2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 3.2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案 文
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2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 3.2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案 文
第2講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考點(diǎn)1 三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系
1.三角函數(shù):設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sinα=y(tǒng),cosα=x,tanα=.各象限角的三角函數(shù)值的符號:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.同角關(guān)系:sin2α+cos2α=1,=tanα.
3.誘導(dǎo)公式:在+α,k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變,符號看象限”.
[例1] (1)[2018·全國卷Ⅰ]已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊上有兩點(diǎn)A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,則|a-b|=( )
A. B.
C. D.1
(2)[2019·山東濰坊一中月考]化簡得( )
A.sin 2+cos 2 B.cos 2-sin 2
C.sin 2-cos 2 D.±cos 2-sin 2
【解析】 (1)由cos 2α=,得cos2α-sin2α=,
∴ =,即=,
∴ tan α=±,即=±,
∴ |a-b|=.
故選B.
(2)=
==
=|sin 2-cos 2|,又<2<π,∴sin 2>0,cos 2<0,
∴=sin 2-cos 2,故選C.
【答案】 (1)B (2)C
應(yīng)用三角函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式的注意事項(xiàng)
(1)當(dāng)角的終邊所在的位置不是唯一確定的時候要注意分情況解決,機(jī)械地使用三角函數(shù)的定義就會出現(xiàn)錯誤.
(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系開方運(yùn)算時,一定注意三角函數(shù)的符號;利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡要遵循一定的原則,如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等.
『對接訓(xùn)練』
1.[2019·湖北穩(wěn)派教育檢測]若一個扇形的面積是2π,半徑是2,則這個扇形的圓心角為( )
A. B.
C. D.
解析:設(shè)扇形的半徑為r,圓心角為θ,則扇形的面積S=lr,其中弧長l=θr,則S=θr2,所以θ===,故選D.
答案:D
2.[2019·河北行唐月考]已知tan x=,則sin xcos x=( )
A. B.
C. D.
解析:通解 ∵tan x=,∴=,即cos x=3sin x,又sin2x+cos2x=1,∴sin2x=.①當(dāng)x為第一象限角時,sin x=,cos x=,∴sin xcos x=;②當(dāng)x為第三象限角時,sin x=-,cos x=-,∴sin xcos x=.由①②得sin xcos x=,故選C.
優(yōu)解一 ∵tan x=,∴=,即cos x=3 sin x,又sin2x+cos2x=1,∴sin2x=,又1+2sin xcos x=(sin x+cos x)2=16sin2x,∴sin x·cos x===,故選C.
優(yōu)解二 ∵tan x=>0,∴sin x與cos x同號,∴sin xcos x>0,不妨設(shè)x是第一象限角,且角x終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1),∴sin x=,cos x=,∴sin xcos x=,故選C.
優(yōu)解三 ∵sin xcos x==,且tan x=,∴sin xcos x==,故選C.
答案:C
考點(diǎn)2 三角函數(shù)的圖象與解析式
函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象
(1)“五點(diǎn)法”作圖
設(shè)z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值與相應(yīng)的y的值,描點(diǎn)、連線可得.
(2)圖象變換
y=sinxy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ).
[例2] (1)[2019·遼寧遼陽期末]已知函數(shù)f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)與g(x)=cos ωx的部分圖象如圖所示,則( )
A.A=1,ω=
B.A=2,ω=
C.A=1,ω=
D.A=2,ω=
(2)[2019·山西平遙二中月考]為了得到函數(shù)y=sin的圖象,只需把函數(shù)y=cos 2x的圖象上所有的點(diǎn)( )
A.向左平行移動個單位長度
B.向右平行移動個單位長度
C.向左平行移動個單位長度
D.向右平行移動個單位長度
【解析】 (1)由已知圖象,可知=1,T==1.5×4=6,所以A=2,ω=.故選B.
(2)通解 ∵y=cos 2x=sin,函數(shù)y=sin=sin,∴只需把函數(shù)y=cos 2x的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度就得到函數(shù)y=sin的圖象,故選B.
優(yōu)解 ∵y=sin=cos=cos=cos 2,∴只需把函數(shù)y=cos 2x的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度就得到函數(shù)y=sin的圖象,故選B.
