2022年高中數(shù)學(xué) 2-3-2拋物線的幾何性質(zhì)同步練習(xí) 新人教B版選修1-1

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 2-3-2拋物線的幾何性質(zhì)同步練習(xí) 新人教B版選修1-1 一、選擇題 1．P(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p≠0)上任一點(diǎn)，則P到焦點(diǎn)的距離是(　　) A．|x0－| B．|x0＋| C．|x0－p| D．|x0＋p| [答案]　B [解析]　利用P到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，當(dāng)p>0時(shí)，p到準(zhǔn)線的距離為d＝x0＋；當(dāng)p<0時(shí)，p到準(zhǔn)線的距離為d＝－－x0＝|＋x0|. 2．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－7，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．x2＝－28y　　　　　　　 B．y2＝28x C．y2＝－28x D．x2＝28y [

2、答案]　B [解析]　由題意，知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2px(p>0)，又準(zhǔn)線方程為x＝－7，∴p＝14. 3．拋物線y2＝－4px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，則p表示(　　) A．F到l的距離 B．F到y(tǒng)軸的距離 C．F點(diǎn)的橫坐標(biāo) D．F到l的距離的 [答案]　B [解析]　設(shè)y2＝－2p′x(p′>0)，p′表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，又2p′＝4p，p＝，故p表示焦點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離． 4．(xx·陜西文，9)已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為(　　) A. B．1　　　 C．2　　　 D．4 [答

3、案]　C [解析]　本題考查拋物線的準(zhǔn)線方程，直線與圓的位置關(guān)系． 拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x＝－，由題意知，3＋＝4，p＝2. 5．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A．[－，] B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] [答案]　C [解析]　由題意可知，y2＝8x的準(zhǔn)線為x＝－2，所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,0)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)(斜率顯然存在)，聯(lián)立得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，所以k＝0時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)為(0,0)時(shí)，k≠0，

4、Δ＝[4(k2－2)]2－4×(4k2)×k2≥0?－1≤k≤1，且k≠0，綜上可知－1≤k≤1，應(yīng)選C. 6．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在y軸上，又拋物線上的點(diǎn)(k，－2)與F點(diǎn)的距離為4，則k的值是(　　) A．4 B．4或－4 C．－2 D．2或－2 [答案]　B [解析]　由題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＝－2py， 由題意得，＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y. 又點(diǎn)(k，－2)在拋物線上，∴k2＝16，k＝±4. 7．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)(－5，2)到焦點(diǎn)的距離是6，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝－2x B．y

5、2＝－4x C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x [答案]　B [解析]　由題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： y2＝－2px(p>0)， 由題意，得＋5＝6，∴p＝2， ∴拋物線方程為y2＝－4x. 8．直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A、B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k＝(　　) A．2或－2 B．－1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]　由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0， 則＝4，即k＝2. 9．與y軸相切并和圓x2＋y2－10x＝0外切的動(dòng)圓圓心的軌跡為(　　) A．圓 B．拋物線和一條射線 C．橢圓 D

6、．拋物線 [答案]　B [解析]　如圖， 設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為(x，y)，由題意得 y＝0(x<0)或y2＝20x(x≠0)． 10．已知P為拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，對(duì)于定點(diǎn)A(4,5)，則|PA|＋d的最小值為(　　) A．4 B. C.－1 D.－1 [答案]　D [解析]　因?yàn)锳在拋物線的外部，所以，當(dāng)點(diǎn)P、A、F共線時(shí)，|PA|＋|PF|最小，此時(shí)|PA|＋d也最小，|PA|＋d＝|PA|＋(|PF|－1)＝|AF|－1＝－1＝－1. 二、填空題 11．拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)到準(zhǔn)線和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸距離分別為10和6，則

7、該點(diǎn)的橫坐標(biāo)是________． [答案]　1或9 [解析]　設(shè)拋物線上一點(diǎn)M坐標(biāo)為(x0，y0) 由題意，得y0＝6，x0＋＝10， 又y＝2px0，解得x0＝1或9. 12．拋物線y2＝16x上到頂點(diǎn)和焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． [答案]　(2，±4) [解析]　設(shè)拋物線y2＝16x上的點(diǎn)P(x，y) 由題意，得(x＋4)2＝x2＋y2＝x2＋16x， ∴x＝2，∴y＝±4. 13．拋物線y2＝4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長(zhǎng)為4，則焦點(diǎn)到AB的距離為_(kāi)_______． [答案]　2 [解析]　由題意，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,2)，則x＝3， 又焦點(diǎn)F

8、(1,0)，∴焦點(diǎn)到AB的距離為2. 14．已知F為拋物線y2＝2ax(a>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下四個(gè)命題： (1)△FOP為正三角形． (2)△FOP為等腰直角三角形． (3)△FOP為直角三角形． (4)△FOP為等腰三角形． 其中一定不正確的命題序號(hào)是________． [答案]　(1)(2) [解析]　∵拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小時(shí)，恰好為拋物線頂點(diǎn)，∴(1)錯(cuò)誤． 若△FOP為等腰直角三角形，則點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)相等，這顯然不可能，故(2)錯(cuò)誤． 三、解答題 15．根據(jù)下列條件寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)焦點(diǎn)是F(3,0)． (

9、2)準(zhǔn)線方程是x＝－. (3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2. [解析]　(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，又焦點(diǎn)F(3,0)，∴p＝6， ∴拋物線方程為y2＝12x. (2)由題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)， 又準(zhǔn)線方程為x＝－，∴p＝， ∴拋物線方程為y2＝x. (3)∵焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2， ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝±4x或x2＝±4y. 16．已知拋物線y2＝4x，直線l過(guò)定點(diǎn)P(－2,1)，斜率為k，k為何值時(shí)，直線l與拋物線滿足下列條件： ①只有一個(gè)公共點(diǎn)； ②有兩個(gè)公共點(diǎn)； ③沒(méi)有公共點(diǎn)． [解析]　由題意得直線l的方程為y－1

10、＝k(x＋2)， 由消去x得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①， 當(dāng)k＝0時(shí)，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝，此時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)(，1)． 當(dāng)k≠0時(shí)，方程①的判別式為Δ＝－16(2k2＋k－1)． ①當(dāng)Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，此時(shí)方程①只有一解，方程組只有一個(gè)解，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)． ②當(dāng)Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－10，解得k>或k<－1， 此時(shí)，直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)． 綜上所述可知當(dāng)k＝0或k＝－1

11、或k＝時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)－1時(shí)，直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)． 17．已知拋物線y2＝4x，直線x－y＋3＝0，求拋物線上的點(diǎn)到直線的最小距離． [解析]　設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則y＝4x0，所以x0＝，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，y0)，所以P到直線x－y＋3＝0的距離d＝＝＝，所以y0＝2時(shí)，dmin＝＝，即拋物線上的點(diǎn)到直線的最小距離為. 18．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點(diǎn)． (1)求證OA⊥OB； (2)當(dāng)△AOB的面積等于時(shí)， 求k的值． [解析]　(1)證明：如圖所示，由方程組消去x得ky2＋y－k＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根與系數(shù)的關(guān)系知y1y2＝－1.因?yàn)锳，B在拋物線y2＝－x上，所以y＝－x1，y＝－x2，yy＝x1x2，因?yàn)閗OA·kOB＝·＝＝＝－1，所以O(shè)A⊥OB. (2)解：設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)N，顯然k≠0，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－1,0)，因?yàn)镾△OAB＝S△OAN＋S△OBN ＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，所以S△OAB＝·1·＝，因?yàn)镾△OAB＝，所以＝，解得k＝±.