2019高考高考數(shù)學二輪復習 第二部分 第一講 高考?？伎陀^題 微專題3 不等式與線性規(guī)劃學案 理

微專題3　不等式與線性規(guī)劃 命 題 者 說 考 題 統(tǒng) 計 考 情 點 擊 2018·全國卷Ⅰ·T13·線性規(guī)劃求最值 2018·全國卷Ⅱ·T14·線性規(guī)劃求最值 2018·北京高考·T8·線性規(guī)劃區(qū)域問題 2018·浙江高考·T15·不等式的解法 2017·全國卷Ⅰ·T14·線性規(guī)劃求最值 　　1.不等式作為高考命題熱點內容之一，多年來命題較穩(wěn)定，多以選擇、填空題的形式進行考查，題目多出現(xiàn)在第5～9或第13～15題的位置上，難度中等，直接考查時主要是簡單的線性規(guī)劃問題，關于不等式性質的應用、不等式的解法以及基本不等式的應用，主要體現(xiàn)在其工具作用上。 2.若不等式與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列等其他知識交匯綜合命題，難度較大。 考向一 不等式的性質與解法 【例1】　(1)已知a>b>0，則下列不等式中恒成立的是(　　) A．a(chǎn)＋>b＋ B．a(chǎn)＋>b＋ C.> D.>ab (2)已知函數(shù)f (x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f (x)>0的解集是(－1,3)，則不等式f (－2x)<0的解集是(　　) A.∪ B. C.∪ D. 解析　(1)因為a>b>0，所以<，根據(jù)不等式的性質可得a＋>b＋，故A正確；對于B，取a＝1，b＝，則a＋＝1＋＝2，b＋＝＋2＝，故a＋>b＋不成立，故B錯誤；根據(jù)不等式的性質可得<，故C錯誤；取a＝2，b＝1，可知D錯誤。故選A。 (2)由f (x)>0的解集是(－1,3)，所以a<0，且方程f (x)＝(ax－1)(x＋b)＝0的兩根為－1和3，所以所以a＝－1，b＝－3，所以f (x)＝－x2＋2x＋3，所以f (－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－。故選A。 答案　(1)A　(2)A 解不等式的策略 (1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結合相應二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集。 (2)含指數(shù)、對數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性將其轉化為整式不等式求解。 變|式|訓|練 1．(2018·北京高考)能說明“若a>b，則<”為假命題的一組a，b的值依次為________。(答案不唯一) 解析　由題意知，當a＝1，b＝－1時，滿足a>b，但是>，故答案可以為1，－1。(答案不唯一，滿足a>0，b<0即可) 答案　1，－1(答案不唯一) 2．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函數(shù)f (x)＝當λ＝2時，不等式f (x)<0的解集是________。若函數(shù)f (x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是________。 解析　若λ＝2，則當x≥2時，令x－4<0，得2≤x<4；當x<2時，令x2－4x＋3<0，得1<x<2。綜上可知1<x<4，所以不等式f (x)<0的解集為(1,4)。令x－4＝0，解得x＝4；令x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3。因為函數(shù)f (x)恰有2個零點，結合函數(shù)的圖象(圖略)可知1<λ≤3或λ>4。 答案　(1,4)　(1,3]∪(4，＋∞) 考向二 基本不等式及其應用 【例2】　(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________。 (2)已知a>b，且ab＝1，則的最小值是______。 解析　(1)由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，當且僅當23b－6＝，即b＝1時等號成立。 (2)＝＝a－b＋≥2，當且僅當a－b＝時取得等號。 答案　(1)　(2)2 在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號成立)的條件，否則會出現(xiàn)錯誤。 變|式|訓|練 1．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為(　　) A．4 B．16 C．9 D．3 解析　因為a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得，m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立。因為＋≥2＝6，當且僅當a＝b時等號成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值為16。故選B。 答案　B 2．已知函數(shù)f (x)＝ln(x＋)，若正實數(shù)a，b滿足f (2a)＋f (b－1)＝0，則＋的最小值是________。 解析　因為f (x)＝ln(x＋)，f (－x)＝ln(－x＋)，所以f (x)＋f (－x)＝ln[(x＋)·(－x＋)]＝ln1＝0，所以函數(shù)f (x)＝ln(x＋)為R上的奇函數(shù)，又y＝x＋在其定義域上是增函數(shù)，故f (x)＝ln(x＋)在其定義域上是增函數(shù)，因為f (2a)＋f (b－1)＝0，f (2a)＝－f (b－1)，f (2a)＝f (1－b)，所以2a＝1－b，故2a＋b＝1。故＋＝＋＝2＋＋＋1＝＋＋3≥2＋3。