【答案】 (1)B (2)B
1.確定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的方法
已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象求解析式時,常采用待定系數(shù)法,由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A;由函數(shù)的周期確定ω;確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個點(diǎn)求解,其中一般把第一個零點(diǎn)作為突破口,可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個零點(diǎn)的位置.
2.[警示] 在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換,還是先周期變換.變換只是相對于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向.
『對接訓(xùn)練』
3.[2019·河南洛陽一中月考]設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是一個偶函數(shù),則φ=________.
解析:通解 f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)=sin的圖象,∵g(x)=sin是偶函數(shù),∴sin=±1,∴φ=kπ-(k∈Z),∵|φ|<,∴φ=-.
優(yōu)解 ∵函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是一個偶函數(shù),∴f(x)=sin(2x+φ)的圖象關(guān)于直線x=對稱,∴sin=±1,∴φ=kπ-(k∈Z),∵|φ|<,∴φ=-.
答案:-
4.[2019·成都檢測]已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示.現(xiàn)將函數(shù)f(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的解析式為( )
A.g(x)=2sin B.g(x)=2sin
C.g(x)=2cos2x D.g(x)=2sin
解析:由圖象,知A=2,T=4×=π,所以ω==2,將點(diǎn)代入f(x)=2sin(2x+φ)得sin=-1,即+φ=2kπ+(k∈Z),結(jié)合|φ|<,得φ=,所以f(x)=2sin,所以g(x)=f=2sin,故選D.
答案:D
考點(diǎn)3 三角函數(shù)的性質(zhì)
1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z);
y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
y=tanx的遞增區(qū)間是(k∈Z).
2.三角函數(shù)的奇偶性與對稱性
y=Asin(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時為奇函數(shù);
當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時為偶函數(shù);
對稱軸方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
y=Acos(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時為奇函數(shù);
當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時為偶函數(shù);
對稱軸方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
y=Atan(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時為奇函數(shù).
[例3] (1)[2019·全國卷Ⅱ]下列函數(shù)中,以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是( )
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
(2)[2019·全國卷Ⅰ]關(guān)于函數(shù)f(x)=sin |x|+|sin x|有下述四個結(jié)論:
①f(x)是偶函數(shù) ②f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增?、踗(x)在[-π,π]有4個零點(diǎn)?、躥(x)的最大值為2
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A.①②④ B.②④
C.①④ D.①③
【解析】 (1)本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),意在考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.
A中,函數(shù)f(x)=|cos 2x|的周期為,當(dāng)x∈時,2x∈,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,故A正確;B中,函數(shù)f(x)=|sin 2x|的周期為,當(dāng)x∈時,2x∈,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,故B不正確;C中,函數(shù)f(x)=cos|x|=cos x的周期為2π,故C不正確;D中,f(x)=sin|x|=由正弦函數(shù)圖象知,在x≥0和x<0時,f(x)均以2π為周期,但在整個定義域上f(x)不是周期函數(shù),故D不正確.故選A.
(2)本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、最值),函數(shù)零點(diǎn),考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.
f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),故①正確;當(dāng)<x<π時,f(x)=sin x+sin x=2sin x,∴f(x)在單調(diào)遞減,故②不正確;f(x)在[-π,π]的圖象如圖所示,由圖可知函數(shù)f(x)在[-π,π]只有3個零點(diǎn),故③不正確;∵y=sin|x|與y=|sin x|的最大值都為1且可以同時取到,∴f(x)可以取到最大值2,故④正確.綜上,正確結(jié)論的序號是①④.故選C.
【答案】 (1)A (2)C
1. 三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性及最值的求法
(1)三角函數(shù)單調(diào)性的求法:
求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A、ω、φ為常數(shù),A≠0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間的一般思路是令ωx+φ=z,則y=Asinz(或y=Acosz),然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得.
(2)三角函數(shù)周期性的求法:
函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=.應(yīng)特別注意y=|Asin(ωx+φ)|的周期為T=.
(3)三角函數(shù)值域的求法:
在求最值(或值域)時,一般要先確定函數(shù)的定義域,然后結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)f(x)的最值.
