（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.2 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 第1課時(shí) 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-2

第1課時(shí)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的導(dǎo)數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 知識(shí)點(diǎn)一　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 知識(shí)點(diǎn)二　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax f′(x)＝axln a(a>0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝(a>0且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 1．若y＝，則y′＝×2＝1.(　×　) 2．若f′(x)＝sin x，則f(x)＝cos x．(　×　) 3．f(x)＝，則f′(x)＝－.(　√　) 類型一　利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝sin ；(2)y＝x；(3)y＝lg x；(4)y＝；(5)y＝2cos2－1. 考點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解　(1)y′＝0. (2)y′＝xln＝－xln 2. (3)y′＝. (4)∵y＝＝， ∴y′＝()′＝＝. (5)∵y＝2cos2－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. 反思與感悟　(1)若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解． (2)若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則通過(guò)恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo)，如根式要化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo)． 如y＝可以寫(xiě)成y＝x－4，y＝可以寫(xiě)成y＝等，這樣就可以直接使用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)，以免在求導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知函數(shù)f(x)＝，則f′(－3)等于(　　) A．81 B．243 C．－243 D．－ (2)已知f(x)＝ln x且f′(x0)＝，則x0＝ . 考點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　(1)D　(2)1 解析　(1)因?yàn)閒(x)＝x－3， 所以f′(x)＝－3x－4＝－， 所以f′(－3)＝－＝－. (2)因?yàn)閒(x)＝ln x(x>0)， 所以f′(x)＝， 所以f′(x0)＝＝，所以x0＝1. 類型二　利用導(dǎo)數(shù)公式研究切線問(wèn)題 例2　已知曲線y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，過(guò)兩條曲線交點(diǎn)作兩條曲線的切線，求兩切線與x軸所圍成的三角形面積． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 解　由得得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)． 兩條曲線切線的斜率分別為f′(1)＝，g′(1)＝－1. 易得兩切線方程分別為y－1＝(x－1)， y－1＝－(x－1)， 即y＝x＋與y＝－x＋2. 其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－1,0)，(2,0)， 所以兩切線與x軸所圍成的三角形面積為×1×|2－(－1)|＝. 反思與感悟　解決切線問(wèn)題，關(guān)鍵是確定切點(diǎn)，要充分利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率、切點(diǎn)在切線上及切點(diǎn)在曲線上這三個(gè)條件聯(lián)立方程解決． 跟蹤訓(xùn)練2　已知y＝kx是曲線y＝ln x的一條切線，則k＝ . 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 答案　 解析　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)， 由題意得＝＝k，① 又y0＝kx0，② 而且y0＝ln x0，③ 由①②③可得x0＝e，y0＝1，則k＝. 例3　求拋物線y＝x2上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 解　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，依題意知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離最短． ∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝， ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴所求的最短距離d＝＝. 反思與感悟　利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可求其圖象在某一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問(wèn)題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)．解題時(shí)可先利用圖象分析取最值時(shí)的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算． 跟蹤訓(xùn)練3　已知直線l: 2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，試求與直線l平行的拋物線的切線方程，并在弧上求一點(diǎn)P，使△ABP的面積最大． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 解　由于直線l: 2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A，B兩點(diǎn)， ∴|AB|為定值，要使△ABP的面積最大，只要點(diǎn)P到AB的距離最大， 設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P與AB平行的直線斜率k＝y(tǒng)′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1. 故可得P(1,1)，∴切線方程為2x－y－1＝0. 故P(1,1)點(diǎn)即為所求弧上的點(diǎn)，使△ABP的面積最大. 1．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為(　　) ①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③＝x；④若y＝，則＝－. A．1 B．2 C．3 D．4 考點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　C 解析　①中(3x)′＝3xln 3，②③④均正確． 2．函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．不確定 考點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　B 解析　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，∵f′(x0)＝3x＝1， ∴x0＝±.故斜率等于1的切線有2條． 3．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，則x＝ . 考點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　1 解析　f′(x)＝2x，g′(x)＝， f′(x)－g′(x)＝1，即2x－＝1， 解得x＝1或－.因?yàn)閤>0，所以x＝1. 4．過(guò)原點(diǎn)作曲線y＝ex的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，切線的斜率為 ． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 答案　(1，e)　e 解析　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)， 切線的斜率為＝， 則＝，① 又y0＝，② 由①②可得x0＝1， ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，e)，切線的斜率為e. 5．求過(guò)曲線y＝sin x上一點(diǎn)P且與在該點(diǎn)處的切線垂直的直線方程． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 解　曲線y＝sin x在點(diǎn)P處切線的斜率 k＝＝cos ＝， 則與切線垂直的直線的斜率為－， ∴所求直線方程為y－＝－， 即12x＋18y－2π－9＝0. 1．利用常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡(jiǎn)捷地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸． 2．