2022年高三數學第一次診斷性考試試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數學第一次診斷性考試試題 文（含解析）新人教A版 第I卷（共50分） 【試卷綜析】試題在重視基礎，突出能力，體現課改，著眼穩(wěn)定，實現了新課標高考數學試題與老高考試題的嘗試性對接. 縱觀新課標高考數學試題，體現數學本質，凸顯數學思想，強化思維量，控制運算量，突出綜合性，破除了試卷的八股模式，以全新的面貌來詮釋新課改的理念，試題圖文并茂，文字闡述清晰，圖形設計簡明，無論是在試卷的結構安排方面，還是試題背景的設計方面，都進行了大膽的改革和有益的探索，應當說是一份很有特色的試題. 一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

2、題目要求的. 【題文】1.已知集合 A. B. C. D. 【知識點】一元二次不等式的解法；集合運算. A1 E3 【答案解析】D 解析：，所以,故選D. 【思路點撥】化簡集合N，求得. 【題文】2.已知i是虛數單位，若復數是純虛數，則實數等于 A.2 B. C. D. 【知識點】復數的基本概念與運算. L4 【答案解析】A 解析：由=是純虛數得：， 解得a=2，故選A. 【思路點撥】化簡已知復數，利用復數是純虛數的條件求得a值. 【題文】3.“”是“函數在區(qū)間上為減函數”的 A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必

3、要條件 D.既不充分又不必要條件 【知識點】函數的單調性. B3 【答案解析】B 解析：函數在區(qū)間上為減函數的充要條件是： ，即.又是的真子集，所以“”是“函數在區(qū)間上為減函數”的充分不必要條件，故選B. 【思路點撥】根據集合關系，若A是B的真子集，則A是B的充分不必要條件. 【題文】4.已知函數，則實數的值等于 A.1 B.2 C.3 D.4 【知識點】函數值的意義. B1 【答案解析】B 解析：因為，所以為: ,即a=1.故選B. 【思路點撥】由函數值的意義得關于a的方程即可. 【題文】5.已知兩個不同的平面和兩個不重合的直線m、n，有下列四個命

4、題： ①若； ②若； ③若； ④若. 其中正確命題的個數是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【知識點】空間中的平行關系；空間中的垂直關系. G4 G5 【答案解析】D 解析：根據線面垂直的定義、平行線的性質、線面垂直的判定得①正確； 由線面垂直的性質、面面平行的判定定理得②正確；因為。所以， 又因為，所以，故③正確；若，則m與n可能平行，也可能異面，故④不正確，所以選D. 【思路點撥】根據空間線、面平行于垂直的判定與性質，一一判斷每個命題的正誤. 【題文】6.若實數滿足條件，則的最大值是 A.8 B.7 C.4 D.2 【知識點】

5、簡單的線性規(guī)劃問題. E5 【答案解析】B解析：設，畫出可行域，平移目標函數z=0時的直線y=-2x，得使目標函數取得最大值的最優(yōu)解是直線x-y=2與直線x+y=4的交點坐標（3，1）,所以的最大值是，故選B. 【思路點撥】畫出可行域，平移直線y=-2x，得使取得最大值的最優(yōu)解是直線x-y=2與直線x+y=4的交點坐標（3，1）,所以的最大值是7. 【題文】7.一個三棱錐的側棱長都相等，底面是正三角形，其正（主）視圖如右圖所示.該三棱錐側面積和體積分別是 A. B. C. D. 【知識點】空間幾何體的三視圖；空間幾何體的結構. G1 G2 【答案解析】A解析：根據

6、題意知，此幾何體是底面邊長2， 高為2 的正三棱錐，則底面正三角形的高為，從而斜高為，所以該三棱錐側面積為，體積為，故選A. 【思路點撥】由三視圖可得該幾何體的結構是底面邊長2，高為2 的正三棱錐，則底面正三角形的高為，從而斜高為，由此求得該三棱錐側面積和體積. 【題文】8.若函數的大致圖像如右圖， 其中為常數，則函數的大致圖像是 【知識點】函數圖像的應用. B8 【答案解析】B解析：由函數的大致圖像可得：所以是減函數，的圖像由圖像向上平移b個單位得到，所以函數的大致圖像是B，故選B. 【思路點撥】由已知函數圖像得，所以是減函數，的

7、圖像由圖像向上平移b個單位得到，所以函數的大致圖像是B. 【題文】9.已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是 A. B. C. D. 【知識點】雙曲線的幾何性質. H6 【答案解析】A解析：此直線從與第二、四象限漸近線平行開始，繞焦點逆時針旋轉到與第一、三象限漸近線平行為止，這個過程中直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，所以此直線的斜率的取值范圍是，故選A. 【思路點撥】首先分析出，過點F與雙曲線的右支有且只有一個交點的直線位置的圖形表現，然后求出其斜率的取值范圍. 【題文】10.設向量，定義一種運算“”。向量

