知識點127直接開平方法 解答題

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1、1．（2010?三明）（1）請從三個代數(shù)式4x2﹣y2，2xy+y2，4x2+4xy+y2中，任選兩個構(gòu)造一個分式，并化簡該分式； （2）解方程：（x﹣1）2+2x﹣3=0． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；分式的混合運算；分式的化簡求值。 分析：（1）根據(jù)所給代數(shù)式的特點，三個代數(shù)式分解因式后都有公因式，因而可以任意進行組合． （2）對方程進行變形后，再應(yīng)用直接開平方法解答． 解答：解：（1）本題答案不唯一． （2分） =（6分） =（8分） ②=； ③=； ④； ⑤； ⑥． （2）x2﹣2x+1+2x﹣3=0（3分） x2﹣2=0 x2=2（6分）

2、 ∴x1=，x2=﹣．（8分） 點評：（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”． （2）運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體． （3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點． 2．（2010?鞍山）解方程： （1）（2x+3）2﹣25=0 （2）3x2﹣5x+5=7． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）把常數(shù)

3、項25移到方程的右邊，運用直接開平方法解方程，注意把2x+3看作一個整體； （2）可以運用因式分解法解方程． 解答：解：（1）（2x+3）2=25， 2x+3=±5， 2x=±5﹣3， x1=1，x2=﹣4． （2）3x2﹣5x﹣2=0 （x﹣2）（3x+1）=0， x1=2，x2=﹣． 點評：此題考查了運用直接開平方法解方程和運用因式分解法解方程的方法． （1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）． 法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系

4、數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”． （2）運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體． （3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點． 3．（2009?定西）在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“⊕”，其法則為：a⊕b=a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x=24的解． 考點：解一元二次方程-直接開平方法。 專題：新定義。 分析：此題是新定義題型，應(yīng)該嚴格按照題中給出的計算法則進行運算，其中有小括號的要先算小括號． 解答：解：∵a⊕b=a2﹣b2， ∴（4⊕3）⊕x=（42﹣32）⊕x=7⊕x=72﹣x2 ∴72﹣x2=24 ∴x2=25． ∴x=±5． 點評：考查了學(xué)生

5、的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和解題技能，這是典型的新定義題型，解這類題應(yīng)該嚴格按照題中給出的計算法則進行運算．易錯點是要把小括號里算出的代數(shù)式看做是整體代入下一步驟中計算． 4．（2008?長春）解方程：x2﹣6x+9=（5﹣2x）2 考點：解一元二次方程-直接開平方法。 專題：計算題。 分析：把方程左邊化成一個完全平方式，那么將出現(xiàn)兩個完全平方式相等，則這兩個式子相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程即可求解． 解答：解：∵（x﹣3）2=（5﹣2x）2， ∴x﹣3=5﹣2x或x﹣3=2x﹣5 解之得：x1=2，x2=． 點評：解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化

6、為一元一次方程，從而求解． 5．（2005?濟南）解一元二次方程：（x﹣1）2=4． 考點：解一元二次方程-直接開平方法。 專題：計算題。 分析：方程左邊為完全平方的形式，開方直接解答便可得出x﹣1的值，進而求x． 解答：解：（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，x=3或x=﹣1． 點評：（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”． （2）運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體

7、． （3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點． 6．在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“※”，其規(guī)則是a※b=a2﹣b2，根據(jù)這個規(guī)則，求方程（x+2）※5=0的解． 考點：解一元二次方程-直接開平方法。 專題：新定義。 分析：本題可根據(jù)所給的條件，將（x+2）※5=0變形，再對方程左邊進行因式分解得到兩個相乘的式子，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來解題． 解答：解：∵a※b=a2﹣b2 ∴（x+2）※5=（x+2）2﹣25， 原方程轉(zhuǎn)化為（x+2）2﹣25=0，即（x+2）2=25 ∴x+2=5或x+2=﹣5 x1=﹣7，x2=3 點評：

8、本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的提點靈活選用合適的方法．本題運用的是因式分解法． 7．解方程：64（1+x）2=100 考點：解一元二次方程-直接開平方法。 分析：先把方程系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解． 解答：解：原式可化為（1+x）2= 解得：x1=，x2=﹣． 點評：解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解． （1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且

