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2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ)章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1

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2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ)章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1

第一章 常用邏輯用語(yǔ) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解命題及四種命題的概念,掌握四種命題間的相互關(guān)系.2.理解充分條件、必要條件的概念,掌握充分條件、必要條件的判定方法.3.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義,會(huì)判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假.4.理解全稱(chēng)量詞、存在量詞的含義,會(huì)判斷全稱(chēng)命題、存在性命題的真假,會(huì)求含有一個(gè)量詞的命題的否定. 知識(shí)點(diǎn)一 命題及其關(guān)系 1.判斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題,關(guān)鍵是: (1)為_(kāi)_________; (2)能____________. 2.互為逆否關(guān)系的兩個(gè)命題的真假性________. 3.四種命題之間的關(guān)系如圖所示. 知識(shí)點(diǎn)二 充分條件、必要條件和充要條件 1.定義 一般地,若p則q為真命題,是指由p通過(guò)推理可以得出q.這時(shí),我們就說(shuō),由p可推出q,記作p?q,并且說(shuō)p是q的充分條件,q是p的必要條件. 一般地,如果既有p?q,又有q?p,就記作p?q.此時(shí),我們說(shuō),p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件. 2.特征 充分條件與必要條件具有以下兩個(gè)特征: (1)對(duì)稱(chēng)性:若p是q的充分條件,則q是p的________條件; (2)傳遞性:若p是q的充分條件,q是r的充分條件,則p是r的________條件.即若p?q,q?r,則p?r.必要條件和充分條件一樣具有傳遞性,但若p是q的充分條件,q是r的必要條件,則p與r的關(guān)系不能確定. 知識(shí)點(diǎn)三 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞 1.常見(jiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞有“______”、“______”、“______”. 2.短語(yǔ)“所有”“任意”“每一個(gè)”等表示全體的量詞在邏輯中通常稱(chēng)為全稱(chēng)量詞,通常用符號(hào)“?x”表示“________”. 3.短語(yǔ)“有一個(gè)”“有些”“存在一個(gè)”“至少一個(gè)”等表示部分的量詞在邏輯中通常稱(chēng)為存在量詞,通常用符號(hào)“?x”表示“________”. 4.含有全稱(chēng)量詞的命題叫做________命題,含有存在量詞的命題叫做__________命題. 類(lèi)型一 充分條件與必要條件、充要條件的探究 命題角度1 充分條件與必要條件的再探究 例1 設(shè)甲、乙、丙三個(gè)命題,若①甲是乙的充要條件;②丙是乙的充分條件,但不是乙的必要條件,則(  ) A.丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件 B.丙是甲的必要條件,但不是甲的充分條件 C.丙是甲的充要條件 D.丙不是甲的充分條件,也不是甲的必要條件 反思與感悟 若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件,即q的充分條件是p,p的必要條件是q. 如果將“必要條件”理解為“必然結(jié)果”,則可認(rèn)為p的必然結(jié)果是q,q是p的必然結(jié)果. 則pD?/q易表述為以下幾種說(shuō)法: p是q的不充分條件,q的不充分條件是p; q是p的不必要條件,p的不必要條件是q. 跟蹤訓(xùn)練1 使a>b>0成立的一個(gè)充分不必要條件是(  ) A.a(chǎn)2>b2>0 B. C.ln a>ln b>0 D.xa>xb且x>0.5 命題角度2 充要條件的再探究 例2 設(shè)數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿(mǎn)足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…),證明:{an}為等差數(shù)列的充要條件是{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…). 反思與感悟 利用充要條件的定義證明問(wèn)題時(shí),需要從兩個(gè)方面加以證明,切勿漏掉其中一個(gè)方面. 跟蹤訓(xùn)練2 設(shè){an}是各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列,Ai是邊長(zhǎng)為ai,ai+1的矩形的面積(i=1,2,…),則{An}為等比數(shù)列的充要條件是(  ) A.