2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率 第56講 二項(xiàng)式定理學(xué)案

第56講　二項(xiàng)式定理 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理． 2．會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)式展開式有關(guān)的簡單問題. 2017·全國卷Ⅰ，6 2017·全國卷Ⅲ，4 2017·山東卷，11 2016·全國卷Ⅰ，14 2016·天津卷，10 2016·山東卷，12 對二項(xiàng)式定理的考查，主要是利用通項(xiàng)求展開式的特定項(xiàng)及參數(shù)值．利用二項(xiàng)式定理展開式的性質(zhì)求有關(guān)系數(shù)等問題. 分值：5分 1．二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理 (a＋b)n＝__Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N)__ 二項(xiàng)式系數(shù) 二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)__C__(k＝0，1，…，n) 二項(xiàng)式通項(xiàng) Tk＋1＝__Can－kbk__，它表示第__k＋1__項(xiàng) 2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)． (1)在二項(xiàng)展開式中第k項(xiàng)為Can－kbk.(　×　) (2)通項(xiàng)Can－kbk中的a和b不能互換．(　√　) (3)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)．(　×　) (4)(a＋b)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān)．(　√　) (5)(a＋b)n某項(xiàng)的系數(shù)是由該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號等構(gòu)成，與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不同．(　√　) 解析 (1)錯誤．在二項(xiàng)展開式中第k＋1項(xiàng)為Can－kbk，而第k項(xiàng)應(yīng)為Can－k＋1bk－1. (2)正確．通項(xiàng)Can－kbk中的a與b如果互換，則它將成為(b＋a)n的第k＋1項(xiàng)． (3)錯誤．由二項(xiàng)展開式中某項(xiàng)的系數(shù)的定義知；二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)不一定是中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)，而二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)則為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)． (4)正確．因?yàn)槎?xiàng)式(a＋b)n的展開式中第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C，顯然它與a，b無關(guān)． (5)正確．因?yàn)槎?xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)是由該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號構(gòu)成的，一般情況下，不等于二項(xiàng)式系數(shù)． 2．已知7的展開式的第4項(xiàng)等于5，則x＝(　B　) A．　　 B．－　　 C．7　　 D．－7 解析 7的展開式中T4＝Cx43＝5， 所以x＝－. 3．化簡：C＋C＋…＋C的值為__22n－1__. 解析 因?yàn)镃＋C＋…＋C＝22n， 所以C＋C＋…＋C＝＝22n－1. 4.5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__40__. 解析 Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·(－2)r·x10－5r， 令10－5r＝0，得r＝2，故常數(shù)項(xiàng)為C×(－2)2＝40. 5．(2017·山東卷)已知(1＋3x)n的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54，則n＝__4__. 解析 由題意可知C32＝54，∴C＝6，解得n＝4. 一　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或系數(shù)問題 (1)求展開式中的特定項(xiàng)，可依據(jù)條件寫出第k＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出k值即可． (2)已知展開式中的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)．可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫出第k＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出k值，最后求出其參數(shù)． 【例1】 (1)(2018·廣東惠州模擬)在二項(xiàng)式5的展開式中，含x4的項(xiàng)的系數(shù)是(　A　) A．10　　 B．－10 C．－5　　 D．20 (2)8的展開式中的有理項(xiàng)共有__3__項(xiàng)． 解析 (1)Tr＋1＝C·(x2)5－r·(－x－1)r＝C(－1)r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，所以含x4項(xiàng)的系數(shù)為C(－1)2＝10，故選A． (2)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C·()8－rr＝rCx(r＝0,1,2，…，8)，為使Tr＋1為有理項(xiàng)，r必須是4的倍數(shù)， 所以r＝0,4,8，故共有3個(gè)有理項(xiàng)． 二　多項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或系數(shù)問題 (1)對于幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問題，只需依據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，從每一項(xiàng)中分別得到特定的項(xiàng)，再求和即可． (2)對于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏． (3)對于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決． 【例2】 (1)4＋8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　D　) A．32　　 B．34　　 C．36　　 D．