9、a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”． （2）運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體． （3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點． 8．解方程： （1）（x+1）2=9； （2）2x2+5x﹣3=0． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：先觀察再確定各方程的解法；（1）用直接開平方法，（2）用因式分解法解方程． 解答：解：（1）直接開平方，得：x+1=±3， 解得：x1=2，x2=﹣4； （

10、2）因式分解，得：（x+3）（2x﹣1）=0， x+3=0或2x﹣1=0， 解得：x1=﹣3，x2=． 點評：本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法． 9．已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一個根是3，求m的值及方程的另一個根． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；一元二次方程的解。 專題：計算題。 分析：一元二次方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；將x=3代入原方程即可求得m及另一根的值． 解答：解：∵方程x2+（m﹣1）

11、x+m﹣10=0的一個根是3， ∴方程9+3（m﹣1）+m﹣10=0， 即4m﹣4=0， 解得m=1； 有方程x2﹣9=0， 解得x=±3， 所以另一根為﹣3． 點評：本題考查的是一元二次方程的根的定義． 10．解方程：（3y﹣1）2=（y﹣3）2． 考點：解一元二次方程-直接開平方法。 專題：計算題。 分析：由于方程兩邊都是完全平方式，這兩個式子相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，即可求解． 解答：解：∵（3y﹣1）2=（y﹣3）2∴3y﹣1=±（y﹣3）， 解得y1=1，y2=﹣1． 點評：此題主要考查了直接開平方法，解一元二次方程的基本思想是

12、降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求解． 11．解方程16（x﹣2）2=64． 考點：解一元二次方程-直接開平方法。 專題：計算題。 分析：將系數(shù)化為1后方程左邊為完全平方式，然后利用數(shù)的開方來解答． 解答：解：∵（x﹣2）2=4， ∴x﹣2=2或﹣2， ∴x1=4，x2=0． 點評：（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”． （2）運用整體思想，會把

13、被開方數(shù)看成整體． （3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點． 12．解方程： （1）（x﹣1）2=4 （2）（x+2）（x﹣1）=0 （3）x2﹣2x﹣3=0 （4）x2+4x+2=0． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）運用直接開平方法解方程； （2）（3）運用因式分解法解方程； （4）運用公式法解方程． 解答：解：（1）開方得x﹣1=±2 即x﹣1=2或x﹣1=﹣2． 解得x1=3，x2=﹣1． （2）∵（x+2）（x﹣1）=0 ∴x+2=0或x﹣1=0 ∴x1=

14、﹣2，x2=1． （3）∵x2﹣2x﹣3=0 ∴（x+1）（x﹣3）=0，即x+1=0或x﹣3=0 解得x1=﹣1，x2=3． （4）∵a=1，b=4，c=2 ∴b2﹣4ac=16﹣8=8． ∴x= 即x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 點評：針對不同的方程的特點，選擇合適的解方程的方法，可以簡化計算． 13．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋? （1）（3x﹣1）2=49； （2）． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-因式分解法。 專題：計算題。 分析：（1）把3x﹣1看作整體直接開方即可求解． （2）移項以后，提公因式2x﹣3，利用提公因式法可以把等號

15、左邊的式子分解，即可利用因式分解法解方程． 解答：解：（1）3x﹣1=±7 3x﹣1=7或3x﹣1=﹣7 ∴x1=，x2=﹣2； （2）（2x﹣3）2﹣（2x﹣3）=0 （2x﹣3）（2x﹣3﹣）=0 2x﹣3=0或2x﹣3﹣=0 ∴x1=，x2=． 點評：主要考查直接開平方法和因式分解法解方程． （1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）． 法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”． 14．請從

16、以下一元二次方程中任選3個，并用適當(dāng)?shù)姆椒ń膺@3個方程， （1） x2﹣3x﹣3=0； （2）（y+2）2=5； （3）4（x+1）2=x+1； （4）y（y﹣2）=2． 你選擇的是第?。?）（2）（3）　小題． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）是一元二次方程的一般形式，可用公式法求解； （2）方程左邊為完全平方式，右邊為非負數(shù)，可用直接開平方法求解； （3）方程兩邊都含有公因式（x+1），先移項，再用提取公因式法求解． 解答：解：（1）用公式法：a=1，b=﹣3，c=﹣3， ∵

