2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 1.2 不等式 線性規(guī)劃學(xué)案 理

第2講　不等式　線性規(guī)劃 考點(diǎn)1　不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集． 2．簡(jiǎn)單分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. [例1]　(1)[2019·四川綿陽第一次診斷]若a，b∈R，且a>|b|，則(　　) A．a(chǎn)<－b B．a(chǎn)>b C．a(chǎn)2<b2 D.> (2)[2019·陜西南鄭中學(xué)月考]已知不等式ax2－bx－1≥0的解集為，則不等式x2－bx－a<0的解集是(　　) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C. D.∪ 【解析】　(1)∵a>|b|，|b|≥b，∴a>b.故選B. (2)∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是， ∴易知a<0且解得∴不等式x2－bx－a<0可化為x2－5x＋6<0，解得2<x<3.故選A. 【答案】　(1)B　(2)A 1．解一元二次不等式主要有兩種方法：圖象法和因式分解法． 2．解含參數(shù)的“一元二次不等式”時(shí)，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行討論；其次根據(jù)相應(yīng)一元二次方程的根是否存在，即Δ的符號(hào)進(jìn)行討論；最后在根存在時(shí)，根據(jù)根的大小進(jìn)行討論． 3．解決恒成立問題可以利用分離參數(shù)法，一定要弄清楚誰是自變量，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是自變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)． 4．對(duì)于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方． 5．解決不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，可先求出相應(yīng)函數(shù)這個(gè)區(qū)間上的最值，再轉(zhuǎn)化為與最值有關(guān)的不等式問題. 『對(duì)接訓(xùn)練』 1．[2019·貴州貴陽聯(lián)考]若a>b>0，則下列不等式中一定成立的是(　　) A．a(chǎn)＋>b＋ B.> C．a(chǎn)－>b－ D.> 解析：∵a>b>0，∴>>0，∴a＋>b＋.故選A. 答案：A 2．[2019·黑龍江哈二十六中月考]不等式(ax－2)(x－1)≥0(a<0)的解集為(　　) A. B. C.∪[1，＋∞) D．(－∞，1]∪ 解析：∵a<0，∴(ax－2)(x－1)≥0可化為(－ax＋2)(x－1)≤0，∵(－ax＋2)(x－1)＝0的兩個(gè)根分別為x＝1或x＝且<1，∴(－ax＋2)(x－1)≤0的解集為.故選A. 答案：A 考點(diǎn)2　基本不等式 　利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是： (1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2(簡(jiǎn)記為：積定，和有最小值)； (2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值s2(簡(jiǎn)記為：和定，積有最大值)． [例2]　(1)[2019·山東煙臺(tái)期中]已知x，y∈R且x－2y－4＝0，則2x＋的最小值為(　　) A．4 B．8 C．16 D．256 (2)[2019·江西吉安期中]設(shè)正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，若不等式＋≥4對(duì)任意的x，y成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[4，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(4，＋∞) 【解析】　(1)∵x－2y－4＝0，∴x－2y＝4，∴2x＋≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝－1時(shí)等號(hào)成立， ∴2x＋的最小值為8，故選B. (2)∵x＋y＝1，且x>0，y>0，a>0，∴＋＝(x＋y)＝a＋1＋＋≥a＋1＋2， ∴a＋2＋1≥4，即a＋2－3≥0，解得a≥1，故選C. 【答案】　(1)B　(2)C 1．常數(shù)代換法求最值的關(guān)鍵在于常數(shù)的變形，利用此方法求最值應(yīng)注意以下三個(gè)方面：(1)注意條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)，這是解題的基礎(chǔ)；(2)將常數(shù)化成“1”，這是代數(shù)式等價(jià)變形的基礎(chǔ)；(3)利用基本不等式求解最值時(shí)要滿足“一正、二定、三相等”，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解． 2．