(當且僅當＝且2a＋b＝1，即a＝，b＝－1時，等號成立。) 答案　2＋3 考向三 線性規(guī)劃及其應用 微考向1：求線性目標函數(shù)的最值 【例3】　(2018·全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________。 解析　作可行域，則直線z＝x＋y過點A(5,4)時取最大值9。 答案　9 線性目標函數(shù)z＝ax＋by最值的確定方法 (1)將目標函數(shù)z＝ax＋by化成直線的斜截式方程(z看成常數(shù))。 (2)根據(jù)的幾何意義，確定的最值。 (3)得出z的最值。 變|式|訓|練 (2018·天津高考)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為(　　) A．6 B．19 C．21 D．45 解析　不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，平移該直線，當經(jīng)過點C時，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21。故選C。 答案　C 微考向2：線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 【例4】　(2018·山西八校聯(lián)考)若實數(shù)x，y滿足不等式組且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值為5，則a＝________。 解析　設z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－x＋，作出直線y＝－x，平移該直線，易知當直線過點A(1,3)時，z取得最大值，又目標函數(shù)的最大值為5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2。 答案　2 解決這類問題時，首先要注意對參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值。 變|式|訓|練 已知x，y滿足約束條件目標函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，則實數(shù)a＝(　　) A． B．1 C． D．4 解析　作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，因為目標函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，由圖象知z＝2x－3y經(jīng)過平面區(qū)域的點A時目標函數(shù)取得最大值2。由解得A(4,2)，同時A(4,2)也在直線ax＋y－4＝0上，所以4a＝2，則a＝。故選A。 答案　A 1．(考向一)(2018·福建聯(lián)考)已知函數(shù)f (x)＝ 若f (2－x2)>f (x)，則實數(shù)x的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－1,2) D．(－2,1) 解析　易知f (x)在R上是增函數(shù)，因為f (2－x2)>f (x)，所以2－x2>x，解得－2<x<1，則實數(shù)x的取值范圍是(－2,1)。故選D。 答案　D 2．(考向一)(2018·南昌聯(lián)考)若a>1,0<c<b<1，則下列不等式不正確的是(　　) A．loga2 018>logb2 018 B．logba<logca C．(c－b)ca>(c－b)ba D．(a－c)ac>(a－c)ab 解析　因為a>1,0<c<b<1，所以loga2 018>0，logb2 018<0，所以loga2 018>logb2 018，所以A正確；因為0>logab>logac，所以<，所以logba<logca，所以B正確；因為ca<ba，c－b<0，所以(c－b)ca>(c－b)ba，所以C正確；因為ac<ab，a－c>0，所以(a－c)ac<(a－c)ab，所以D錯誤。故選D。 答案　D 3．(考向二)(2018·河南聯(lián)考)已知直線ax－2by＝2(a>0，b>0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，則＋的最小值為________。 解析　圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心坐標為(2，－1)。由于直線ax－2by＝2(a>0，b>0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，故有a＋b＝1。所以＋＝(a＋2＋b＋1)＝≥＋×2＝，當且僅當a＝2b＝時，取等號，故＋的最小值為。 答案　 4．(考向三)(2018·南昌聯(lián)考)設不等式組表示的平面區(qū)域為M，若直線y＝kx經(jīng)過區(qū)域M內的點，則實數(shù)k的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，易知當直線y＝kx經(jīng)過點A(2,1)時，k取得最小值，當直線y＝kx經(jīng)過點C(1,2)時，k取得最大值2，可得實數(shù)k的取值范圍為。故選C。 答案　C 5．(考向三)(2018·廣州測試)若x，y滿足約束條件 則z＝x2＋2x＋y2的最小值為(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　畫出約束條件對應的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其幾何意義是平面區(qū)域內的點(x，y)到定點(－1,0)的距離的平方再減去1，觀察圖形可得，平面區(qū)域內的點到定點(－1，0)的距離的最小值為，故z＝x2＋2x＋y2的最小值為zmin＝－1＝－。故選D。 答案　D 8