2.[警示] 求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時,要注意ω,A的符號.ω<0時,應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后再求解;在書寫單調(diào)區(qū)間時,不能弧度和角度混用,需加2kπ時,不要忘掉k∈Z,所求區(qū)間一般為閉區(qū)間.
『對接訓(xùn)練』
5.[2019·武昌區(qū)調(diào)研考試]已知函數(shù)f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期為2π,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.](k∈Z)
B.](k∈Z)
C.](k∈Z)
D.](k∈Z)
解析:解法一 因?yàn)閒(x)=2=2sin,f(x)的最小正周期為2π,所以ω==1,所以f(x)=2sin,
由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z),故選B.
解法二 因?yàn)閒(x)=2=-2cos,f(x)的最小正周期為2π,所以ω==1,所以f(x)=-2cos,
由2kπ≤x+≤2kπ+π(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為](k∈Z),故選B.
答案:B
6.[2019·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研]將函數(shù)f(x)=2sin-2cos 2x的圖象向左平移個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,則下列說法正確的是( )
A.函數(shù)g(x)的最小正周期為2π
B.函數(shù)g(x)的最小值為-1
C.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=對稱
D.函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減
解析:函數(shù)f(x)=2×-2cos 2x=sin 2x+cos 2x-2cos 2x=sin 2x-cos 2x=2sin,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度得y=g(x)=2sin=2sin的圖象,則函數(shù)g(x)的最小正周期T==π,g(x)的最小值為-2,g(x)的圖象的對稱軸為2x+=+kπ(k∈Z),即x=+(k∈Z),當(dāng)k=0時,x=為g(x)的圖象的一條對稱軸,令+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),當(dāng)k=0時,函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減,故選C.
答案:C
考點(diǎn)4 三角函數(shù)與其他知識的交匯問題 [交匯創(chuàng)新]
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn),近年來,三角函數(shù)與其他知識交匯命題成為高考的熱點(diǎn),由原來三角函數(shù)與平面向量的交匯滲透到三角函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)、數(shù)列、不等式、復(fù)數(shù)、方程等知識的交匯.
[例4] (1)設(shè)集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N=,則M∩N為( )
A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1) D.[0,1]
(2)已知函數(shù)f(x)=sin x.若存在x1,x2,…,xm滿足0≤x1<x2<…<xm≤6π,且|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xm-1)-f(xm)|=12(m≥2,m∈N*),則m的最小值為________.
【解析】 (1)y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|∈[0,1],所以M=[0,1].因?yàn)?lt;,所以|x+i|<,即x2+1<2.又因?yàn)閤∈R,所以-1<x<1,即N=(-1,1).所以M∩N=[0,1),故選C.
(2)因?yàn)閒(x)=sin x,所以|f(xm)-f(xn)|≤f(x)max-f(x)min=2,因此要使得滿足條件|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xm-1)-f(xm)|=12的m最小,須取x1=0,x2=,x3=,x4=,x5=,x6=,x7=,x8=6π,即m=8.
【答案】 (1)C (2)8
解決三角函數(shù)與其他知識的交匯問題,要充分利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).本例(1)三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的交匯,本例(2)是絕對值不等式與三角函數(shù)的最值問題,利用放縮法解決.
『對接訓(xùn)練』
7.設(shè)an=sin,Sn=a1+a2+…+an,在S1,S2,…,S100中,正數(shù)的個數(shù)是( )
A.25 B.50
C.75 D.100
解析:當(dāng)1≤n≤24時,an>0,當(dāng)26≤n≤49時,an<0,但其絕對值要小于1≤n≤24時相應(yīng)的值;當(dāng)51≤n≤74時,an>0;當(dāng)76≤n≤99時,an<0,但其絕對值要小于51≤n≤74時相應(yīng)的值.故當(dāng)1≤n≤100時,均有Sn>0.
答案:D
課時作業(yè)7 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.[2019·四川宜賓四中期中]角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,y),且sin θ=-,則tan θ=( )
A.- B.
C.- D.
解析:解法一 ∵sin θ=-,∴=-,∴y=-3,∴tan θ=-,故選C.