38 (2)(2017·全國卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(　C　) A．－80　　 B．－40　　 C．40　　 D．80 (3)(2017·全國卷Ⅰ)(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為(　C　) A．15　　 B．20　　 C．30　　 D．35 解析 (1)4的展開式的通項(xiàng)為Tm＋1＝C(x3)4－m·m＝C(－2)mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，8的展開式的通項(xiàng)為Tn＋1＝Cx8－n·n＝Cx8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4， 所以所求常數(shù)項(xiàng)為C(－2)3＋C＝38. (2)當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號內(nèi)取x時(shí)，第二個(gè)括號內(nèi)要取含x2y3的項(xiàng)，即C(2x)2(－y)3；當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號內(nèi)取y時(shí)，第二個(gè)括號內(nèi)要取含x3y2的項(xiàng)，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系數(shù)為C×23－C×22＝10×(8－4)＝40. (3)(1＋x)6展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為1×C＋1×C＝30，故選C． 三　二項(xiàng)式系數(shù)的和與性質(zhì) 賦值法的應(yīng)用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可． (2)對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)． 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝， 偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 【例3】 (1)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝(　B　) A．5　　 B．6　　 C．7　　 D．8 (2)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a1＋a2＋a3＋a4＝__0__. 解析 (1)由題意得：a＝C，b＝C，所以13C＝7C， ∴＝， ∴＝13，解得m＝6，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，選B． (2)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1；令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0. 四　二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 (1)整除問題的解題思路： 利用二項(xiàng)式定理找出某兩個(gè)數(shù)(或式)之間的倍數(shù)關(guān)系，是解決有關(guān)整除問題和余數(shù)問題的基本思路，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開進(jìn)行分析判斷． (2)求近似值的基本方法： 利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時(shí)，(1＋x)n≈1＋nx. 【例4】 (1)設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整數(shù)，則a＝(　D　) A．0　　 B．1　　 C．11　　 D．12 (2)1.028的近似值是__1.172__.(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位) 解析 (1)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a， ∵C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011能被13整除，且512 012＋a能被13整除， ∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值為12. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172. 1．(2018·河南商丘檢測)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是(　D　) A．74　　 B．121　　 C．－74　　 D．－121 解析 展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為 C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121. 2．(2018·安徽安慶二模)將3展開后，常數(shù)項(xiàng)是__－160__. 解析 3＝6展開后的通項(xiàng)是 C()6－k·k＝(－2)k·C()6－2k. 令6－2k＝0，得k＝3.所以常數(shù)項(xiàng)是C(－2)3＝－160. 3．(2018·廣東廣州綜合測試)已知n的展開式的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)，則正整數(shù)n的值為__8__. 解析 二項(xiàng)式n的展開式的通項(xiàng)是 Tr＋1＝C·(2x3)n－r·r＝C·2n－r·(－1)r·x3n－4r， 依題意，有3n－4×6＝0，得n＝8. 4．C＋3C＋5C＋…＋(2n＋1)C＝__(n＋1)·2n__. 解析 設(shè)S＝C＋3C＋5C＋…＋(2n－1)·C＋(2n＋1)C， ∴S＝(2n＋1)C＋(2n－1)C＋…＋3C＋C， ∴2S＝2(n＋1)(C＋C＋C＋…＋C)＝2(n＋1)·2n， ∴S＝(n＋1)·2n. 易錯點(diǎn)　不能靈活使用公式及其變形 錯因分析：選擇的公式不合適，造成解題錯誤． 【例1】 求5展開式中常數(shù)項(xiàng)． 解析 x－3＋－＝＝， ∴原式＝(x－1)15，則常數(shù)項(xiàng)為C(－1)5＝－3 003. 【例2】 求9192被100除所得的余數(shù)． 解析 (90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C，前91項(xiàng)均能被100整數(shù)，剩下兩項(xiàng)和為92×90＋1＝8 281，顯然8 281除以100所得余數(shù)為81. 【跟蹤訓(xùn)練1】 (x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　C　) A．10　　 B．20　　 C．30　　 D．60 解析 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的項(xiàng)為T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系數(shù)為CC＝30. 