8、.已知，點的圖象上運動，點Q在的圖象上運動且滿足（其中O為坐標原點），則的最小值為 A. B. C.2 D. 【知識點】平面向量的坐標運算. F2 【答案解析】B解析：根據題意得： =，設Q(X,Y),則（x是參數） 所以,即，所以的最小值為：-2， 故選B. 【思路點撥】由題設得，設Q(X,Y),則（x是參數），所以,即，所以的最小值為：-2. 第II卷（非選擇題 共100分） 二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分.將答案填在題中橫線上. 【題文】11.某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值等于_________. 【知識點】算法與程序框圖

9、. L1 【答案解析】解析：由程序框圖得循環(huán)過程中S,k的值依次為：（1）（2） （3） （4），此時滿足 ，所以輸出 = . 【思路點撥】由框圖得循環(huán)過程中S,k依次取的值，從而得到該程序運行后輸出的值. 【題文】12.函數的圖像，其部分圖象如圖所示，則_______. 【知識點】的圖像與性質. C4 【答案解析】解析：由圖像得周期T=， 從而，所以，又是函數增區(qū)間上的零點，所以，所以， 所以. 【思路點撥】根據圖像確定函數的周期、初相，從而得到函數解析式，進而求得的值. 【題文】13.已知圓C過點，且圓心在軸的負半軸上，直線被該圓所截得的弦

10、長為，則圓C的標準方程為________________.］ 【知識點】直線與圓；圓的標準方程. H3 H4 【答案解析】解析：設圓心C（a,0），則C到直線y=x+1的距離d=， 圓半徑，由勾股定理得，解得a=1(舍去)或a=-3，所以圓心C(-3，0),半徑2，所以圓C的標準方程為. 【思路點撥】根據題設條件及垂徑定理，求得圓心坐標及半徑從而寫出圓的標準方程. 【題文】14.下面給出的四個命題中： ①以拋物線的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為； ②若，則直線與直線相互垂直； ③命題“，使得”的否定是“，都有”； ④將函數的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象。

11、 其中是真命題的有___________（將你認為正確的序號都填上）。 【知識點】命題的真假. A2 【答案解析】①②③ 解析：因為拋物線的焦點為F（1,0）,且F到原點的距離為1， 所以，以F為圓心坐標原點的圓的方程為，故①正確；當m=-2時 ，兩直線方程分別為，顯然這兩條直線垂直，故②正確；根據含量詞的命題的否定知命題③正確；將函數的圖象向右平移個單位，得到函數的圖像，故④不正確.所以填①②③. 【思路點撥】根據圓的標準方程的求法，直線互相垂直的條件，含量詞的命題的否定方法，確定命題①、②、③正確；根據圖像左右的口訣:左加、右減，得命題④不正確. 【題文】15.已知恒成立，

12、則實數m的取值范圍是_______. 【知識點】基本不等式.E1 【答案解析】-4＜m＜2 解析：解：解：根據題意，x＞0，y＞0，則，即的最小值為8， 若恒成立，必有m2+2m＜8恒成立，m2+2m＜8?m2+2m-8＜0， 解可得，-4＜m＜2，故答案為-4＜m＜2． 【思路點撥】關鍵是利用基本不等式求出的最小值． 三、解答題：本大題共6個小題.共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 【題文】16.（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為，且滿足. （I）求的面積； （II）若、的值. 【知識點】解三角形. C8 【答案解析】

13、（I）2；（II） 解析：（I） ------2分 而----4分 又-----5分 ------6分 （II）而c=1，-------9分 ------10分 又.-------12分 【思路點撥】（I）利用二倍角公式,再由平方關系求,由向量的數量積定義式求出bc，再用三角形面積個公式求解；（II）由（I）的結論及c=1得b=5，再根據余弦定理求a， 正弦定理求. 【題文】17.（本小題滿分12分） 如圖所示，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且分別是線段PA、PD、CD、BC的中點. （I）求證：BC//平面EFG； （II）求證：平面AEG； （III）

14、求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比. 【知識點】線面位置關系的判定與性質；錐體的體積. G1 G4 G5 【答案解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ） 解析：（Ⅰ）∵BC∥AD,AD∥EF,∴BC∥EF．．．．．．．．．．2分 ∥平面EFG．．．．．．．．．．．．3分 （Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH ，即 AE⊥DH．．．．．．．．．．5分 ∵△ADG≌△DCH ，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90° ∴∠AGD+∠HDC=90° ∴DH⊥AG 又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG．．．．．．．．．．．．8分

15、 （Ⅲ）．．．．．．．．．．．．．．． 10分 ．．．．．．．．．．．．．．．12分 【思路點撥】（Ⅰ）根據線面平行的判定定理，只需證；（Ⅱ）根據線面垂直的判定定理，只需證DH與平面AEG中的兩條相交直線AE、AG都垂直盡即可； （Ⅲ）, 而，由此求得三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比. 【題文】18.（本小題滿分12分） 某公司有男職員45名，女職員15名，按照分層抽樣的方法組建了一個4人的科研攻關小組. （I）求某職員被抽到的概率及科研攻關小組中男、女職員的人數； （II）經過一個月的學習、討論，這個科研攻關組決定選出兩名職員做某項實驗，方法是先從小組里選出1名職

