（浙江專版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 任意角學(xué)案 新人教A版必修4

1．1.1　任 意 角 預(yù)習(xí)課本P2～5，思考并完成以下問題 (1)角是如何定義的？角的概念推廣后，分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 　 　 (2)象限角的含義是什么？判斷角所在的象限時，要注意哪些問題？ 　 　 (3)終邊相同的角一定相等嗎？如何表示終邊相同的角？ 　 　 1．任意角 (1)角的概念： 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形． (2)角的表示：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角的頂點．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”． (3)角的分類： 名稱 定義 圖示 正角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負(fù)角 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角 [點睛]　對角的概念的理解的關(guān)鍵是抓住“旋轉(zhuǎn)”二字：①要明確旋轉(zhuǎn)的方向；②要明確旋轉(zhuǎn)量的大小；③要明確射線未作任何旋轉(zhuǎn)時的位置． 2．象限角 把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限． [點睛]　象限角的條件是：角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合． 3．終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和． [點睛]　對終邊相同的角的理解 (1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同； (2)k∈Z，即k為整數(shù)這一條件不可少； (3)終邊相同的角的表示不唯一． 1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)－30°是第四象限角．(　　) (2)鈍角是第二象限的角．(　　) (3)終邊相同的角一定相等．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．與45°角終邊相同的角是(　　) A．－45°　　　　　　　　 B．225° C．395° D．－315° 答案：D 3．下列說法正確的是(　　) A．銳角是第一象限角 B．第二象限角是鈍角 C．第一象限角是銳角 D．第四象限角是負(fù)角 答案：A 4．將35°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角度數(shù)為________，將35°角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周后的角度數(shù)________． 答案：－25°　395° 任意角的概念 [典例]　下列命題正確的是(　　) A．終邊與始邊重合的角是零角 B．終邊和始邊都相同的兩個角一定相等 C．在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β不一定是鈍角 D．小于90°的角是銳角 [解析]　終邊與始邊重合的角還可能是360°，720°，…，故A錯；終邊和始邊都相同的兩個角可能相差360°的整數(shù)倍，如30°與－330°，故B錯；由于在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β包含90°角，所以不一定是鈍角，C正確；小于90°的角可以是0°，也可以是負(fù)角，故D錯誤． [答案]　C 理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵 關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大?。硗庑枰莆张袛嘟Y(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可． [活學(xué)活用] 如圖，射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)90°到射線OB的位置，接著再旋轉(zhuǎn)－30°到OC的位置，則∠AOC的度數(shù)為________． 解析：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60° 終邊相同角的表示 [典例]　寫出與75°角終邊相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范圍內(nèi)與75°角終邊相同的角． [解]　與75°角終邊相同的角的集合為 S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}． 當(dāng)360°≤β<1 080°時，即360°≤k·360°＋75°<1 080°， 解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2. 當(dāng)k＝1時，β＝435°；當(dāng)k＝2時，β＝795°. 綜上所述，與75°角終邊相同且在360°≤β<1 080°范圍內(nèi)的角為435°角和795°角． 1．終邊落在直線上的角的集合的步驟 (1)寫出在0°～360°范圍內(nèi)相應(yīng)的角； (2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合； (3)根據(jù)條件能合并一定合并，使結(jié)果簡潔． 2．終邊相同角常用的三個結(jié)論 (1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍． (2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍． (3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍． [活學(xué)活用] 分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合． 解：(1)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝0上的角有兩個，即0°和180°，因此，所有與0°角終邊相同的角構(gòu)成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有與180°角終邊相同的角構(gòu)成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}． (2)由圖形易知，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝－x上的角有兩個，即135°和315°，因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合為S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}. 象限角的判斷 [典例]　已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角． (1)－75°；(2)855°；(3)－510°. [解]　作出各角，其對應(yīng)的終邊如圖所示： (1)由圖①可知：－75°是第四象限角． (2)由圖②可知：855°是第二象限角． (3)由圖③可知：－510°是第三象限角． 象限角的判定方法 (1)根據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因為0°～360°之間的角的終邊與坐標(biāo)系中過原點的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系． (2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的． [活學(xué)活用] 若α是第四象限角，則180°－α一定在(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選C　∵α與－α的終邊關(guān)于x軸對稱，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角． 而180°－α可看成－α按逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到， ∴180°－α是第三象限角. 角，nα(n∈N*)所在象限的確定 [典例]　已知α是第二象限角，求角所在的象限． [解]　法一：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)． 當(dāng)k為偶數(shù)時，令k＝2n(n∈Z)，得 n·360°＋45°<<n·360°＋90°， 這表明是第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1(n∈Z)，得 n·360°＋225°<<n·360°＋270°， 這表明是第三象限角． ∴為第一或第三象限角． 法二：如圖，先將各象限分成2等份，再從x軸正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則標(biāo)有二的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域，故為第一或第三象限角． [一題多變] 1．[變設(shè)問]在本例條件下，求角2α的終邊的位置． 解：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)． ∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上． 2．[變條件]若角α變?yōu)榈谌笙藿?，則角是第幾象限角？ 解：如圖所示，先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則標(biāo)有三的區(qū)域即為角的終邊所在的區(qū)域，故角為第二或第四象限角． 倍角、分角所在象限的判定思路 (1)已知角α終邊所在的象限，確定nα終邊所在的象限，可依據(jù)角α的范圍求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．