17、△=b2﹣4ac=21 ∴x=， 即，； （2）用直接開平方法， 由（y+2）2=5開平方，得 y+2=± 解得：y1=﹣2+，y2=﹣2﹣； （3）用因式分解法， 原方程移項，得4（x+1）2﹣（x+1）=0 提公因式，得（x+1）[4（x+1）﹣1]=0 解得x1=﹣1，x2=． 點評：本題考查了解一元二次方程常用的幾種方法，需要根據(jù)方程的特點，選擇合理的方法；熟練掌握各種解題方法的步驟． 15．①計算 ②解方程：4x2﹣9=0 考點：解一元二次方程-直接開平方法；實數(shù)的運算。 分析：①根據(jù)二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的

18、二次根式進行合并，即合并同類項； ②用直接開平方法解一元二次方程． 解答：解：①原式=﹣（﹣2） =+2 =； ②由原方程，得 4x2=9，即x2=， ∴，即． 點評：同類二次根式是指幾個二次根式化簡成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式；二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并；合并同類二次根式的實質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變． 16．解方程 （1）x2=49 （2）3x2﹣7x=0 （3）（2x﹣1）2=9（直接開平方法） （4）x2+3x﹣4=0（用配方法） （5）（x+4）2=5（x+4）（因式

19、分解法） （6）（x+1）2=4x． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法。 專題：計算題。 分析：要靈活運用解方程的方法． （1）（3）（6）可用直接開平方法； （2）（5）運用因式分解法； （4）配方法． 解答：解：（1）x2=49，解得x=±7． （2）3x2﹣7x=0，提取公因式x（3x﹣7）=0，解得x1=0，x2=． （3）（2x﹣1）2=9，2x﹣1=±3，則x=2或，﹣1． （4）x2+3x﹣4=0利用配方法得x2+3x+=4+，（x+）2=，x+=±，解得x=﹣4或1． （5）方程（x+4）2=5（x+

20、4）提取公因式得（x+4）（x+4﹣5）=0，解得x=﹣4或1． （6）方程（x+1）2=4x可轉(zhuǎn)化為x2+2x+1﹣4x=0，即（x﹣1）2=0，解得x=1． 點評：（1）用直接開平方求解時，一定要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)； （2）用配方法解方程“方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方”是配方法的關(guān)鍵，“二次項系數(shù)化為1”是進行這一關(guān)鍵步驟的重要前提； （3）將多項式分解成兩個因式的積，每個因式分別等于零，將方程降為兩個一元一次方程為求解． 17．解方程：（3x﹣2）2=9（2x+1）2 考點：解一元二次方程-直接開平方法。 專題：計算題。

21、 分析：本題兩邊都是完全平方式，所以用直接開平方再移項合并即可解答． 解答：解：∵（3x﹣2）2=9（2x+1）2∴3x﹣2=±3（2x+1）， 解之得：． 點評：此題主要考查了直接開平方，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求解．本題難易程度適中． 18．解方程： ①（2x﹣1）2=9（直接開平方法） ②x2+3x﹣4=0（用配方法） ③x2﹣2x﹣8=0（用因式分解法） ④（x+4）2=5（x+4） ⑤（x+1）2=4x ⑥（x+1）（x+2）=2x+4 ⑦2x2﹣10x=3 ⑧（x﹣2）（x﹣5）=﹣2 考點：解一元二次方程

22、-直接開平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。 專題：計算題。 分析：要根據(jù)方程形式的不同靈活運用不同的方法來解方程：（1）直接開平方法；（2）用配方法；（3）用因式分解法；（4）提取公因式；（5）（6）（7）（8）去括號，移項化為一般形式，進而求解． 解答：解：①2x﹣1=±3， ∴x1=2，x2=﹣1； ②， ∴x+=±，∴x1=1，x2=﹣4； ③（x+2）（x﹣4）=0， ∴x1=﹣2，x2=4； ④（x+4）2﹣5（x+4）=0， ∴（x+4）（x+4﹣5）=0， ∴x1=﹣4，x2=1； ⑤x2+2x+1﹣4x=

23、0， ∴x2﹣2x+1=0 （x﹣1）2=0， ∴x1=x2=1； ⑥x2+x﹣2=0， ∴（x﹣1）（x+2）=0， ∴x1=1，x2=﹣2； ⑦2x2﹣10x﹣3=0， ∴， ∴x1=，x2=； ⑧x2﹣7x+12=0， ∴（x﹣3）（x﹣4）=0， ∴x1=3，x2=4． 點評：（1）用直接開平方求解時，一定要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)； （2）用配方法解方程“方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方”是配方法的關(guān)鍵，“二次項系數(shù)化為1”是進行這一關(guān)鍵步驟的重要前提； （3）將多項式分解成兩個因式的積，每個因式分別等于零，將方程降