{an}是等比數(shù)列 B.a(chǎn)1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比數(shù)列 C.a(chǎn)1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比數(shù)列 D.a(chǎn)1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比數(shù)列,且公比相同 類(lèi)型二 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 例3 已知c>0,設(shè)p:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減;q:不等式x+|x-2c|>1的解集為R.如果p和q有且僅有一個(gè)為真命題,求c的取值范圍. 反思與感悟 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是包含在化歸思想中的一種比較具體的數(shù)學(xué)思想,本章主要體現(xiàn)在四種命題間的相互轉(zhuǎn)化與集合之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化、原命題與其逆否命題之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化等,即以充要條件為基礎(chǔ),把同一種數(shù)學(xué)意義的內(nèi)容從一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式,從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化. 跟蹤訓(xùn)練3 已知命題p:(x+1)(x-5)≤0,命題q:1-m≤x<1+m(m>0). (1)若p是q的充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)若m=5,“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實(shí)數(shù)x的取值范圍. 類(lèi)型三 分類(lèi)討論思想的應(yīng)用 例4 已知關(guān)于x的方程(m∈Z): mx2-4x+4=0, ① x2-4mx+4m2-4m-5=0, ② 求方程①和②的根都是整數(shù)的充要條件. 反思與感悟 分類(lèi)討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想之一,利用分類(lèi)討論思想解答問(wèn)題已成為高考中考查學(xué)生知識(shí)和能力的熱點(diǎn).解題中要找清討論的標(biāo)準(zhǔn). 跟蹤訓(xùn)練4 已知p:≥2;q:x2-ax≤x-a.若綈p是綈q的充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 1.命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù),則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(  ) A.“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù),則它的平方不是正數(shù)” B.“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù),則它是負(fù)數(shù)” C.“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù),則它的平方不是正數(shù)” D.“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù),則它不是負(fù)數(shù)” 2.已知α,β是兩個(gè)不同的平面,直線(xiàn)a?α,直線(xiàn)b?β,p:a與b無(wú)公共點(diǎn),q:α∥β,則p是q的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 3.已知命題p:若x>y,則-x<-y;命題q:若x>y,則x2>y2.在命題①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命題是________. 4.對(duì)任意x∈[-1,2],x2-a≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 5.(1)若p:兩條直線(xiàn)的斜率互為負(fù)倒數(shù),q:兩條直線(xiàn)互相垂直,則p是q的什么條件? (2)若p:|3x-4|>2,q:>0,則綈p是綈q的什么條件? 1.判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的關(guān)鍵是正確理解“或”“且”“非”的含義,應(yīng)根據(jù)命題中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)的分析與真假的判斷. 2.判斷命題真假的步驟 ?? 3.命題p∧q,p∨q,綈p的真假判斷,如下表: p q 綈p p∨q p∧q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 4.含有一個(gè)量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M,p(x) ?x∈M,綈p(x) ?x∈M,p(x) ?x∈M,綈p(x) 注意:(1)全稱(chēng)命題的否定是存在性命題,存在性命題的否定是全稱(chēng)命題. (2)命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個(gè)不同的概念.對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定,就是要對(duì)其結(jié)論進(jìn)行否定,而否命題是既否定條件又否定結(jié)論. 提醒:完成作業(yè) 第一章 章末復(fù)習(xí)課 答案精析 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn)一 1.(1)陳述句 (2)判斷真假 2.相同 知識(shí)點(diǎn)二 2.