拼湊法就是將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法適用于已知關(guān)于變量的等式，求解相關(guān)代數(shù)式的最值問題，或已知函數(shù)解析式，求函數(shù)的最值問題. 『對(duì)接訓(xùn)練』 3．[2019·湖北荊門一中期中]函數(shù)f(x)＝的最小值為(　　) A．3　　　　B．4 C．6　　　　D．8 解析：f(x)＝＝|x|＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝±2時(shí)取等號(hào)，所以f(x)＝的最小值為4，故選B. 答案：B 4．[2019·河北正定期中]若正實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A.　　　　B．2 C．2　　　　D．4 解析：∵＋＝≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)等號(hào)成立，∴ab≥2，ab的最小值為2，故選C. 答案：C 考點(diǎn)3　簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 1．平面區(qū)域的確定方法 平面區(qū)域的確定方法是“直線定界、特殊點(diǎn)定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的區(qū)域的交集． 2．線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by最值的確定方法 線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by中的z不是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，把目標(biāo)函數(shù)化為y＝－x＋，可知是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號(hào)確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值． [例3]　(1)[2019·全國卷Ⅱ]若變量x，y滿足約束條件則z＝3x－y的最大值是________； (2)[2019·湖北襄陽一模]清明節(jié)，某學(xué)校準(zhǔn)備租賃A，B兩種型號(hào)的客車安排900名學(xué)生到烈士陵園為英烈掃墓，已知A，B兩種客車的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 200元/輛和1 800元/輛，學(xué)校為節(jié)約成本，要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則總租金的最小值為(　　) A．27 000元　　　　　　　　B．27 080元 C．27 600元 D．28 000元 【解析】　(1)本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題；以二元一次不等式組作為約束條件考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)． 作出可行域(如圖陰影部分所示)． 易得A(3,0)，B(1,2)，C(0,2)． 將z＝3x－y化為y＝3x－z，由圖知，當(dāng)直線y＝3x－z經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)時(shí)，截距－z取得最小值，從而z取得最大值．zmax＝3×3＝9. (2)設(shè)租用A，B兩種型號(hào)的客車分別為x輛、y輛，所用的租金總數(shù)為z元，則z＝1 200x＋1 800y，其中x，y滿足不等式組(x，y∈N)， 即(x，y∈N)，作出表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，又x，y∈N，所以由圖象易知，z＝1 200x＋1 800y取得最小值的最優(yōu)解為(5,12)，將(5,12)代入z＝1 200x＋1 800y，得z＝27 600，故總租金的最小值為27 600元．故選C. 【答案】　(1)9　(2)C 1．解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟 (1)畫出可行域； (2)根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點(diǎn)； (3)求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值． 2．解決線性規(guī)劃問題應(yīng)把握三點(diǎn) (1)首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決． (2)畫可行域時(shí)應(yīng)注意區(qū)域是否包含邊界． (3)對(duì)目標(biāo)函數(shù)z＝Ax＋By中B的符號(hào)，一定要注意B的正負(fù)與z的最值的對(duì)應(yīng)，要結(jié)合圖形分析. 『對(duì)接訓(xùn)練』 5．[2019·北京卷]若x，y滿足|x|≤1－y，且y≥－1，則3x＋y的最大值為(　　) A．－7 B．1 C．5 D．7 解析：本題主要考查線性規(guī)劃問題，考查考生的運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象． 