24、為兩個一元一次方程為求解． 19．用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?x﹣2）2=（x+4）2 考點：解一元二次方程-直接開平方法。 專題：計算題。 分析：本題左右兩邊都是完全平方式，所以可用直接開平方法進行解答． 解答：解：∵（3x﹣2）2=（x+4）2 ∴3x﹣2=x+4或3x﹣2=﹣x﹣4， 解之得x1=﹣，x2=3． 點評：此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，難易程度適中． 20．用指定的方法解方程 （1）（x+2）2﹣25=0（直接開平方法） （2）x2+4x﹣5=0（配方法） （3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法） （4）2x2﹣7x+

25、3=0（公式法） 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。 專題：計算題。 分析：（1）首先移項變形為（x+2）2=25的形式，根據(jù)平方根的定義即可求解； （2）首先移項，把常數(shù)項移到等號的右邊，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半，則左邊是完全平方的形式，右邊是常數(shù)，再利用直接開平方法即可求解； （3）把x+2當(dāng)作一個整體，則方程左邊就是一個完全平方式，即可利用因式分解法求解； （4）首先確定a，b，c的值，再檢驗方程是否有解，若有解代入公式即可求解． 解答：解：（1）（x+2）2﹣25=0（直接開平方法）

26、x+2=±5 ∴x1=3，x2=﹣7． （2）x2+4x﹣5=0（配方法） （x+2）2=9 x+2=±3 ∴x1=﹣5，x2=1； （3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法） （x+2﹣5）（x+2﹣5）=0 ∴x1=x2=3； （4）2x2﹣7x+3=0（公式法） x=± x1=+，x2=﹣． 點評：本題考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．當(dāng)化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程． 21．計算： （1）（2x﹣1）2﹣16=0； （2）． 考點：解一元二次方

27、程-直接開平方法；解二元一次方程組。 分析：（1）先移項，再運用直接開平方法解方程； （2）可用代入消元法解這個二元一次方程組． 解答：解：（1）移項，得：（2x﹣1）2=16， 直接開平方，得：2x﹣1=±4， 解得：x1=，x2=﹣； （2）將②代入①得：2x﹣（﹣x﹣5）﹣2=0，解得：x=﹣1； 當(dāng)x=﹣1時，y=﹣x﹣5=1﹣5=﹣4； 故原方程組的解為：． 點評：此題主要考查了一元二次方程的解法，以及用代入消元法解二元一次方程組的方法． 22．已知實數(shù)a、b滿足b=+﹣1，解方程ax2+b=0． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；二次根式有意義的條件

28、。 分析：根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求得a的值，進而可以求得b的值，則方程的解即可求得． 解答：解：根據(jù)題意得： 解得：a=， 則b=﹣1． 方程是：x2﹣1=0 解得：x=±． 點評：本題主要考查了二次根式有意義的條件，正確求得a、b的值是解決本題的關(guān)鍵． 23．附加題． （1）計算：=　7　； （2）已知方程：x2﹣1=0，則x=　±1　． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；二次根式的加減法。 分析：（1）根據(jù)二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并； （2）移項后直接開方． 解答：解：（1）原式=7 （2）x2﹣1

29、=0 x2=1 x=±1． 點評：（1）合并同類二次根式的實質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變； （2）利用了直接開方法解方程，就是依據(jù)平方根的定義，注意一個正數(shù)的平方根有兩個，這兩個互為相反數(shù)． 24．已知關(guān)于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4=0 （1）當(dāng)a=2時，解這個方程； （2）試證明：無論a為何實數(shù)，這個方程都是一元二次方程． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；一元二次方程的定義。 專題：計算題；證明題。 分析：該題在解析的過程中應(yīng)理解一元二次方程的定義和一般形式，主要考查二次項系數(shù)不為零，由這個條件即可解出． 解答：解：（1）當(dāng)a

30、=2時，原方程化簡為：x2+4x+4=0 解得：x1=x2=﹣2（4分） （2）∵a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1≥1＞0 ∴a2﹣4a+5≠0 故這個方程都是一元二次方程（4分） 點評：要特別注意二次項系數(shù)a≠0這一條件，當(dāng)a=0時，方程就不是一元二次方程了．也要注意不等式的解析過程． 25．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋? （1）（y﹣3）2﹣5=0； （2）3（x﹣3）2+x（x﹣3）=0． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）先移項，然后用直接開平方法解方程； （2）方程左邊含有公因式（x﹣3），可先提取公因式，然后再分解