(1)必要 (2)充分 知識(shí)點(diǎn)三 1.且 或 非 2.對(duì)任意x 3.存在x 4.全稱(chēng) 存在性 題型探究 例1 A 跟蹤訓(xùn)練1 C 例2 證明 (必要性)設(shè){an}是公差為d1的等差數(shù)列, 則bn+1-bn=(an+1-an+3)-(an-an+2)=(an+1-an)-(an+3-an+2)=d1-d1=0,所以bn≤bn+1(n=1,2,3,…)成立. 又cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常數(shù))(n=1,2,3,…), ∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列. (充分性)設(shè)數(shù)列{cn}是公差為d2的等差數(shù)列,且bn≤bn+1(n=1,2,3,…). ∵cn=an+2an+1+3an+2, ① ∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4. ② ①-②得cn-cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4) =bn+2bn+1+3bn+2. ∵cn-cn+2=(cn-cn+1)+(cn+1-cn+2)=-2d2, ∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2, ③ 同理有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2. ④ ④-③得 (bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0. ⑤ ∵bn+1-bn≥0,bn+2-bn+1≥0, bn+3-bn+2≥0, ∴由⑤得bn+1-bn=0(n=1,2,3,…). 由此不妨設(shè)bn=d3(n=1,2,3,…), 則an-an+2=d3(常數(shù)). 由此cn=an+2an+1+3an+2=4an+2an+1-3d3, 從而cn+1=4an+1+2an+2-3d3 =4an+1+2an-5d3. 兩式相減得cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3, 因此an+1-an=(cn+1-cn)+d3 =d2+d3(常數(shù))(n=1,2,3,…), ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 跟蹤訓(xùn)練2 D 例3 解 函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減?0<c<1. 不等式x+|x-2c|>1的解集為R ?函數(shù)y=x+|x-2c|在R上恒大于1. ∵x+|x-2c|= ∴函數(shù)y=x+|x-2c|在R上的最小值為2c,∴2c>1,得c>. 如果p真q假,則 解得0<c≤; 如果q真p假,則解得c≥1. ∴c的取值范圍為(0,]∪[1,+∞). 跟蹤訓(xùn)練3 解 (1)由命題p:(x+1)·(x-5)≤0,解得-1≤x≤5. 命題q:1-m≤x<1+m(m>0). ∵p是q的充分條件, ∴[-1,5]?[1-m,1+m), ∴解得m>4, 則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(4,+∞). (2)∵m=5,∴命題q:-4≤x<6. ∵“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題, ∴命題p,q為一真一假. 當(dāng)p真q假時(shí),可得 解得x∈?. 當(dāng)q真p假時(shí),可得 解得-4≤x<-1或5<x<6. 因此x的取值范圍是[-4,-1)∪(5,6). 例4 解 當(dāng)m=0時(shí),方程①的根為x=1, 方程②化為x2-5=0,無(wú)整數(shù)根,∴m≠0. 當(dāng)m≠0時(shí),方程①有實(shí)數(shù)根的充要條件是Δ=16-4×4m≥0?m≤1; 方程②有實(shí)數(shù)根的充要條件是 Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0?m≥-. ∴-≤m≤1.又∵m∈Z,∴m=-1或m=1. 當(dāng)m=-1時(shí),方程①為x2+4x-4=0,無(wú)整數(shù)根; 當(dāng)m=1時(shí),方程①為x2-4x+4=0, 方程②為x2-4x-5=0. 此時(shí)①和②均有整數(shù)根. 綜上,方程①和②均有整數(shù)根的充要條件是m=1. 跟蹤訓(xùn)練4 解 ∵p:≥2, ∴≤0,即1≤x<3. 又∵q:x2-ax≤x-a, ∴x2-(a+1)x+a≤0. ①當(dāng)a<1時(shí),a≤x≤1; ②當(dāng)a=1時(shí),x=1; ③當(dāng)a>1時(shí),1≤x≤a. 設(shè)q對(duì)應(yīng)的集合為A,p對(duì)應(yīng)的集合為B, ∵綈p是綈q的充分條件.∴?RB??RA,即A?B. 當(dāng)a<1時(shí),A?B,不合題意; 當(dāng)a=1時(shí),AB,符合題意; 當(dāng)a>1時(shí),1≤x≤a,要使A?B,則1<a<3.綜上,符合條件的a∈[1,3). 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.B 2.B 3.②③ 4.(-∞,0] 5.解 (1)∵兩條直線(xiàn)的斜率互為負(fù)倒數(shù),∴兩條直線(xiàn)互相垂直,∴p?q. 又∵一條直線(xiàn)的斜率不存在,另一條直線(xiàn)的斜率為0,兩條直線(xiàn)也垂直,∴q?p. ∴p是q的充分不必要條件. (2)解不等式|3x-4|>2,得p:{x|x>2或x<},∴綈p:{x|≤x≤2}. 解不等式>0, 得q:{x|x<-1或x>2}. ∴綈q:{x|-1≤x≤2}. ∴綈p是綈q的充分不必要條件. 9

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