16、員做實驗，該職員做完后，再從小組內剩下的職員中選一名做實驗，求選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率； （III）試驗結束后，第一次做試驗的職員得到的試驗數據為68，70，71，72，74，第二次做試驗的職員得到的試驗數據為69，70，70，72，74，請問哪位職員的實驗更穩(wěn)定？并說明理由. 【知識點】抽樣方法；古典概型；一組數據的數字特征. I1 K2 【答案解析】（I）某職員被抽到的概率為，男、女職員的人數分別為3,1；（II）； （III）第二次做試驗的職員做的實驗更穩(wěn)定，（理由：略）. 解析：（I）某職員被抽到的概率為--2分 設有x名職員，則，男、女職員的人數分別為3,

17、1----4分 （II）把3名男職員和1名女職員記為，則選取兩名小于的基本事件有 共12 種，其中有一名女職員的有6種，所以選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率為---------8分 （Ⅲ）， ， 第二次做試驗的職員做的實驗更穩(wěn)定………………………12分 【思路點撥】（Ⅰ）利用古典概型的概率公式某職員被抽到的概率，由抽樣比乘以每層的人數為此層抽到的人數，得科研攻關小組中男、女職員的人數；（Ⅱ）從這4名職員中有順序的抽取兩名職員的情況用列舉法知有12種，其中恰有一名女職員的有6種，據此得所求概率；（Ⅲ）分別求出兩組數據的平均數和方差，比較這兩組數據的平均數和方差得距結論. 【

18、題文】19.（本小題滿分12分） 在數列中，已知. （I）求數列的通項公式； （II）求證：數列是等差數列； （III）設數列滿足的前項和. 【知識點】等差數列及等差數列的前n項和；等比數列及等比數列的前n項和. D2 D3 【答案解析】（I）；（II）略；（III）. 解析：（I） ,∴數列是首項為，公比為的等比數列， ∴.…………………………………………………………………3分 （II） ………………………………………………………………4分 ∴.………………………………………………………6分 ∴，公差 ∴數列是首項，公差的等差數列. ……………………

19、…………7分 （III）由（1）知，, ∴ ……………………………………………………8分 ∴ ……………………………10分 …………………………12分 【思路點撥】（Ⅰ）易知數列是等比數列，由等比數列的通項公式求得； （Ⅱ）求出數列的通項公式，利用通項公式判斷數列是等差數列； （Ⅲ）由于數列的通項是由一個等差數列通項與一個等比數列通項的和構成的，所以用分組求和法求數列的前項和. 【題文】20.（本小題滿分13分） 已知函數. （I）求函數的單調區(qū)間； （II）若直線是曲線的切線，求實數的值； （III）設在區(qū)間上的最小值.（其中e為自然對數的底數） 【知識點

20、】導數的應用. B12 【答案解析】（I）的單調遞減區(qū)間是和，單調遞增區(qū)間是（0,2）； （II）1；（III）當時，最小值為；當時，的最小值=；當時，最小值為. 解析：（I）----------3分 在區(qū)間和上，；在區(qū)間（0,2）上， 所以，的單調遞減區(qū)間是和，單調遞增區(qū)間是（0,2）.---4分 （II）設切點坐標為，則---------7分 解得.-----------8分 （Ⅲ）， 則， …………………9分 解，得， 所以，在區(qū)間上，為遞減函數， 在區(qū)間上，為遞增函數.

21、 ……………10分 當，即時，在區(qū)間上，為遞增函數， 所以最小值為. 當，即時，在區(qū)間上，為遞減函數， 所以最小值為. ………………11分 當，即時，最小值 =. ………………12分 綜上所述，當時，最小值為；當時，的最小值=；當時，最小值為. ………13分 【思路點撥】（Ⅰ）由定義域上，導函數大于0的區(qū)間是增區(qū)間，導函數小于0的區(qū)間是減區(qū)間求得結論；（Ⅱ）設出切點坐標，利用導數的幾何意義，得關于切點坐標及字母常數a的方程組，求得實數a；（Ⅲ）導數法求閉區(qū)間上連續(xù)函數的最

22、值. 【題文】21.（本小題滿分14分） 已知橢圓過點，且長軸長等于4. （I）求橢圓C的方程； （II）是橢圓C的兩個焦點，O是以為直徑的圓，直線O相切，并與橢圓C交于不同的兩點A，B，若，求k的值. 【知識點】橢圓的標準方程；直線與橢圓的關系.H5,H8 【答案解析】(I) (II) 解析：解：（Ⅰ）由題意，橢圓的長軸長，得，…………2分 ∵點在橢圓上，∴得，…………４分 ∴橢圓的方程為.………………6分 (II)由直線L與圓O相切，得，即，設由消去y，整理得，由題意可知圓O在橢圓內，所以直線必與橢圓相交 …………10分 ∴………………11分 ∵，∴.………………１2分 ∵，∴，，得k的值為.…………13分 【思路點撥】根據題意可直接求出橢圓的標準方程，再根據直線與橢圓的位置關系列出關系式求出K的取值.