2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1

第一章 常用邏輯用語 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解命題及四種命題的概念，掌握四種命題間的相互關(guān)系.2.理解充分條件、必要條件的概念，掌握充分條件、必要條件的判定方法.3.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假.4.理解全稱量詞、存在量詞的含義，會判斷全稱命題、存在性命題的真假，會求含有一個量詞的命題的否定． 知識點(diǎn)一　命題及其關(guān)系 1．判斷一個語句是否為命題，關(guān)鍵是： (1)為__________； (2)能____________． 2．互為逆否關(guān)系的兩個命題的真假性________． 3．四種命題之間的關(guān)系如圖所示． 知識點(diǎn)二　充分條件、必要條件和充要條件 1．定義 一般地，若p則q為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，記作p?q，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件． 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件． 2．特征 充分條件與必要條件具有以下兩個特征： (1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的________條件； (2)傳遞性：若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的________條件．即若p?q，q?r，則p?r.必要條件和充分條件一樣具有傳遞性，但若p是q的充分條件，q是r的必要條件，則p與r的關(guān)系不能確定． 知識點(diǎn)三　簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞 1．常見的邏輯聯(lián)結(jié)詞有“______”、“______”、“______”． 2．短語“所有”“任意”“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中通常稱為全稱量詞，通常用符號“?x”表示“________”． 3．短語“有一個”“有些”“存在一個”“至少一個”等表示部分的量詞在邏輯中通常稱為存在量詞，通常用符號“?x”表示“________”． 4．含有全稱量詞的命題叫做________命題，含有存在量詞的命題叫做__________命題． 類型一　充分條件與必要條件、充要條件的探究 命題角度1　充分條件與必要條件的再探究 例1　設(shè)甲、乙、丙三個命題，若①甲是乙的充要條件；②丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，則(　　) A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件 B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件 C．丙是甲的充要條件 D．丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件 反思與感悟　若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件，即q的充分條件是p，p的必要條件是q. 如果將“必要條件”理解為“必然結(jié)果”，則可認(rèn)為p的必然結(jié)果是q，q是p的必然結(jié)果． 則pD?/q易表述為以下幾種說法： p是q的不充分條件，q的不充分條件是p； q是p的不必要條件，p的不必要條件是q. 跟蹤訓(xùn)練1　使a>b>0成立的一個充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)2>b2>0 B． C．ln a>ln b>0 D．xa>xb且x>0.5 命題角度2　充要條件的再探究 例2　設(shè)數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1，2，3，…)，證明：{an}為等差數(shù)列的充要條件是{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)． 反思與感悟　利用充要條件的定義證明問題時，需要從兩個方面加以證明，切勿漏掉其中一個方面． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè){an}是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai＋1的矩形的面積(i＝1，2，…)，則{An}為等比數(shù)列的充要條件是(　　) A．{an}是等比數(shù)列 B．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列 C．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列 D．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列，且公比相同 類型二　等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 例3　已知c>0，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集為R.如果p和q有且僅有一個為真命題，求c的取值范圍． 反思與感悟　等價轉(zhuǎn)化思想是包含在化歸思想中的一種比較具體的數(shù)學(xué)思想，本章主要體現(xiàn)在四種命題間的相互轉(zhuǎn)化與集合之間的等價轉(zhuǎn)化、原命題與其逆否命題之間的等價轉(zhuǎn)化等，即以充要條件為基礎(chǔ)，把同一種數(shù)學(xué)意義的內(nèi)容從一種數(shù)學(xué)語言形式等價轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)語言形式，從而使復(fù)雜問題簡單化、具體化． 跟蹤訓(xùn)練3　已知命題p：(x＋1)(x－5)≤0，命題q：1－m≤x<1＋m(m>0)． (1)若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)若m＝5，“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． 類型三　分類討論思想的應(yīng)用 例4　已知關(guān)于x的方程(m∈Z)： mx2－4x＋4＝0， ① x2－4mx＋4m2－4m－5＝0， ② 求方程①和②的根都是整數(shù)的充要條件． 反思與感悟　分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想之一，利用分類討論思想解答問題已成為高考中考查學(xué)生知識和能力的熱點(diǎn)．解題中要找清討論的標(biāo)準(zhǔn)． 跟蹤訓(xùn)練4　已知p：≥2；q：x2－ax≤x－a.若綈p是綈q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 1．命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(　　) A．“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B．“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” C．“若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D．“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)” 2．已知α，β是兩個不同的平面，直線a?α，直線b?