有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再應(yīng)用公式求導(dǎo)． 如求y＝1－2sin2的導(dǎo)數(shù)．因?yàn)閥＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 3．對(duì)于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)名稱的變化，二是注意函數(shù)符號(hào)的變化. 一、選擇題 1．下列各式中正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③′＝－x－；④()′＝x－；⑤(cos x)′＝－sin x；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A．3 B．4 C．5 D．6 考點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　B 解析　∵②(x－1)′＝－x－2； ⑥(cos 2)′＝0. ∴②⑥不正確，故選B. 2．已知函數(shù)f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a的值等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 考點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　A 解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4， ∴a＝4. 3．質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝，則質(zhì)點(diǎn)在t＝4時(shí)的速度為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　B 解析　∵s′＝t－.∴當(dāng)t＝4時(shí)， s′＝·＝ . 4．正弦曲線y＝sin x上切線的斜率等于的點(diǎn)為(　　) A. B.或 C.(k∈Z) D.或(k∈Z) 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　設(shè)斜率等于的切線與曲線的切點(diǎn)為P(x0，y0)，∵＝cos x0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－， ∴y0＝或－. 5．直線y＝x＋b是曲線y＝ln x(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為(　　) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 答案　C 解析　∵y＝ln x的導(dǎo)數(shù)y′＝， ∴令＝，得x＝2，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，ln 2)． 代入直線y＝x＋b，得b＝ln 2－1. 6．下列曲線的所有切線中，存在無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的切線的曲線是(　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　若直線垂直且斜率存在，則其斜率之積為－1. 因?yàn)锳項(xiàng)中，(ex)′＝ex>0，B項(xiàng)中，(x3)′＝3x2≥0，C項(xiàng)中，x>0，即(ln x)′＝>0，所以不會(huì)使切線斜率之積為－1，故選D. 7．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1·x2·…·xn的值為(　　) A. B. C. D．1 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　對(duì)y＝xn＋1(n∈N*)求導(dǎo)得y′＝(n＋1)·xn. 令x＝1，得在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率k＝n＋1， ∴在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(xn－1)． 令y＝0，得xn＝， ∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故選B. 二、填空題 8．若曲線y＝在點(diǎn)(a，)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝ . 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　64 解析　∵y＝，∴y′＝－， ∴曲線在點(diǎn)(a，)處的切線斜率k＝－， ∴切線方程為y－＝－(x－a)． 令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝3a， ∴該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 S＝·3a·＝＝18， ∴a＝64. 9．設(shè)曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y＝(x>0)在點(diǎn)P處的切線垂直，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 答案　(1,1) 解析　y＝ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝ex，曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為k1＝e0＝1. 設(shè)P(m，n)，y＝(x>0)的導(dǎo)數(shù)為y′＝－ (x>0)， 曲線y＝ (x>0)在點(diǎn)P處的切線的斜率為k2＝－ (m>0)．因?yàn)閮汕芯€垂直，所以k1k2＝－1， 所以m＝1，n＝1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)． 10．若曲線y＝在點(diǎn)P(a，)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值是 ． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 答案　4 解析　∵y′＝，∴切線方程為y－＝(x－a)， 令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a， 由題意知··a＝2，∴a＝4. 11．設(shè)f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2 017(x)＝ . 考點(diǎn)　正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　正弦、余弦函數(shù)的運(yùn)算法則 答案　cos x 解析　由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次類推可得，f2 017(x)＝f1(x)＝cos x. 12．設(shè)正弦曲線y＝sin x上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角α的取值范圍是 ． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 答案　∪ 解析　∵(sin x)′＝cos x，∴kl＝cos x， ∴－1≤kl≤1，∴α∈∪. 三、解答題 13．點(diǎn)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 解　如圖，當(dāng)曲線y＝ex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y＝x的距離最近． 則曲線y＝ex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率為1，又y′＝(ex)′＝ex， 所以＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)． 利用點(diǎn)到直線的距離公式得最小距離為. 四、探究與拓展 14．函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak，a)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是 ． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 答案　21 解析　∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak，a)處的切線方程為y－a＝2ak(x－ak)． 又該切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(ak＋1,0)， ∴ak＋1＝ak，即數(shù)列{ak}是首項(xiàng)為a1＝16，公比為q＝的等比數(shù)列， ∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 15．求證：雙曲線xy＝a2(a≠0)上任意一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于常數(shù)． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 證明　設(shè)P(x0，y0)為雙曲線xy＝a2上任一點(diǎn)． ∵y′＝′＝－. ∴過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y－y0＝－(x－x0)． 令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0. 則切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 S＝··|2x0|＝2a2. 即雙曲線xy＝a2上任意一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為常數(shù)2a2. 13