（東營專版）2022年中考數(shù)學復習 專題類型突破 專題一 5大數(shù)學思想方法訓練

（東營專版）2022年中考數(shù)學復習 專題類型突破 專題一 5大數(shù)學思想方法訓練 類型一 分類討論思想 (xx·臨沂中考)將矩形ABCD繞點A順時針旋轉α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG. (1)如圖，當點E在BD上時，求證：FD＝CD； (2)當α為何值時，GC＝GB？畫出圖形，并說明理由． 【分析】 (1)先判定四邊形BDFA是平行四邊形，可得FD＝AB，再根據(jù)AB＝CD，即可得出FD＝CD； (2)當GC＝GB時，點G在BC的垂直平分線上，分情況討論，即可得到旋轉角α的度數(shù)． 【自主解答】 在數(shù)學中，如果一個命題的條件或結論有多種可能的情況，難以統(tǒng)一解答，那么就需要按可能出現(xiàn)的各種情況分類討論，最后綜合歸納問題的正確答案． 1．(xx·宿遷中考)在平面直角坐標系中，過點(1，2)作直線l，若直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，則滿足條件的直線l的條數(shù)是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 2．(xx·隨州中考)為迎接“世界華人炎帝故里尋根節(jié)”，某工廠接到一批紀念品生產(chǎn)訂單，按要求在15天內(nèi)完成，約定這批紀念品的出廠價為每件20元，設第x天(1≤x≤15，且x為整數(shù))每件產(chǎn)品的成本是p元，p與x之間符合一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如表： 天數(shù)(x) 1 3 6 10 每件成本p(元) 7.5 8.5 10 12 任務完成后，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)工人李師傅第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)y(件)與x(天)滿足如下關系： 設李師傅第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤為W元． (1)直接寫出p與x，W與x之間的函數(shù)關系式，并注明自變量x的取值范圍； (2)求李師傅第幾天創(chuàng)造的利潤最大？最大利潤是多少元？ (3)任務完成后，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)平均每個工人每天創(chuàng)造的利潤為299元．工廠制定如下獎勵制度：如果一個工人某天創(chuàng)造的利潤超過該平均值，則該工人當天可獲得20元獎金．請計算李師傅共可獲得多少元獎金？ 類型二 數(shù)形結合思想 (xx·齊齊哈爾中考)某班級同學從學校出發(fā)去扎龍自然保護區(qū)研學旅行，一部分乘坐大客車先出發(fā)，余下的幾人20 min后乘坐小轎車沿同一路線出行，大客車中途停車等候，小轎車趕上來之后，大客車以出發(fā)時速度的繼續(xù)行駛，小轎車保持原速度不變．小轎車司機因路線不熟錯過了景點入口，在駛過景點入口6 km時，原路提速返回，恰好與大客車同時到達景點入口．兩車距學校的路程s(km)和行駛時間t(min)之間的函數(shù)關系如圖所示． 請結合圖象解決下面問題： (1)學校到景點的路程為________ km，大客車途中停留了________ min，a＝________； (2)在小轎車司機駛過景點入口時，大客車離景點入口還有多遠？ (3)小轎車司機到達景點入口時發(fā)現(xiàn)本路段限速 80 km/h，請你幫助小轎車司機計算折返時是否超速？ (4)若大客車一直以出發(fā)時的速度行駛，中途不再停車，那么小轎車折返后到達景點入口，需等待________分鐘，大客車才能到達景點入口． 【分析】 (1)根據(jù)圖形可得總路程和大客車途中停留的時間，先計算小轎車的速度，再根據(jù)時間計算a的值； (2)計算大客車的速度，可得大客車后來行駛的速度，計算小轎車趕上來之后大客車行駛的路程，從而可得結論； (3)先計算直線CD的解析式，計算小轎車駛過景點入口6 km 時的時間，再計算大客車到達終點的時間，根據(jù)路程與時間的關系可得小轎車行駛6 km的速度與80 km/h作比較可得結論． (4)利用路程÷速度＝時間計算出大客車所用時間，計算與小轎車的時間差即可． 【自主解答】 把問題中的數(shù)量關系與形象直觀的幾何圖形有機地結合起來，并充分利用這種結合尋找解題的思路，使問題得以解決． 3．(xx·大慶中考)如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A(－1，0)，點B(3，0)，點C(4，y1)，若點D(x2，y2)是拋物線上任意一點，有下列結論： ①二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的最小值為－4a； ②若－1≤x2≤4，則0≤y2≤5a； ③若y2＞y1，則x2＞4； ④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的兩個根為－1和. 其中正確結論的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．(xx·蘇州中考)如圖，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D交BC于點E.若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，則k的值為( ) A．3 B．2 C．6 D．12 5．