β，p：a與b無公共點(diǎn)，q：α∥β，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 3．已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命題是________． 4．對任意x∈[－1，2]，x2－a≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 5．(1)若p：兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，q：兩條直線互相垂直，則p是q的什么條件？ (2)若p：|3x－4|>2，q：>0，則綈p是綈q的什么條件？ 1．判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的關(guān)鍵是正確理解“或”“且”“非”的含義，應(yīng)根據(jù)命題中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)的分析與真假的判斷． 2．判斷命題真假的步驟 ?? 3．命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷，如下表： p q 綈p p∨q p∧q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 4.含有一個量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x) ?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x) 注意：(1)全稱命題的否定是存在性命題，存在性命題的否定是全稱命題． (2)命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個不同的概念．對一個命題進(jìn)行否定，就是要對其結(jié)論進(jìn)行否定，而否命題是既否定條件又否定結(jié)論． 提醒：完成作業(yè)　第一章　章末復(fù)習(xí)課 答案精析 知識梳理 知識點(diǎn)一 1．(1)陳述句　(2)判斷真假 2．相同 知識點(diǎn)二 2．(1)必要　(2)充分 知識點(diǎn)三 1．且　或　非 2．對任意x 3．存在x 4．全稱　存在性 題型探究 例1　A 跟蹤訓(xùn)練1　C 例2　證明　(必要性)設(shè){an}是公差為d1的等差數(shù)列， 則bn＋1－bn＝(an＋1－an＋3)－(an－an＋2)＝(an＋1－an)－(an＋3－an＋2)＝d1－d1＝0，所以bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)成立． 又cn＋1－cn＝(an＋1－an)＋2(an＋2－an＋1)＋3(an＋3－an＋2)＝d1＋2d1＋3d1＝6d1(常數(shù))(n＝1，2，3，…)， ∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列． (充分性)設(shè)數(shù)列{cn}是公差為d2的等差數(shù)列，且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)． ∵cn＝an＋2an＋1＋3an＋2， ① ∴cn＋2＝an＋2＋2an＋3＋3an＋4. ② ①－②得cn－cn＋2＝(an－an＋2)＋2(an＋1－an＋3)＋3(an＋2－an＋4) ＝bn＋2bn＋1＋3bn＋2. ∵cn－cn＋2＝(cn－cn＋1)＋(cn＋1－cn＋2)＝－2d2， ∴bn＋2bn＋1＋3bn＋2＝－2d2， ③ 同理有bn＋1＋2bn＋2＋3bn＋3＝－2d2. ④ ④－③得 (bn＋1－bn)＋2(bn＋2－bn＋1)＋3(bn＋3－bn＋2)＝0. ⑤ ∵bn＋1－bn≥0，bn＋2－bn＋1≥0， bn＋3－bn＋2≥0， ∴由⑤得bn＋1－bn＝0(n＝1，2，3，…)． 由此不妨設(shè)bn＝d3(n＝1，2，3，…)， 則an－an＋2＝d3(常數(shù))． 由此cn＝an＋2an＋1＋3an＋2＝4an＋2an＋1－3d3， 從而cn＋1＝4an＋1＋2an＋2－3d3 ＝4an＋1＋2an－5d3. 兩式相減得cn＋1－cn＝2(an＋1－an)－2d3， 因此an＋1－an＝(cn＋1－cn)＋d3 ＝d2＋d3(常數(shù))(n＝1，2，3，…)， ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 跟蹤訓(xùn)練2　D 例3　解　函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減?0<c<1. 不等式x＋|x－2c|>1的解集為R ?函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1. ∵x＋|x－2c|＝ ∴函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上的最小值為2c，∴2c>1，得c>. 如果p真q假，則 解得0<c≤； 如果q真p假，則解得c≥1. ∴c的取值范圍為(0，]∪[1，＋∞)． 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)由命題p：(x＋1)·(x－5)≤0，解得－1≤x≤5. 命題q：1－m≤x<1＋m(m>0)． ∵p是q的充分條件， ∴[－1，5]?[1－m，1＋m)， ∴解得m>4， 則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(4，＋∞)． (2)∵m＝5，∴命題q：－4≤x<6. ∵“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題， ∴命題p，q為一真一假． 當(dāng)p真q假時，可得 解得x∈?. 當(dāng)q真p假時，可得 解得－4≤x<－1或5<x<6. 因此x的取值范圍是[－4，－1)∪(5，6)． 例4　解　當(dāng)m＝0時，方程①的根為x＝1， 方程②化為x2－5＝0，無整數(shù)根，∴m≠0. 當(dāng)m≠0時，方程①有實(shí)數(shù)根的充要條件是Δ＝16－4×4m≥0?m≤1； 方程②有實(shí)數(shù)根的充要條件是 Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0?m≥－. ∴－≤m≤1.又∵m∈Z，∴m＝－1或m＝1. 當(dāng)m＝－1時，方程①為x2＋4x－4＝0，無整數(shù)根； 當(dāng)m＝1時，方程①為x2－4x＋4＝0， 方程②為x2－4x－5＝0. 此時①和②均有整數(shù)根． 綜上，方程①和②均有整數(shù)根的充要條件是m＝1. 跟蹤訓(xùn)練4　解　∵p：≥2， ∴≤0，即1≤x<3. 又∵q：x2－ax≤x－a， ∴x2－(a＋1)x＋a≤0. ①當(dāng)a<1時，a≤x≤1； ②當(dāng)a＝1時，x＝1； ③當(dāng)a>1時，1≤x≤a. 設(shè)q對應(yīng)的集合為A，p對應(yīng)的集合為B， ∵綈p是綈q的充分條件．∴?RB??RA，即A?B. 當(dāng)a<1時，A?B，不合題意； 當(dāng)a＝1時，AB，符合題意； 當(dāng)a>1時，1≤x≤a，要使A?B，則1<a<3.綜上，符合條件的a∈[1，3)． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．B　2.B　3.②③　4.(－∞，0] 5．解　(1)∵兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，∴兩條直線互相垂直，∴p?q. 又∵一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，兩條直線也垂直，∴q?p. ∴p是q的充分不必要條件． (2)解不等式|3x－4|>2，得p：{x|x>2或x<}，∴綈p：{x|≤x≤2}． 解不等式>0， 得q：{x|x<－1或x>2}． ∴綈q：{x|－1≤x≤2}． ∴綈p是綈q的充分不必要條件． 9