2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例  1.掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的常用方法與技巧. 2.理解貝努利不等式. 3.能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列、三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行不等式的證明. ,        [學(xué)生用書P57]) 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明不等式 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的不等式的步驟 ①證明:當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,且k≥n0)時(shí)結(jié)論成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立. 由①②可知命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn)在第二步(同時(shí)也是難點(diǎn)所在),即假設(shè)f(k

2、)>g(k)成立,證明f(k+1)>g(k+1)成立. 2.貝努利不等式 (1)定義:如果x是實(shí)數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1+x)n>1+nx. (2)貝努利不等式的一般形式 ①當(dāng)α是實(shí)數(shù),并且滿足α>1或α<0時(shí),有(1+x)α≥1+αx(x>-1); ②當(dāng)α是實(shí)數(shù),并且滿足0<α<1時(shí),有(1+x)α≤1+αx(x>-1). 1.判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”,第一步的驗(yàn)證為21+1≥12+1+2.(  ) (2)設(shè)x>-1,且x≠0,n為大于1的自然數(shù),則(1+x)n<1+

3、nx.(  ) (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“+++…+>”,當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊的項(xiàng)為++.(  ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+>的過程中,由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊應(yīng)(  ) A.增加了一項(xiàng) B.增加了兩項(xiàng)+ C.增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng) D.以上各種情況均不對(duì) 答案:C 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+++…+<2-(n≥2,n∈N+)時(shí)第一步需要證明(  ) A.1<2- B.1+<2- C.1++<2- D.1+++<2- 答案:C 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+++…+1)”時(shí),由n=

4、k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是________. 解析:左邊的特點(diǎn):分母逐項(xiàng)增加1,末項(xiàng)為; 由n=k,末項(xiàng)為到n=k+1,末項(xiàng)為=, 所以應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k. 答案:2k  用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)函數(shù)中的不等關(guān)系[學(xué)生用書P58]  已知f(x)=.對(duì)于n∈N+,試比較f()與的大小并說明理由. 【解】 據(jù)題意f(x)= ==1-, 所以f()=1-, 又=1-, 所以要比較f()與的大小,只需比較2n與n2的大小即可, 當(dāng)n=1時(shí),21=2>12=1, 當(dāng)n=2時(shí),22=4=22, 當(dāng)n=3時(shí),23=8<32=9, 當(dāng)n=4時(shí),

5、24=16=42, 當(dāng)n=5時(shí),25=32>52=25, 當(dāng)n=6時(shí),26=64>62=36. 故猜測(cè)當(dāng)n≥5(n∈N+)時(shí), 2n>n2,下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明. (1)當(dāng)n=5時(shí),命題顯然成立. (2)假設(shè)n=k(k≥5,且k∈N+)時(shí),不等式成立. 即2k>k2(k≥5),則當(dāng)n=k+1時(shí), 2k+1=2·2k>2·k2 =k2+k2+2k+1-2k-1 =(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2,((k-1)2>2) 由(1)(2)可知,對(duì)一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立. 綜上所述,當(dāng)n=1或n≥5時(shí), f()>; 當(dāng)n=2或4時(shí),f()=;

6、當(dāng)n=3時(shí),f()<. 利用數(shù)學(xué)歸納法解決比較大小問題的方法 利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小,關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系,猜測(cè)出證明的方向,再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.   已知函數(shù)f(x)=x3-x,數(shù)列{an}滿足條件:a1≥1,an+1≥f′(an+1).試比較+++…+與1的大小,并說明理由. 解:+++…+<1. 理由如下: 因?yàn)閒′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1), 所以an+1≥(an+1)2-1. 因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào)遞增, 所以由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,

7、 進(jìn)而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1, 由此猜想:an≥2n-1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想: ①當(dāng)n=1時(shí),a1≥21-1=1,猜想成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)猜想成立, 即ak≥2k-1,則當(dāng)n=k+1時(shí), 由g(x)=(x+1)2-1在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào)遞增知, ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1, 即n=k+1時(shí),猜想也成立. 由①,②知,對(duì)任意n∈N*,都有an≥2n-1, 即1+an≥2n. 所以≤. 所以+++…+≤+++…+=1-<1.  用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式[學(xué)生用書P59]  已

8、知{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,令cn=(-1)nSn(n∈N*),{cn}的前20項(xiàng)和T20=330.數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列,前n項(xiàng)和為Wn,且b1=2,q3=a9. (1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式; (2)證明:(3n+1)Wn≥nWn+1(n∈N+). 【解】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因?yàn)閏n=(-1)nSn, 所以T20=-S1+S2-S3+S4-…+S20=330. 則a2+a4+a6+…+a20=330. 則10(3+d)+×2d=330, 解得d=3, 所以an=3+3(n-1)=3n, 所以q3=a9=2