令z＝3x＋y，畫出約束條件即或表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－3x，并平移，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)平移后的直線過點(diǎn)C(2，－1)時(shí)，z＝3x＋y取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.故選C. 答案：C 6．[2019·黑龍江鶴崗一中月考]設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則x2＋y2的取值范圍是(　　) A．[1,2] B．[1,4] C．[，3] D．[2,4] 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，易知x2＋y2的幾何意義為平面區(qū)域內(nèi)(包括邊界)點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(0,0)的距離的平方，所以|OA|為最大距離，|OA|＝2，|OB|為最小距離，|OB|＝1，所以x2＋y2∈[1,4]．故選B. 答案：B 課時(shí)作業(yè)2　不等式　線性規(guī)劃 1．[2019·上海吳淞中學(xué)調(diào)研]若a>b>0，c<d<0，則一定有(　　) A．a(chǎn)d>bc B．a(chǎn)d<bc C．a(chǎn)c<bd D．a(chǎn)c>bd 解析：∵c<d<0，∴－c>－d>0，又a>b>0，∴－ac>－bd，∴ac<bd.故選C. 答案：C 2．[2019·廣東廣州一調(diào)]已知實(shí)數(shù)x，y滿足x<y，則下列關(guān)系式中恒成立的是(　　) A．tan x>tan y B．ln(x2＋2)>ln(y2＋2) C.> D．x3>y3 解析：通解　因?yàn)閤<y，所以x>y.由于y1＝tan x在R上不是單調(diào)函數(shù)，所以選項(xiàng)A不正確；又x2－y2＝(x－y)(x＋y)的正負(fù)不確定，所以x2和y2 的關(guān)系不確定，所以選項(xiàng)B不正確；又－＝的正負(fù)不確定，所以和的關(guān)系不確定，所以選項(xiàng)C不正確．故選D. 優(yōu)解　因?yàn)閤<y，所以x>y.由于y2＝x3是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以x3>y3.故選D. 答案：D 3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則該不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(　　) A. B. C．9 D. 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 由圖象可知該平面區(qū)域表示一個(gè)三角形(陰影部分)，其面積S＝××3＝.故選B. 答案：B 4．[2019·廣西南寧摸底]已知實(shí)數(shù)x，y滿足 則z＝4x－y的最小值為(　　) A．4 B．6 C．12 D．16 解析：作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝4x并平移，結(jié)合圖象可知當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)時(shí)，z＝4x－y取得最小值，zmin＝4×2－2＝6.故選B. 答案：B 5．[2019·北京101中學(xué)統(tǒng)考]“a>0”是“a＋≥2”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當(dāng)a>0時(shí)，由基本不等式易得a＋≥2成立；當(dāng)a＋≥2時(shí)，得≥0，即≥0，所以a>0，所以“a>0”是“a＋≥2”的充要條件，故選C. 答案：C 6．[2019·遼寧沈陽聯(lián)考]若a>0，b>0，且a＋b＝1，則＋的最小值為(　　) A. B．5 C. D．25 解析：由已知得＋＝·(a＋b)＝＋＋＋≥＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時(shí)取等號(hào)，所以＋的最小值為，故選C. 答案：C 7．[2019·山東煙臺(tái)期中]給出下列不等式：①<(a>b)；②x＋≥2(x≠0)；③<(b<a<0<c)；④>(a，b，m>0且a<b)．其中恒成立的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：對(duì)于①，若a＝1，b＝－1，滿足a>b，則>，則<(a>b)不恒成立；對(duì)于②，若x>0，則x＋≥2，若x<0，則x＋≤－2，則x＋≥2(x≠0)不恒成立；對(duì)于③，由b<a<0<c，可得－＝c·<0，則<(b<a<0<c)恒成立；對(duì)于④，由a，b，m>0且a<b，知－＝>0，則>(a，b，m>0且a<b)恒成立．故選B. 答案：B 8．[2019·茂名一模]用一段長8 cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形模型，則這個(gè)模型面積的最大值為(　　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 解析：設(shè)矩形模型的長和寬分別為x cm，y cm，則x>0，y>0，由題意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面積S＝xy≤＝＝4(cm2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)矩形模型的長和寬都為2 cm時(shí)，面積最大，為4cm2.