課時(shí)達(dá)標(biāo)　第56講 [解密考綱]對二項(xiàng)式定理的考查主要涉及利用通項(xiàng)公式求展開式、特定項(xiàng)或參數(shù)值，利用二項(xiàng)式的性質(zhì)求多項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)、各項(xiàng)系數(shù)的和，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)． 一、選擇題 1．二項(xiàng)式10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(　A　) A．180　　 B．90　　 C．45　　 D．360 解析 10的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C·()10－k·k＝2kCx5－k，令5－k＝0，得k＝2，故常數(shù)項(xiàng)為22C＝180. 2．設(shè)n為正整數(shù)，2n展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的一個(gè)可能取值為(　B　) A．16　　 B．10 C．4　　 D．2 解析 2n展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Cx2n－k·k＝C(－1)kx，令＝0，得k＝，依據(jù)選項(xiàng)知n可取10. 3.6的展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為－，則x2dx的值為(　B　) A．3　　 B． C．3或　　 D．3或－ 解析 該二項(xiàng)展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為Ca5，由Ca5＝－，解得a＝－1，因此x2dx＝x2dx＝|＝－＋＝. 4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，則a8＝(　D　) A．－5　　 B．5 C．90　　 D．180 解析 ∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C·22·(－1)8＝180，故選D． 5．若(＋)5展開式的第三項(xiàng)為10，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀為(　D　) 解析 (＋)5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Cxy，則T3＝Cxy＝10，即xy＝1，由題意知x≥0，故D選項(xiàng)的圖象符合． 6．在(2x＋xlg x)8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1 120，則x＝(　C　) A．1　　 B． C．1或　　 D．－1 解析 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，由題意可知T5＝C(2x)4·(xlg x)4＝1 120，∴x4(1＋lg x)＝1，兩邊取對數(shù)可知lg2x＋lg x＝0，得lg x＝0或lg x＝－1，故x＝1或x＝. 二、填空題 7．(2017·浙江卷)已知多項(xiàng)式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝__16__，a5＝__4__. 解析 由題意知a4為展開式含x的項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常數(shù)項(xiàng)，所以a5＝C×13×C×22＝4. 8．(2016·全國卷Ⅰ)(2x＋)5的展開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)是__10__(用數(shù)字填寫答案)． 解析 由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－， 令5－＝3得r＝4，此時(shí)系數(shù)為10. 9．若二項(xiàng)式n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是80，則該展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于__32__. 解析 對于Tr＋1＝C()n－rr＝C2rx－，當(dāng)r＝n時(shí)展開式為常數(shù)項(xiàng)，因此n為5的倍數(shù)，不妨設(shè)n＝5m，則有r＝3m，則23mC＝80，因此m＝1，則該展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于2n＝25＝32. 三、解答題 10．已知在n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)． (1)求n； (2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項(xiàng)． 解析 (1)依題意知n的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C()n－rr＝rCx， 又第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則當(dāng)r＝5時(shí)，＝0，即＝0， 解得n＝10. (2)由(1)得Tr＋1＝rCx，令＝2，解得r＝2， 故含x2的項(xiàng)的系數(shù)為2C＝. (3)若Tr＋1為有理項(xiàng)，則有∈Z，且0≤r≤10，r∈Z， 故r＝2,5,8， 則展開式中的有理項(xiàng)分別為 T3＝C2x2＝x2， T6＝C5＝－， T9＝C8x－2＝x－2. 11．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. (4)∵(1－2x)7展開式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 12．已知 n，求： (1)展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)； (2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 解析 (1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0. ∴n＝7或n＝14， 當(dāng)n＝7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5. ∴T4的系數(shù)為C423＝，T5的系數(shù)為C324＝70， 當(dāng)n＝14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8. ∴T8的系數(shù)為C727＝3 432. (2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0. ∴n＝12或n＝－13(舍去)．設(shè)Tk＋1項(xiàng)的系數(shù)最大， ∵12＝12(1＋4x)12， ∴∴9.4≤k≤10.4，∵k∈N，∴k＝10. ∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11， T11＝C·2·210·x10＝16 896x10. 11