2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例學(xué)案 新人教A版選修4-5

二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 　1.掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的常用方法與技巧．　2.理解貝努利不等式． 3．能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列、三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行不等式的證明． ,　　　　　　　　[學(xué)生用書P57]) 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明不等式 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的不等式的步驟 ①證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 由①②可知命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn)在第二步(同時(shí)也是難點(diǎn)所在)，即假設(shè)f(k)>g(k)成立，證明f(k＋1)>g(k＋1)成立． 2．貝努利不等式 (1)定義：如果x是實(shí)數(shù)，且x>－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1＋x)n>1＋nx． (2)貝努利不等式的一般形式 ①當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足α>1或α<0時(shí)，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)； ②當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足0<α<1時(shí)，有(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)． 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”，第一步的驗(yàn)證為21＋1≥12＋1＋2.(　　) (2)設(shè)x>－1，且x≠0，n為大于1的自然數(shù)，則(1＋x)n<1＋nx.(　　) (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“＋＋＋…＋>”，當(dāng)n＝1時(shí)，不等式左邊的項(xiàng)為＋＋.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)不等式左邊應(yīng)(　　) A．增加了一項(xiàng) B．增加了兩項(xiàng)＋ C．增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng) D．以上各種情況均不對(duì) 答案：C 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)時(shí)第一步需要證明(　　) A．1<2－ B．1＋<2－ C．1＋＋<2－ D．1＋＋＋<2－ 答案：C 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)”時(shí)，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是________． 解析：左邊的特點(diǎn)：分母逐項(xiàng)增加1，末項(xiàng)為； 由n＝k，末項(xiàng)為到n＝k＋1，末項(xiàng)為＝， 所以應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k. 答案：2k 　用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)函數(shù)中的不等關(guān)系[學(xué)生用書P58] 　已知f(x)＝.對(duì)于n∈N＋，試比較f()與的大小并說明理由． 【解】　據(jù)題意f(x)＝ ＝＝1－， 所以f()＝1－， 又＝1－， 所以要比較f()與的大小，只需比較2n與n2的大小即可， 當(dāng)n＝1時(shí)，21＝2>12＝1， 當(dāng)n＝2時(shí)，22＝4＝22， 當(dāng)n＝3時(shí)，23＝8<32＝9， 當(dāng)n＝4時(shí)，24＝16＝42， 當(dāng)n＝5時(shí)，25＝32>52＝25， 當(dāng)n＝6時(shí)，26＝64>62＝36. 故猜測(cè)當(dāng)n≥5(n∈N＋)時(shí)， 2n>n2，下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． (1)當(dāng)n＝5時(shí)，命題顯然成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥5，且k∈N＋)時(shí)，不等式成立． 即2k>k2(k≥5)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 2k＋1＝2·2k>2·k2 ＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1 ＝(k＋1)2＋(k－1)2－2>(k＋1)2，((k－1)2>2) 由(1)(2)可知，對(duì)一切n≥5，n∈N＋，2n>n2成立． 綜上所述，當(dāng)n＝1或n≥5時(shí)， f()>； 當(dāng)n＝2或4時(shí)，f()＝； 當(dāng)n＝3時(shí)，f()<. 利用數(shù)學(xué)歸納法解決比較大小問題的方法 利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小，關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系，猜測(cè)出證明的方向，再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立．　 　已知函數(shù)f(x)＝x3－x，數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說明理由． 解：＋＋＋…＋<1. 理由如下： 因?yàn)閒′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)， 所以an＋1≥(an＋1)2－1. 因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1， 進(jìn)而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥21－1＝1，猜想成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)猜想成立， 即ak≥2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞增知， ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1， 即n＝k＋1時(shí)，猜想也成立． 由①，②知，對(duì)任意n∈N*，都有an≥2n－1， 即1＋an≥2n. 所以≤. 所以＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－<1. 　用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式[學(xué)生用書P59] 　已知{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＝3，前n項(xiàng)和為Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20項(xiàng)和T20＝330.數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Wn，且b1＝2，q3＝a9. (1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式； (2)證明：(3n＋1)Wn≥nWn＋1(n∈N＋)． 