故選C. 答案：C 9．[2019·天津南開中學(xué)月考]若實(shí)數(shù)x，y滿足則的取值范圍是(　　) A. B. C. D．[2,11] 解析：作出可行域如圖中陰影部分所示.的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P(－1,0)連線的斜率的倒數(shù)，連接PA，PB.由得A，所以kPA＝.由得B，所以kPB＝.故的取值范圍是.故選A. 答案：A 10．[2019·天津二十五中月考]設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足則下列不等式恒成立的是(　　) A．x≥3 B．y≥4 C．x＋2y－8≥0 D．2x－y＋1≥0 解析：作出可行域如圖中陰影部分所示：則C(2,3)，B(2,5)，A項(xiàng)，由圖可以看出，陰影部分不全在直線x＝3的右側(cè)，故A項(xiàng)不符合題意；B項(xiàng)，由圖可以看出，陰影部分不全在直線y＝4的上側(cè)，故B項(xiàng)不符合題意；C項(xiàng)，x＋2y－8≥0，即y≥－x＋4，作出直線y＝－x＋4，由圖可以看出，陰影部分都在直線y＝－x＋4的上側(cè)，故C項(xiàng)符合題意；D項(xiàng)，2x－y＋1≥0，即y≤2x＋1，作出直線y＝2x＋1，由圖可以看出，陰影部分不全在直線y＝2x＋1的下側(cè)，故D項(xiàng)不符合題意．故選C. 答案：C 11．[2019·內(nèi)蒙古包頭九中期末]若6<a<10，≤b≤2a，c＝a＋b，則c的取值范圍是(　　) A．[9,18] B．(18,30) C．[9,30] D．(9,30) 解析：∵≤b≤2a，∴≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，又6<a<10，∴9<c<30.故選D. 答案：D 12．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)z＝a|x|＋2y的最小值為－6，則實(shí)數(shù)a等于(　　) A．2 B．1 C．－2 D．－1 解析：作出約束條件的可行域如圖中陰影部分所示，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z＝a|x|＋2y的最小值為－6，數(shù)形結(jié)合可知目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為B，由得B(－6,0)，所以－6＝a×|－6|，得a＝－1.故選D. 答案：D 13．[2019·山西師大附中月考]已知a>b，ab≠0，下列不等式中：①a2>b2；②2a>2b；③<；④a>b；⑤a<b.恒成立的是________．(填序號(hào)) 解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x，y＝x在R上是單調(diào)增函數(shù)，a>b，ab≠0，所以2a>2b，a>b恒成立；又函數(shù)y＝x在R上是單調(diào)減函數(shù)，a>b，ab≠0，所以a<b恒成立；又a>b，ab≠0，a2－b2＝(a－b)(a＋b)和－＝的正負(fù)不確定；所以a2>b2，<不恒成立． 答案：②④⑤ 14．[2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考]已知x，y滿足若目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y的最大值為10，則z的最小值為________． 解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示．作出直線3x＋y＝0，并平移可知當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，為10，當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，z取得最小值．由得即A，所以3×＋＝10，解得m＝5，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，－1)，所以zmin＝3×2－1＝5. 答案：5 15．[2019·黑龍江鶴崗一中月考]已知x<0，且x－y＝1，則x＋的最大值是________． 解析：∵x<0，且x－y＝1，∴x＝y(tǒng)＋1，y<－1， ∴x＋＝y(tǒng)＋1＋＝y(tǒng)＋＋＋， ∵y＋<0， ∴y＋＋＝－≤－， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝－時(shí)等號(hào)成立， ∴x＋≤－， ∴x＋的最大值為－. 答案：－ 16．[2019·山西晉中月考]已知變量x，y滿足約束條件且z＝3x＋y的最小值為－1，則常數(shù)k＝________. 解析：根據(jù)題意作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線3x＋y＝0，并平移，結(jié)合圖象可知，當(dāng)平移后的直線過點(diǎn)A(x,2)時(shí)，z＝3x＋y取得最小值－1，故3x＋2＝－1，解得x＝－1，故A(－1,2)，故－1－4×2＋k＝0，故k＝9. 答案：9 - 13 -