注意不要漏掉nα的終邊在坐標(biāo)軸上的情況． (2)已知角α終邊所在的象限，確定終邊所在的象限，分類討論法要對k的取值分以下幾種情況進行討論：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下結(jié)論．幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，簡單直觀． 層級一　學(xué)業(yè)水平達標(biāo) 1．－215°是(　　) A．第一象限角　　　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：選B　由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，則－215°也是第二象限角． 2．下面各組角中，終邊相同的是(　　) A．390°，690° B．－330°，750° C．480°，－420° D．3 000°，－840° 解析：選B　∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， ∴－330°與750°終邊相同． 3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，則α所在的象限是(　　) A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 解析：選A　由題意知α＝k·180°＋45°，k∈Z， 當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z， α＝2n·180°＋180°＋45° ＝n·360°＋225°，在第三象限， 當(dāng)k＝2n，n∈Z， α＝2n·180°＋45° ＝n·360°＋45°，在第一象限． ∴α是第一或第三象限的角． 4．終邊在第二象限的角的集合可以表示為(　　) A．{α|90°<α<180°} B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z} C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z} D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z} 解析：選D　終邊在第二象限的角的集合可表示為{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而選項D是從順時針方向來看的，故選項D正確． 5．將－885°化為α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(　　) A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360° C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360° 解析：選B?。?85°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故選B. 6．在下列說法中： ①時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角是60°； ②鈍角一定大于銳角； ③射線OA繞端點O按逆時針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是0°； ④－2 000°是第二象限角． 其中錯誤說法的序號為______(錯誤說法的序號都寫上)． 解析：①時鐘經(jīng)過兩個小時，時針按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，因而轉(zhuǎn)過的角為－60°，所以①不正確． ②鈍角α的取值范圍為90°<α<180°，銳角θ的取值范圍為0°<θ<90°，因此鈍角一定大于銳角，所以②正確． ③射線OA按逆時針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是360°，所以③不正確． ④－2 000°＝－6×360°＋160°與160°終邊相同，是第二象限角，所以④正確． 答案：①③ 7．α滿足180°<α<360°，5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么α＝________. 解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z. 又∵180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270° 8．若角α＝2 016°，則與角α具有相同終邊的最小正角為________，最大負(fù)角為________． 解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴與角α終邊相同的角的集合為{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大負(fù)角是－144°. 答案：216°?。?44° 9．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是第幾象限角： (1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′. 解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角為第三象限角，且在0°～360°范圍內(nèi)，與189°角有相同的終邊． (2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角為第四象限角，且在0°～360°范圍內(nèi)，與300°角有相同的終邊． (3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范圍內(nèi)，與216°24′角有相同的終邊． 10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列問題： (1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個？ (2)寫出集合M中的第二象限角β的一般表達式． 解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，則－<k<，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8個，分別是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (2)集合M中的第二象限角與120°角的終邊相同， ∴β＝120°＋k·360°，k∈Z. 層級二　應(yīng)試能力達標(biāo) 1．給出下列四個結(jié)論：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正確的個數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選D?、伲?5°是第四象限角； ②180°<185°<270°是第三象限角； ③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角； ④－350°＝－360°＋10°是第一象限角， 所以四個結(jié)論都是正確的． 2．若角2α與240°角的終邊相同，則α＝(　　) A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z 解析：選B　角2α與240°角的終邊相同，則2α＝240°＋k·360°，k∈Z，則α＝120°＋k·180°，k∈Z.選B. 3．若α與β終邊相同，則α－β的終邊落在(　　) A．x軸的非負(fù)半軸上 B．x軸的非正半軸上 C．y軸的非負(fù)半軸上 D．y軸的非正半軸上 解析：選A　∵α＝β＋k·360°，k∈Z， ∴α－β＝k·360°，k∈Z， ∴其終邊在x軸的非負(fù)半軸上． 4．設(shè)集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，則集合M與N的關(guān)系是(　　) A．M∩N＝? B．MN C．NM D．M＝N 解析：選C　對于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；對于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇數(shù)，而n表示所有的整數(shù)，∴NM，故選C. 5．從13：00到14：00，時針轉(zhuǎn)過的角為________，分針轉(zhuǎn)過的角為________． 解析：經(jīng)過一小時，時針順時針旋轉(zhuǎn)30°，分針順時針旋轉(zhuǎn)360°，結(jié)合負(fù)角的定義可知時針轉(zhuǎn)過的角為－30°，分針轉(zhuǎn)過的角為－360°. 答案：－30°?。?60° 6．已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是第______象限角． 解析：由題意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性進行討論．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角． 答案：一或三 7．試寫出終邊在直線y＝－x上的角的集合S，并把S中適合不等式－180°≤α<180°的元素α寫出來． 解：終邊在直線y＝－x上的角的集合 S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中適合不等式－180°≤α<180°的元素α為－60°，120°. 8.如圖，分別寫出適合下列條件的角的集合： (1)終邊落在射線OB上； (2)終邊落在直線OA上； (3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)． 解：(1)終邊落在射線OB上的角的集合為S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}． (2)終邊落在直線OA上的角的集合為 S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}． (3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為 S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}． 10