【解】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因?yàn)閏n＝(－1)nSn， 所以T20＝－S1＋S2－S3＋S4－…＋S20＝330. 則a2＋a4＋a6＋…＋a20＝330. 則10(3＋d)＋×2d＝330， 解得d＝3， 所以an＝3＋3(n－1)＝3n， 所以q3＝a9＝27，q＝3， 所以bn＝2×3n－1. (2)證明：由(1)知，Wn＝＝3n－1， 要證(3n＋1)Wn≥nWn＋1， 只需證(3n＋1)(3n－1)≥n(3n＋1－1)， 即證3n≥2n＋1. 當(dāng)n＝1時(shí)，3n＝2n＋1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時(shí)，3n>2n＋1. ①當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝9，右邊＝5，左邊>右邊，不等式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)，3k>2k＋1， 則n＝k＋1時(shí)， 3k＋1＝3×3k>3(2k＋1)＝6k＋3>2(k＋1)＋1， 所以n＝k＋1時(shí)不等式成立． 根據(jù)①②可知：當(dāng)n≥2時(shí)，3n>2n＋1. 綜上可知，3n≥2n＋1對(duì)于n∈N*成立， 所以(3n＋1)Wn≥nWn＋1(n∈N*)． 利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由n＝k到n＝k＋1的變形．為了滿足題目的要求，常常要采用“放”與“縮”等手段，但是放縮要有度，這是一個(gè)難點(diǎn)，解決這個(gè)難點(diǎn)一是要仔細(xì)觀察題目結(jié)構(gòu)，二是要用分析法找到放縮的結(jié)果，才能順利地證題．　 　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)． (1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論； (2)證明S＋S＋…＋S≤－(n≥1且n∈N＋)． 解：(1)是等差數(shù)列，證明如下： S1＝a1＝，所以＝2. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1， 即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1. 所以－＝2. 故是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． (2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，S＝＝－， 不等式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，不等式成立， 即S＋S＋…＋S≤－成立， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， S＋S＋…＋S＋S≤－＋ ＝－ ＝－· <－·＝－. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 由①，②可知對(duì)任意n∈N＋不等式都成立． 1．關(guān)于用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四點(diǎn)注意 (1)在從n＝k到n＝k＋1的過程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端(一般是左端)項(xiàng)數(shù)的變化，也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征． (2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n＝k＋1時(shí)的遞推目標(biāo)，從中分離出n＝k時(shí)的相應(yīng)式子，借助不等式性質(zhì)用上歸納假設(shè)． (3)明確用上歸納假設(shè)后要證明的不等式應(yīng)是怎樣的，然后通過運(yùn)用放縮法、分析法、比較法、綜合法等方法進(jìn)行證明． (4)有些不等式先用分析法轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較為簡(jiǎn)單的不等式然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明． 2．關(guān)于貝努利不等式 (1)(1＋x)n>1＋nx成立的兩個(gè)條件：①n∈N＋且n≥2；②x的取值范圍是x>－1且x≠0. 于是有命題：當(dāng)n∈N＋且n≥2時(shí)不等式(1＋x)n>1＋nx對(duì)一切x∈(－1，0)∪(0，＋∞)恒成立． (2)常用特例：①當(dāng)x>－1且x≠0時(shí)，(1＋x)2>1＋2x； ②當(dāng)x>－1且x≠0時(shí)，(1＋x)3>1＋3x. 【規(guī)范解答】　歸納——猜想——證明 　(本題滿分12分)設(shè)f(n)＝nn＋1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N＋. (1)當(dāng)n＝1，2，3，4時(shí)，比較f(n)與g(n)的大??； (2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性結(jié)論，并加以證明． 【解】　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，nn＋1＝1，(n＋1)n＝2，此時(shí)，nn＋1<(n＋1)n， 當(dāng)n＝2時(shí)，nn＋1＝8，(n＋1)n＝9，此時(shí)，nn＋1<(n＋1)n， 當(dāng)n＝3時(shí)，nn＋1＝81，(n＋1)n＝64，此時(shí)，nn＋1>(n＋1)n， 當(dāng)n＝4時(shí)，nn＋1＝1 024，(n＋1)n＝625，此時(shí)，nn＋1>(n＋1)n.(2分) (2)根據(jù)上述結(jié)論，我們猜想：當(dāng)n≥3時(shí)，nn＋1>(n＋1)n(n∈N*)恒成立．(4分) 證明如下： ①當(dāng)n＝3時(shí)，nn＋1＝34＝81>(n＋1)n＝43＝64， 即nn＋1>(n＋1)n成立．(5分) ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N＋)時(shí)，kk＋1>(k＋1)k成立，即>1，(6分) 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝(k＋1)·>(k＋1)·＝>1，(10分) 即(k＋1)k＋2>(k＋2)k＋1成立，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立，(11分) 所以當(dāng)n≥3時(shí)，nn＋1>(n＋1)n(n∈N＋)恒成立．(12分) 歸納—猜想—證明的思想方法 數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法中．一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，形成“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思想方法． 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N)． 證明：①當(dāng)n＝2時(shí)，1＋＝<2－＝，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N＋)時(shí)不等式成立， 即1＋＋＋…＋<2－， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 1＋＋＋…＋＋ <2－＋<2－＋ ＝2－＋－ ＝2－，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由①②知原不等式在n≥2且n∈N時(shí)均成立． 2．已知m，n為正整數(shù)，對(duì)于n≥6，已知<，利用貝努利不等式求證：<，m＝1，2，…，n. 證明：當(dāng)n≥6，m≤n時(shí)，由貝努利不等式得≥1－>0， 于是≤＝<，m＝1，2，…，n. 9