2018高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 第四節(jié) 基本不等式2 基本不等式的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版必修5

基本不等式的應(yīng)用 一、考點突破 知識點 課標要求 題型 說明 基本不等式的應(yīng)用 1. 掌握基本不等式 （a≥0，b≥0）； 2. 能用基本不等式求解簡單的最大（?。┲祮栴}（指只用一次基本不等式，即可解決的問題）； 3. 能用基本不等式求解簡單的最大（小）值問題。 選擇題 填空題 基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重點，也是近幾年高考的熱點。注意應(yīng)用均值不等式，求函數(shù)的最值三個條件缺一不可。 二、重難點提示 重點：對由基本不等式推導(dǎo)出的命題的理解，以及利用此命題求某些函數(shù)的最值。突破重點的關(guān)鍵是對基本不等式的理解。 難點：理解利用基本不等式求最值時的三個條件“一正、二定、三相等”。 考點：利用基本不等式求最值 1. 由兩個重要不等式可推得下面結(jié)論： 已知，，則 ① 如果是定值，那么當且僅當時，取最小值； ② 如果是定值，那么當且僅當時，取最小值。 【要點詮釋】 （1）利用基本不等式求函數(shù)的最值時，強調(diào)三要素：正數(shù)；定值；等號成立的條件。 特別式子中等號不成立時，則不能應(yīng)用重要不等式，而改用函數(shù)的單調(diào)性求最值。 （2）不能僅僅關(guān)注基本不等式的形式構(gòu)造，而應(yīng)注意統(tǒng)一的整體變換。 【核心突破】 利用重要不等式求函數(shù)的最值時，定值條件的構(gòu)造技巧： ①利用均值不等式求函數(shù)的最值應(yīng)滿足三個條件：即“一正、二定、三相等”。 “一正”，是指所求最值的各項都是正值。 “二定”，是指含變量的各項的和或者積必須是常數(shù)。 “三相等”，是指具備不等式中等號成立的條件，使函數(shù)取得最大或最小值。 在具體的題目中，“正數(shù)” 條件往往從題設(shè)條件中獲得解決，“相等”條件也易驗證確定，而要獲得“定值”條件卻常常被設(shè)計為一個難點，它需要一定的靈活性和變形技巧，因此“定值”條件決定著基本不等式應(yīng)用的可行性，這是解題的關(guān)鍵。 ② 常用構(gòu)造定值條件的技巧變換 Ⅰ. 加項變換；Ⅱ. 拆項變換；Ⅲ. 統(tǒng)一換元；Ⅳ. 平移后利用基本不等式。 ③ 利用基本不等式求最值的實質(zhì)是：有界并能達到。 2. 其他形式：（1）若a∈R，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時等號成立； （2）若a>0，b>0，則ab≤，當且僅當a＝b時等號成立； （3）若a>0，b>0，則≤，當且僅當a＝b時等號成立。 3. 恒等變形：為了利用基本不等式，有時對給定的代數(shù)式要進行適當變形，比如： （1）當x>2時，x＋＝（x－2）＋＋2≥2＋2＝4。 （2）當0<x<時，x（8－3x）＝ （3x）（8－3x）≤＝。 【隨堂練習】 已知正數(shù)a、b滿足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范圍是____________。 思路分析：思路一：將b＝代入消元； 思路二：利用基本不等式得關(guān)于ab的不等式。 答案：法一　由ab＝a＋b＋3，得b＝， 由b＞0，得＞0，∵a＞0，∴a＞1， ∴ab＝a·＝ ＝ ＝（a－1）＋＋5≥2＋5＝9， 當且僅當a－1＝，即a＝3時，取等號，此時b＝3， ∴ab的取值范圍是[9，＋∞）。 法二：由于a、b為正數(shù)，∴a＋b≥2， ∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即（）2－2－3≥0， ∴≥3，故ab≥9，當且僅當a＝b＝3時，取等號， ∴ab的取值范圍是[9，＋∞）。 技巧點撥： 1. 本題中，要求ab的取值范圍，在使用已知條件等式的方法上靈活多樣，但最終都歸結(jié)為基本不等式的應(yīng)用。 2. 利用基本不等式，求字母參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是怎樣由等式通過放縮得出不等式。 例題1 （基本不等式的變形應(yīng)用） 求y＝的最大值。 思路分析：由＝2（定值），利用基本不等式的變形：≤，可求。 答案：由，知定義域為x∈[－1,1]， 又＝1－x＋1＋x＝2（定值）， ∴y＝≤＝2， 當且僅當1－x＝1＋x即x＝0時，等號成立。 ∴ymax＝2。 技巧點撥：1. 本例中，由于＝2（定值），因而不宜使用基本不等式，應(yīng)該使用不等式的變式。 2. 對于基本不等式及其變式，在利用這些不等式求最值時，要保證一側(cè)為定值，并保證等號成立，要根據(jù)已知條件和所求，靈活地選取公式。 例題2 （利用基本不等式求函數(shù)的最值） （1）已知x＞2，求y＝x＋的最小值； （2）已知0＜x＜，求y＝x（1－2x）的最大值。 思路分析：（1）將原式變形為y＝x－2＋＋2，再利用基本不等式； （2）將原式變形為y＝·2x（1－2x），再利用基本不等式。 答案：（1）∵x＞2，∴x－2＞0， ∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4， 當且僅當x－2＝ （x＞2），即x＝3時，ymin＝4。 （2）∵0＜x＜，∴1－2x＞0， ∴y＝x（1－2x）＝×2x（1－2x） ≤， 當且僅當2x＝1－2x（0＜x＜）， 即x＝時，ymax＝。 技巧點撥：本例中，對要求最值的函數(shù)式，通過適當?shù)刈冃?，使式子變?yōu)楹蜑槎ㄖ祷蚍e為定值的式子，然后運用基本不等式求最值。 【易錯警示】 多次使用基本不等式時，等號不同時成立致誤 忽視最值取得的條件致誤 例題 已知a、b均為正實數(shù)，且a＋b＝1，求y＝的最小值。 易錯分析：在求最值時兩次使用基本不等式，其中的等號不能同時成立，導(dǎo)致最小值不能取到。 思路分析：（1）求函數(shù)最值問題，可以考慮利用基本不等式，但是利用基本不等式，必須保證“正、定、等”，而且還要符合已知條件。（2）可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性，但要注意變量的取值范圍。 答案：方法一：y＝ 當且僅當a＝b＝時，y＝取最小值，最小值為 方法二：y＝＝ ＝＋ab－2， 令t＝ab≤，即t∈， 又f（t）＝＋t在上是單調(diào)遞減的， ∴當t＝時，f（t）min＝，此時，a＝b＝， ∴當a＝b＝時，y有最小值 技巧點撥：（1）這類題目感到比較容易下手，但是解這類題目卻又常常出錯。（2）利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件：即“一正、二定、三相等”。否則，求解時會出現(xiàn)等號成立、條件不具備而出錯。（3）本題出錯的原因前面已分析，關(guān)鍵是忽略了等號成立的條件。 4