解法二 由P(4,y)得角θ是第一或第四象限角或是終邊在x軸的正半軸上的角,∴cos θ>0.∵sin θ=-,∴cos θ==,∴tan θ==-,故選C.
解法三 由P(4,y)得角θ是第一或第四象限角或是終邊在x軸的正半軸上的角,∵sin θ=-<0,∴角θ是第四象限角,∴tan θ<0,故排除選項(xiàng)B,D,又sin θ=->-,不妨?。?lt;θ<0,∴-1<tan θ<0,故選C.
答案:C
2.[2019·福建廈門檢測]已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),且|θ|<,則θ等于( )
A.- B.-
C. D.
解析:因?yàn)閟in(π+θ)=-cos(2π-θ),所以-sin θ=-cos θ,所以tan θ=.因?yàn)閨θ|<,所以θ=,故選D.
答案:D
3.[2019·安徽蕪湖一中月考]設(shè)α是第三象限角,且|cos|=-cos,則的終邊所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵α是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),∴kπ+<<kπ+(k∈Z),又|cos|=-cos,∴cos≤0,∴2kπ+<<2kπ+(k∈Z),∴是第二象限角,故選B.
答案:B
4.[2019·重慶調(diào)研]函數(shù)y=sin圖象的一條對稱軸方程是( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=-
解析:通解 由x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),所以函數(shù)y=sin的一條對稱軸方程是x=,故選C.
優(yōu)解一 因?yàn)閟in=sin=1,所以x=是函數(shù)y=sin的一條對稱軸方程,故選C.
優(yōu)解二 因?yàn)閷⒑瘮?shù)y=sin x的圖象向左平移個單位長度就得到函數(shù)y=sin的圖象,所以y=sin x圖象的一條對稱軸x=向左平移個單位長度就得到函數(shù)y=sin圖象的一條對稱軸x=,故選C.
答案:C
5.[2019·貴州貴陽十二中期中]已知=-,則的值是( )
A. B.-
C. D.-
解析:∵×===1,
∴=-,故選D.
答案:D
6.[2019·甘肅會寧一中月考]已知cos=,則sin的值是( )
A. B.-
C. D.-
解析:易知sin=sin=sin=sin=-cos=-,故選B.
答案:B
7.[2019·遼寧瓦房店三中月考]函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析:通解 由2nπ+≤-2x≤2nπ+(n∈Z),得-nπ-≤x≤-nπ-(n∈Z),令k=-n,得kπ-≤x≤kπ-(k∈Z),又區(qū)間(k∈Z)和區(qū)間(k∈Z)相差一個周期π,∴函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z),故選B.
優(yōu)解一 ∵y=2sin=-2sin,∴求函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間即求函數(shù)t=sin的單調(diào)遞減區(qū)間,由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),∴函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z),故選B.
優(yōu)解二 函數(shù)y=2sin單調(diào)遞增區(qū)間的左端點(diǎn)值對應(yīng)的函數(shù)值是函數(shù)的最小值,區(qū)間長度為一個周期π,經(jīng)驗(yàn)證每一個選項(xiàng)的區(qū)間長度均為一個周期π,只有區(qū)間左端點(diǎn)x=kπ+(k∈Z)的相應(yīng)函數(shù)值是函數(shù)的最小值-2,∴函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z),故選B.
答案:B
8.[2019·天津卷]已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函數(shù),將y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x),若g(x)的最小正周期為2π,且g=,則f=( )
A.-2 B.-
C. D.2
解析:本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象.
由f(x)為奇函數(shù)可得φ=kπ(k∈Z),又|φ|<π,所以φ=0,所以g(x)=Asinωx.由g(x)的最小正周期為2π,可得=2π,故ω=2,g(x)=Asinx.g=Asin=,所以A=2,所以f(x)=2sin 2x,故f=2sin=.
答案:C
9.[2019·安徽蕪湖一中月考]函數(shù)y=cos2x+sin x的最大值與最小值之和為( )
A. B.2
C.0 D.
解析:y=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1,設(shè)t=sin x,則y=-t2+t+1,∵-≤x≤,∴-≤t≤,∵y=-t2+t+1在區(qū)間上是增函數(shù),∴當(dāng)t=-時y最小,為,當(dāng)t=時y最大,為,∴最大值與最小值的和為,故選A.