31、因式求解． 解答：解：（1）移項，得：（y﹣3）2=5， y﹣3=或y﹣3=﹣； 解得：y1=3+，y2=3﹣； （2）因式分解，得：（x﹣3）（3x﹣9+x）=0， x﹣3=0或4x﹣9=0， 解得：x1=3，x2=． 點評：本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法． 26．解下列方程（組）： （1）． （2）4x2=（x﹣1）2 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解二元一次方程組。 專題：計算題。 分析：（1）先把方程組化簡后再用加減法或代入法求解； （2）4x

32、2可以看作（2x）2，因而這個方程表示兩個式子的平方相等，則這兩個式子相等或互為相反數(shù)，這樣就可把方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即可求解． 解答：解：（1）原方程組可化為 ①﹣②，得 ﹣4x+28=0，解得x=7， 代入①，得 7﹣3y+8=0，即y=5． 原方程組的解為．（4分） （2）原式可化為（2x）2=（x﹣1）2解得2x=x﹣1， x=﹣1， 或2x=1﹣x， x=． 原方程的解為x1=﹣1，x2=． 點評：解答此類題目的關(guān)鍵是先把方程組中的方程去括號、移項、合并同類項后用相應(yīng)的方法求解；能直接開平方的用直接開方法即可． 27．用直接開平方法解下列方程： （

33、1）（x+）2=（1﹣）2 （2）（t﹣2）2+（t+2）2=10 （3）（y﹣2）2+（2y+1）2=25 （4）（ax+b）2=c（a≠0，c≥0，且a，b，c是常數(shù)） 考點：解一元二次方程-直接開平方法。 專題：計算題。 分析：由于（1）、（4）左邊為完全平方的形式，直接開平方即可；（2）、（3）先將左邊化成完全平方的形式，再開方運算． 解答：（1）解：（x+）2=（1﹣）2， x+=±（1﹣）， ∴x1=﹣1，x2=1﹣2． （2）解：（t﹣2）2+（t+2）2=10 原方程可化為： t2+4﹣4t+t2+4+4t=10， t2=1， ∴t1=1，t2=

34、﹣1． （3）解：（y﹣2）2+（2y+1）2=25 原方程可化為： y2+4﹣4y+4y2+1+4y=25， 5y2=20， y2=4， ∴y1=2，y2=﹣2． （4）解：（ax+b）2=c（a≠0，c≥0，且a，b，c是常數(shù)） 開方得：ax+b=±， 移項得：ax=﹣b±， 系數(shù)化為1得：x=， 即x1=，x2=． 點評：（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，

35、分開求得方程解”． （2）運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體． （3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點． 28．計算或解方程： （1）x2+8x=﹣16； （2）（2﹣（﹣）（+）． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；實數(shù)的運算。 專題：計算題。 分析：（1）先移項再利用完全平方公式計算，然后開方即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式計算． 解答：解：（1）移項得，x2+8x+16=0 即（x+4）2=0 ∴x1=x2=﹣4． （2）原式=6﹣12+18+1=25﹣12． 點評：這兩道題主要考查了學(xué)生的完全平方公式和平方差公式及學(xué)生的開

36、平方能力． 29．用適當(dāng)方法解下列方程 （1）（2y﹣1）2= （2）x﹣=5x（﹣x） （3）（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24 （4）（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-因式分解法；換元法解一元二次方程。 專題：計算題。 分析：要根據(jù)方程的本題，靈活運用解方程的方法：（1）直接開平方法，移項后可以變形為（2y﹣1）2=，利用直接開平方法即可求解； （2）移項把方程右邊變成0，提取公因式，即可變形為左邊是整式相乘，右邊是0的形式，根據(jù)兩個式子的積是0，兩個中至少有一個是0，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程

37、求解； （3）去括號、移項、合并同類項，把方程化為一般形式，利用因式分解法即可； （4）把2x+1當(dāng)作一個整體，即可利用換元法求解． 解答：解：（1）方程原式兩邊同乘以2得（2y﹣1）2=， ∴2y﹣1=±， y=±； （2）移項、提取公因式得（x﹣）（5x+1）=0， 解得x1=，x2=﹣； （3）去括號、移項、合并同類項得（x+3）（x﹣8）=0， 解得x1=﹣3，x2=8； （4）解方程（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0可以用換元法和配方法， 設(shè)2x+1為y，得y2+3y﹣4=0， 利用配方法得（y+）2=4+， y+=±， 得y=1或﹣4， 設(shè)2x+1

