ) A. B. C. D. 5．若直線y＝ax＋b不經(jīng)過二、四象限，則拋物線y＝ax2＋bx＋c( ) A.開口向上，對稱軸是y軸 B.開口向下，對稱軸是y軸 C.開口向下，對稱軸平行于y軸

11、 D.開口向上，對稱軸平行于y軸 6．已知拋物線y＝x2＋(m－1)x－的頂點的橫坐標是2，則m的值是_ . 7．拋物線y=x2+2x－3的對稱軸是 ，頂點坐標_________________. 8．若二次函數(shù)y=3x2+mx－3的對稱軸是直線x＝1，則m＝ 。 9．當n＝______，m＝______時，函數(shù)y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的圖象是拋物線，且其頂點在原點，此拋物線的開口________. 10．已知二次函數(shù)y=x2－2ax+2a+3，當a= 時，該函數(shù)y的最小值為0. 11．已知二次函數(shù)y=mx2+(m

12、－1)x+m－1有最小值為0，則m＝ ______ 。 12．已知二次函數(shù)y=x2－4x+m－3的最小值為3，則m＝ 。 13．試寫出一個開口方向向上，對稱軸為直線x＝－2，且與y軸的交點坐標為（0，3）的拋物線的解析式 。 二次函數(shù)的增減性 1.二次函數(shù)y=3x2－6x+5，當x>1時，y隨x的增大而 ；當x<1時，y隨x的增大而 ；當x=1時，函數(shù)有最 值是 。 2.已知函數(shù)y=4x2－mx+5，當x> －2時,y隨x的增大而增大；當x< －2時，y隨x的增大而減

13、少；則x＝1時,y的值為 。 3.已知二次函數(shù)y=x2－(m+1)x+1，當x≥1時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 . 4.已知二次函數(shù)y=－x2+3x+的圖象上有三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3

14、 。 3.如果將拋物線y=2x2－1的圖象向右平移3個單位，所得到的拋物線的關(guān)系式為 。 4.將拋物線y=ax2+bx+c向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到y(tǒng)=2x2－4x－1則a＝ ，b＝ ，c＝ . 5.將拋物線y＝ax2向右平移2個單位，再向上平移3個單位，移動后的拋物線經(jīng)過點(3，－1)，那么移動后的拋物線的關(guān)系式為 _. 函數(shù)的的對稱 1．+3x-2 關(guān)于y軸對稱的拋物線解析式為：

15、． 關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式為： ． 關(guān)于原點對稱的拋物線解析式為： ． 2．已知函數(shù)圖像上有三點A（-1，m） B（，n） C （2，k）；則 m、n、k用“<”號連接為： ． 3．初三數(shù)學課本上，用“描點法”畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列了如下表格： x … -2 -1 0 1 2 … y … ?6 -4 ?2 -2 ?2 … 根據(jù)表格上的信息回答問題：該二次函數(shù)y=ax2+bx+c在

16、x=3時，y= ___________． 4．如圖，拋物線的頂點為P（-2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，-2），點A的對應(yīng)點為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為 ___________． 5.如圖，□ABCD中，AB=4，點D的坐標是（0，8），以點C為頂點的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過x軸上的點A，B．（1）求點A，B，C的坐標；（2）若拋物線向上平移后恰好過點D，求平移后拋物線的解析式． 函數(shù)的圖象特征與a、b、c的關(guān)系 1.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示，則a、b、c的符號

17、為（　　　） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 2.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．a(chǎn)+b+c> 0 B．b> -2a C．a(chǎn)-b+c> 0 D．c< 0 3.拋物線y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的圖象如圖3，有以下結(jié)論：①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正確的為（ ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤ 4.當b<0是一次函數(shù)y=a

18、x+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是（ ） 5.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，則它的圖象可能是圖所示的( ) 6.正比例函數(shù)y=kx的圖象在二、四象限，則二次函數(shù)y＝kx2-k2x+1的圖象大致為圖中的（ ） A B C D 7.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論： ①a，b同號； ②當x＝1和x＝3時，函數(shù)值相同； ③4a＋b＝0; ④當