9、7,q=3, 所以bn=2×3n-1. (2)證明:由(1)知,Wn==3n-1, 要證(3n+1)Wn≥nWn+1, 只需證(3n+1)(3n-1)≥n(3n+1-1), 即證3n≥2n+1. 當(dāng)n=1時(shí),3n=2n+1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2時(shí),3n>2n+1. ①當(dāng)n=2時(shí),左邊=9,右邊=5,左邊>右邊,不等式成立. ②假設(shè)n=k(k≥2,k∈N+)時(shí),3k>2k+1, 則n=k+1時(shí), 3k+1=3×3k>3(2k+1)=6k+3>2(k+1)+1, 所以n=k+1時(shí)不等式成立. 根據(jù)①②可知:當(dāng)n≥2時(shí),3n>2n+1. 綜上可知,3n≥2n+

10、1對(duì)于n∈N*成立, 所以(3n+1)Wn≥nWn+1(n∈N*). 利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由n=k到n=k+1的變形.為了滿足題目的要求,常常要采用“放”與“縮”等手段,但是放縮要有度,這是一個(gè)難點(diǎn),解決這個(gè)難點(diǎn)一是要仔細(xì)觀察題目結(jié)構(gòu),二是要用分析法找到放縮的結(jié)果,才能順利地證題.   已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=,an+2SnSn-1=0(n≥2). (1)判斷是否為等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論; (2)證明S+S+…+S≤-(n≥1且n∈N+). 解:(1)是等差數(shù)列,證明如下: S1=a1=,所以=2. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-

11、1, 即Sn-Sn-1=-2SnSn-1. 所以-=2. 故是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列. (2)證明:①當(dāng)n=1時(shí),S==-, 不等式成立. ②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),不等式成立, 即S+S+…+S≤-成立, 則當(dāng)n=k+1時(shí), S+S+…+S+S≤-+ =- =-· <-·=-. 即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立. 由①,②可知對(duì)任意n∈N+不等式都成立. 1.關(guān)于用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四點(diǎn)注意 (1)在從n=k到n=k+1的過程中,應(yīng)分析清楚不等式兩端(一般是左端)項(xiàng)數(shù)的變化,也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征. (2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的

12、遞推目標(biāo),從中分離出n=k時(shí)的相應(yīng)式子,借助不等式性質(zhì)用上歸納假設(shè). (3)明確用上歸納假設(shè)后要證明的不等式應(yīng)是怎樣的,然后通過運(yùn)用放縮法、分析法、比較法、綜合法等方法進(jìn)行證明. (4)有些不等式先用分析法轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較為簡(jiǎn)單的不等式然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明. 2.關(guān)于貝努利不等式 (1)(1+x)n>1+nx成立的兩個(gè)條件:①n∈N+且n≥2;②x的取值范圍是x>-1且x≠0. 于是有命題:當(dāng)n∈N+且n≥2時(shí)不等式(1+x)n>1+nx對(duì)一切x∈(-1,0)∪(0,+∞)恒成立. (2)常用特例:①當(dāng)x>-1且x≠0時(shí),(1+x)2>1+2x; ②當(dāng)x>-1且x≠0時(shí),(1+x

13、)3>1+3x. 【規(guī)范解答】 歸納——猜想——證明  (本題滿分12分)設(shè)f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N+. (1)當(dāng)n=1,2,3,4時(shí),比較f(n)與g(n)的大小; (2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性結(jié)論,并加以證明. 【解】 (1)當(dāng)n=1時(shí),nn+1=1,(n+1)n=2,此時(shí),nn+1<(n+1)n, 當(dāng)n=2時(shí),nn+1=8,(n+1)n=9,此時(shí),nn+1<(n+1)n, 當(dāng)n=3時(shí),nn+1=81,(n+1)n=64,此時(shí),nn+1>(n+1)n, 當(dāng)n=4時(shí),nn+1=1 024,(n+1)n=625,此時(shí),nn+1>(n+1)n.(

14、2分) (2)根據(jù)上述結(jié)論,我們猜想:當(dāng)n≥3時(shí),nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.(4分) 證明如下: ①當(dāng)n=3時(shí),nn+1=34=81>(n+1)n=43=64, 即nn+1>(n+1)n成立.(5分) ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3,k∈N+)時(shí),kk+1>(k+1)k成立,即>1,(6分) 則當(dāng)n=k+1時(shí),=(k+1)·>(k+1)·=>1,(10分) 即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立,(11分) 所以當(dāng)n≥3時(shí),nn+1>(n+1)n(n∈N+)恒成立.(12分) 歸納—猜想—證明的思想方法 數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證

15、明方法,常常體現(xiàn)在“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法中.一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論;更重要的是,要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性,形成“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思想方法. 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明: 1+++…+<2-(n≥2,n∈N). 證明:①當(dāng)n=2時(shí),1+=<2-=,不等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,且k∈N+)時(shí)不等式成立, 即1+++…+<2-, 當(dāng)n=k+1時(shí), 1+++…++ <2-+<2-+ =2-+- =2-,即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立. 由①②知原不等式在n≥2且n∈N時(shí)均成立. 2.已知m,n為正整數(shù),對(duì)于n≥6,已知<,利用貝努利不等式求證:<,m=1,2,…,n. 證明:當(dāng)n≥6,m≤n時(shí),由貝努利不等式得≥1->0, 于是≤=<,m=1,2,…,n. 9

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