38、為y， 則x1=0，x2=﹣． 點評：（1）用直接開平方求解時，一定要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)； （2）用配方法解方程“方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方”是配方法的關(guān)鍵，“二次項系數(shù)化為1”是進行這一關(guān)鍵步驟的重要前提； （3）將多項式分解成兩個因式的積，每個因式分別等于零，將方程降為兩個一元一次方程為求解． 30．設(shè)方程x2+kx﹣2=0和方程2x2+7kx+3=0有一個根互為倒數(shù)，求k的值及兩個方程的根． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；一元二次方程的解。 專題：分類討論。 分析：先設(shè)出方程的一個根為a，則另一個方程的根就是它的

39、倒數(shù)，然后代入計算求得a的值，再求k的值，然后再分情況討論兩個方程的根． 解答：解：設(shè)a是方程x2+kx﹣2=0的根，則是方程2x2+7kx+3=0的根， ∴①a2+ka﹣2=0，②+3=0， 由②，得3a2+7ka+2=0，③ 由①，得ka=2﹣a2，代入③，得 3a2+7（2﹣a2）+2=0， ∴4a2=16，∴a=±2． 代入①，得，或． 當(dāng)時，方程①變?yōu)閤2﹣x﹣2=0，根為2和﹣1，方程②變?yōu)?x2﹣7x+3=0，根為和3； 當(dāng)時，方程①變?yōu)閤2+x﹣2=0，根為﹣2和1，方程②變?yōu)?x2+7x+3=0，根為﹣和﹣3． 點評：做這類題的關(guān)鍵是要先設(shè)出方程的一個根，

40、根據(jù)題意得出另一方程的根，然后代入分情況討論根的情況． 31．解方程： （1）（x﹣1）2﹣25=0 （2）2（x+1）2=x2﹣1 （3）2x2+6x+1=0（用配方法解） （4）（x+5）2﹣2（x+5）﹣8=0． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）利用直接開平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）配方法解方程； （4）因式分解法解方程． 解答：解：（1）由原方程，移項，得 （x﹣1）2=25， 開平方，得 x﹣1=±5， ∴x=1±5， ∴x1

41、=6 x2=﹣4； （2）由原方程，得 2x2+4x+2=x2﹣1，即x2+4x+3=0， ∴（x+1）（x+3）=0， ∴x+1=0或x+3=0， 解得，x1=﹣1，x2=﹣3； （3）化二次項系數(shù)為1，得 x2+3x+=0， 移項，得 x2+3x=﹣， 等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得 x2+3x+=﹣， ∴（x+）2=， ∴x=﹣， 解得，x1=，x2=； （4）由原方程，得 （x+5+2）（x+5﹣4）=0，即（x+7）（x+1）=0， ∴x+7=0，或x+1=0， 解得，x1=﹣1，x2=﹣7． 點評：本題考查了配方法、因

42、式分解法、直接開平法解方程．對于解方程的方法的選擇，應(yīng)該根據(jù)方程的特點選擇不同的方法． 32．閱讀理解：我們把稱作二階行列式，規(guī)定它的運算法則為．如． （1）計算：； （2）如果=6，求x的值． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；二次根式的混合運算。 專題：新定義。 分析：（1）根據(jù)二階行列式直接列出關(guān)系式解答即可； （2）由二階行列式直接列出關(guān)于x的方程，然后解方程即可． 解答：解：（1）根據(jù)題意得： 原式=×﹣2×， =﹣2， =4﹣2， =； （2）根據(jù)題意得：（x+1）2﹣（x﹣1）（1﹣x）=6， ∴（x2+2x+1）+（x2﹣2x+1）=6，

43、 2x2=4 ∴． 點評：本題主要考查了二階行列式的實際應(yīng)用以及根據(jù)二階行列式列出方程，再解方程． 33．解方程： （1）x2﹣5=0 （2）x2+2=3（x+2） （3）x2+4x﹣1=0 （4）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）利用直接開平方法求出一元二次方程的根即可； （2）運用因式分解法將原式分解因式，得出（x﹣4）（x+1）=0，即可得出答案， （3）原因配方法得出（x+2）2=5，進而得出方