19、y＝－2時，x的值只能取0； 其中正確的個數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過一、三、四象限（不經(jīng)過原點和第二象限）則直線y＝ax＋bc不經(jīng)過（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二次函數(shù)與x軸、y軸的交點（二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系） 1. 如果二次函數(shù)y＝x2＋4x＋c圖象與x軸沒有交點，其中c為整數(shù)，則c＝ （寫一個即可） 2. 二次函數(shù)y＝x2-2x-3圖象與x軸交點之間的距離為 _____________　 3. 拋物線y＝－3x2＋2x

20、－1的圖象與x軸交點的個數(shù)是( ) A.沒有交點 B.只有一個交點 C.有兩個交點 D.有三個交點 4. 如圖所示，二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象交x軸于A、B兩點， 交y 軸于點C， 則△ABC的面積為( ) A.6 B.4 C.3 D.1 5. 已知拋物線y＝5x2＋(m－1)x＋m與x軸的兩個交點在y軸同側(cè)，它們的距離平方等于為 ，則m的值為( ) A.－2 B.12 C.24 D.48 6. 若二次函數(shù)y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的圖象全部在x軸的上

21、方，則m 的取值范圍是 7. 已知拋物線y＝x2-2x-8，（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點； （2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，且它的頂點為P，求△ABP的面積。 函數(shù)的交點 1.拋物線y=x2+7x+3與直線y=2x+9的交點坐標為 。 2.直線y=7x+1與拋物線y=x2+3x+5的圖象有 個交點。 函數(shù)解析式的求法 1．已知x＝1時，函數(shù)有最大值5，且圖形經(jīng)過點（0，－3），則該二次函數(shù)的解析式 。 2．拋物線y=2x2+bx+c與x 軸交于（

22、2，0）、（－3，0），則該二次函數(shù)的解析式 。 3．若拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（1，3），且與y=2x2的開口大小相同，方向相反，則該二次函數(shù)的解析式 。 4．拋物線y=2x2+bx+c與x 軸交于（－1,0）、（3,0），則b＝ ，c＝ . 5．若拋物線與x 軸交于(2，0)、（3，0），與y軸交于(0，－4)，則該二次函數(shù)的解析式 。 6．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三點，求該二次函數(shù)的解

23、析式。 7．已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（1，－6），且經(jīng)過點（2，－8），求該二次函數(shù)的解析式。 8．已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點，交y軸于C點且BC＝5，求該二次函數(shù)的解析式。 9．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（－1，0），B（3，0），函數(shù)有最小值－8，求該二次函數(shù)的解析式。 10.當x=3時，y最小值=－1，且圖象過（0，7） 11.圖象過點（0，－2）（1，2）且對稱軸為直線x= 12．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x 軸交于(2，0)、（4，0），頂點到x 軸的距離

24、為3，求函數(shù)的解析式。 13．y= －x2+2(k－1)x+2k－k2，它的圖象經(jīng)過原點，求①解析式 ②與x軸交點O、A及頂點C組成的△OAC面積。 14．拋物線y= (k2－2)x2+m－4kx的對稱軸是直線x=2，且它的最低點在直線y= － x+2上，求函數(shù)解析式。 二次函數(shù)應(yīng)用 1.某商店購進一批單價為16元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高銷售價格。經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價格銷售時，每月能賣360件若按每件25元的價格銷售時，每月能賣210件。假定每月銷售件數(shù)y(件）是價格X的一次函數(shù). (1

25、)試求y與x的之間的關(guān)系式.(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售價格定為多少時，才能使每月獲得最大利潤，每月的最大利潤是多少？（總利潤=總收入－總成本） 2.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體重量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價收購了這種活蟹1000千克放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時市場價為每千克30元，據(jù)測算，以后每千克活蟹的市場價每天可上升1元，但是放養(yǎng)一天需各種費用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當天全部售出，售價都是每千克20

26、元。（1）設(shè)X天后每千克活蟹的市場價為P元，寫出P關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。 （2）如果放養(yǎng)X天后將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷售額為Q元，寫出Q關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。（3）該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤（利潤=銷售總額—收購成本—費用），最大利潤是多少？ ． 3.如圖，某隧道口的橫截面是拋物線形，已知路寬AB為6米，最高點離地面的距離OC為5米．以最高點O為坐標原點，拋物線的對稱軸為y軸，1米為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標系， 求（1）以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍； O x y A B C （2） 有一輛寬2.8米，高1米的農(nóng)用貨車（貨物最高處與地面AB的距離）能否通過此隧道？ 9