答案:A
10.[2019·北京一零一中學(xué)統(tǒng)考]將函數(shù)f(x)=sin的圖象向右平移a(a>0)個單位長度得到函數(shù)g(x)=cos的圖象,則a的值可以為( )
A. B.
C. D.
解析:通解 將函數(shù)f(x)=sin的圖象向右平移a(a>0)個單位長度得到函數(shù)y=sin的圖象,∵y=sin=cos,∴g(x)=cos和y=cos是同一個函數(shù),∴-2a-=2kπ+(k∈Z),∴a=-kπ-(k∈Z),當(dāng)k=-1時,a=,∴a的值可以為,故選C.
優(yōu)解一 ∵f(x)=sin=cos=cos=cos,∴將函數(shù)f(x)=sin的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)g(x)=cos的圖象,又函數(shù)g(x)=cos的周期為π,∴將函數(shù)f(x)=sin的圖象向右平移π-=個單位長度得到函數(shù)g(x)=cos的圖象,故選C.
優(yōu)解二 ∵g(x)=cos=sin=sin=sin,∴將函數(shù)f(x)=sin的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)=cos的圖象,故選C.
優(yōu)解三 ∵f(x)=sin=cos=cos=cos,∴將函數(shù)f(x)=sin的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)=cos的圖象,故選C.
答案:C
11.[2019·河南洛陽聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)=asin x-cos x的圖象的一條對稱軸為直線x=,且f(x1)·f(x2)=-4,則|x1+x2|的最小值為( )
A.0 B.
C. D.
解析:∵直線x=為函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸,∴±=,解得a=1,∴f(x)=sin x-cos x=2sin.∵f(x1)·f(x2)=-4,∴f(x1)和f(x2)中必有一個為函數(shù)f(x)的最大值,另一個為最小值.由x-=kπ(k∈Z)得x=kπ+(k∈Z),即函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為(k∈Z),∴|x1+x2|=(k∈Z),∴|x1+x2|的最小值為,故選C.
答案:C
12.[2019·湖南株洲統(tǒng)一檢測]
如圖,正方形ABCD的邊長為1,射線BP從BA的位置出發(fā),繞著點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)至BC的位置,在旋轉(zhuǎn)的過程中,記∠ABP=x,BP所經(jīng)過的在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域(陰影部分)的面積為y=f(x),則函數(shù)f(x)的圖象是( )
解析:由題意得,當(dāng)0≤x≤時,f(x)=tan x,∵在區(qū)間上函數(shù)f(x)=tan x是增函數(shù)且隨x的增大f(x)增加得越來越快,∴排除選項(xiàng)A,C,又當(dāng)<x≤時,陰影部分的面積增加得越來越慢,∴排除選項(xiàng)B,∴函數(shù)f(x)的圖象是選項(xiàng)D.
答案:D
13.[2019·江蘇淮海階段測試]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P在角的終邊上,且|OP|=2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______________.
解析:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由三角函數(shù)定義得∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,).
答案:(-1,)
14.[2019·江西九江一中月考]已知cos=,則cos-sin2=____________.
解析:cos-sin2=cos-sin2=-cos-sin2=cos2-cos-1=-.
答案:-
15.[2019·浙江溫州一中月考]已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,如果x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)等于________________________________________________________________________.
解析:由圖象得函數(shù)f(x)的周期為π,∴ω=2,又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),∴x1+x2=且直線x=為函數(shù)f(x)圖象的對稱軸,∴sin=1,又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=sin,∴f(x1+x2)=f=sin=.
答案:
16.[2018·北京卷]設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f對任意的實(shí)數(shù)x都成立,則ω的最小值為________.
解析:∵ f(x)≤f對任意的實(shí)數(shù)x都成立,
∴ 當(dāng)x=時,f(x)取得最大值,即f=cos=1,∴ ω-=2kπ,k∈Z,
∴ ω=8k+,k∈Z.
∵ ω>0,∴ 當(dāng)k=0時,ω取得最小值.
答案:
- 19 -