44、程的根； （4）運用因式分解法將原式分解因式，得出（x﹣2）（x﹣5）=0，，即可得出答案， 解答：解：（1）x2﹣5=0， x2=5， x 1=，x 2=﹣； （2）x2+2=3（x+2）， x2﹣3x﹣4=0， （x﹣4）（x+1）=0， x 1=4，x 2=﹣1； （3）x2+4x﹣1=0， （x+2）2=5， x 1=﹣2+，x 2=﹣2﹣； （4）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0， （x﹣2）（x﹣5）=0， x 1=2，x 2=5； 點評：此題主要考查了配方法、因式分解法解一元二次方程，運用因式分解法時，根據(jù)已知將原始分解為兩式相乘等于0

45、是解決問題的關(guān)鍵． 34．解方程（1）（2x﹣1）2﹣16=0；（2）x2﹣2x+1=0（用配方法解） 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-配方法。 分析：（1）將16轉(zhuǎn)化為完全平方形式，然后通過移項、直接開平方解方程即可； （2）利用配方法解方程． 解答：解：（1）由原方程，移項得 （2x﹣1）2=42， 直接開平方，得 2x﹣1=±4， 解得，（4分） （2）化二次項系數(shù)為1，得 x2﹣6x+3=0， 移項，得 x2﹣6x=﹣3， 等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，得 x2﹣6x+9=6，即（x﹣3）2=6， ∴x﹣3=±

46、解得，（4分） 點評：本題考查了直接開平方法解一元二次方程．解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解． （1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平 方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”． （2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點． 35．解下列方程： （1）用直接開平方法解方程：2x2﹣24=0 （2）用

47、配方法解方程：x2+4x+1=0 （3）解方程：． 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法。 分析：（1）先移項，然后直接開平方． （2）此題考查配方法的一般步驟：①把常數(shù)項移到等號的右邊；②把二次項的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方． （3）根據(jù)求根公式x=先確定a，b，c的值，代入公式即可求解． 解答：解：（1）2x2﹣24=0， 移項得：2x2=24， x=±2， 解得x1=2，x2=﹣2． （2）∵x2+4x+1=0， ∴x2+4x=﹣1， ∴x2+4x+4=﹣1+4， ∴（x+2）2=3， ∴x

48、1=﹣2，x2=﹣﹣2； （3）． 根據(jù)公式法得： a=1，b=﹣，c=； b2﹣4ac=2﹣4×=0； x=； 點評：解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解． （1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”． （2）運用整體思想，把被開方數(shù)看成整體． （3）用直接開方法求一元二次方程的

49、解，要仔細觀察方程的特點． 36．解方程：①3x2=12x ②2x2﹣5x+1=0 ③（x﹣1）2+4（x﹣1）+4=0 ④x2﹣（2a+1）x+2a=0（a為常數(shù)） 考點：解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法。 分析：①、④利用因式分解法解方程； ②利用求根公式x=解方程； ③利用配方法解方程． 解答：解：①由原方程，得 x2﹣4x=0， ∴x（x﹣4）=0， ∴x=0或x﹣4=0， 解得，x1=0，x2=4； ②∵方程2x2﹣5x+1=0的二次項系數(shù)a=2，

50、一次項系數(shù)b=﹣5，常數(shù)項c=1， ∴x==， 解得，x1=，x2=； ③由原方程，得 （x﹣1+2）2=0，即（x+1），+=0， 解得，x1=x2=﹣1； ④由原方程，得 （x﹣1）（x﹣2a）=0， ∴x﹣1=0或x﹣2a=0， 解得，x1=1，x2=2a． 點評：本題考查了解一元二次方程﹣﹣直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”． 37．已知一元二次方程x2﹣4x+1+m=5請你選取一個適當(dāng)?shù)膍的值，使方程能用直接開平方法求解，并解這個方程． （1）你選的m的值是　8??； （2）解這個方程． 考點：解一元二次方程-直接開平方法。 專題：計算題；開放型。 分析：先選擇m的值，再利用直接開平方法解方程即可．答案不唯一 解答：解：令m=8，則x2﹣4x+1+8=5， 即x2﹣4x+4=0， （x﹣2）2=0， 開方得x﹣2=0， 即x=2． 點評：本題是一道開放性的題目，考查了用直接開平方法解一元二次方程．