(xx·上海中考)一輛汽車在某次行駛過程中，油箱中的剩余油量y(升)與行駛路程x(千米)之間是一次函數(shù)關系，其部分圖象如圖所示． (1)求y關于x的函數(shù)關系式；(不需要寫自變量的取值范圍) (2)已知當油箱中的剩余油量為8升時，該汽車會開始提示加油，在此次行駛過程中，行駛了500千米時，司機發(fā)現(xiàn)離前方最近的加油站有30千米的路程，在開往該加油站的途中，汽車開始提示加油，這時離加油站的路程是多少千米？ 類型三 轉化與化歸思想 (xx·江西中考)如圖1，研究發(fā)現(xiàn)，科學使用電腦時，望向熒光屏幕畫面的“視線角”α約為20°，而當手指接觸鍵盤時，肘部形成的“手肘角”β約為100°.圖2是其側面簡化示意圖，其中視線AB水平，且與屏幕BC垂直． (1)若屏幕上下寬BC＝20 cm，科學使用電腦時，求眼睛與屏幕的最短距離AB的長； (2)若肩膀到水平地面的距離DG＝100 cm，上臂DE＝30 cm，下臂EF水平放置在鍵盤上，其到地面的距離FH＝72 cm.請判斷此時β是否符合科學要求的100°？ (參考數(shù)據(jù)：sin 69°≈，cos 21°≈，tan 20°≈，tan 43°≈，所有結果精確到個位) 【分析】 (1)在Rt△ABC中利用三角函數(shù)即可直接求解； (2)延長FE交DG于點I，利用三角函數(shù)求得∠DEI即可求得β的值，從而作出判斷． 【自主解答】 把一種數(shù)學問題合理地轉化成另一種數(shù)學問題可以有效地解決問題．在解三角形中，將非直角三角形問題轉化為解直角三角形問題，把實際問題轉化為數(shù)學問題等． 6．(xx·山西中考)如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點E，交AD的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積是( ) A．4π－4 B．4π－8 C．8π－4 D．8π－8 7．(xx·黃岡中考)則a－＝，則a2＋值為______． 8．(xx·白銀中考)隨著中國經(jīng)濟的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高，中國高鐵正迅速崛起．高鐵大大縮短了時空距離，改變了人們的出行方式．如圖，A，B兩地被大山阻隔，由A地到B地需要繞行C地，若打通穿山隧道，建成A，B兩地的直達高鐵，可以縮短從A地到B地的路程．已知∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將縮短約多少公里？(參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4) 類型四 方程思想 (xx·婁底中考)如圖，C，D是以AB為直徑的⊙O上的點，＝，弦CD交AB于點E. (1)當PB是⊙O的切線時， 求證：∠PBD＝∠DAB； (2)求證：BC2－CE2＝CE·DE； (3)已知OA＝4，E是半徑OA的中點，求線段DE的長． 【分析】 (1)由AB是⊙O的直徑知∠BAD＋∠ABD＝90°，由PB是⊙O的切線知∠PBD＋∠ABD＝90°，據(jù)此可得證； (2)連接OC，設圓的半徑為r，證△ADE∽△CBE，由＝知∠AOC＝∠BOC＝90°，再根據(jù)勾股定理即可得證； (3)先求出BC，CE，再根據(jù)BC2－CE2＝CE·DE計算可得． 【自主解答】 在解決數(shù)學問題時，有一種從未知轉化為已知的手段就是設元，尋找已知與未知之間的等量關系，構造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉化． 9．(xx·白銀中考)若正多邊形的內(nèi)角和是1 080°，則該正多邊形的邊數(shù)是________． 10．(xx·上海中考)如圖，已知正方形DEFG的頂點D，E在△ABC的邊BC上，頂點G，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面積是6，那么這個正方形的邊長是________． 類型五 函數(shù)思想 (xx·杭州中考)在面積都相等的所有矩形中，當其中一個矩形的一邊長為1時，它的另一邊長為3. (1)設矩形的相鄰兩邊長分別為x，y. ①求y關于x的函數(shù)解析式； ②當y≥3時，求x的取值范圍； (2)圓圓說其中有一個矩形的周長為6，方方說有一個矩形的周長為10，你認為圓圓和方方的說法對嗎？為什么？ 【分析】 (1)①直接利用矩形面積求法進而得出y與x之間的關系；②直接利用y≥3得出x的取值范圍； (2)直接利用x＋y的值結合根的判別式得出答案． 【自主解答】 在解答此類問題時，建立函數(shù)模型→求出函數(shù)解析式→結合函數(shù)解析式與函數(shù)的性質(zhì)作出解答．要注意從幾何和代數(shù)兩個角度思考問題． 11．(xx·桂林中考)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋6(a≠0)與x軸交于點A(－3，0)和點B(1，0)，與y軸交于點C. (1)求拋物線y的函數(shù)解析式及點C的坐標； (2)點M為坐標平面內(nèi)一點，若MA＝MB＝MC，求點M的坐標； (3)在拋物線上是否存在點E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出滿足條件的所有點E的坐標；若不存在，請說明理由． 參考答案 類型一 【例1】 (1)如圖1，連接AF. 由四邊形ABCD是矩形，結合旋轉可得BD＝AF， ∠EAF＝∠ABD. ∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB， ∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF， ∴四邊形BDFA是平行四邊形，∴FD＝AB. ∵AB＝CD，∴FD＝CD. (2)如圖2，當點G位于BC的垂直平分線上，且在BC的右邊時，連接DG，CG，BG， 易知點G也是AD的垂直平分線上的點，∴DG＝AG. 又∵AG＝AD，∴△ADG是等邊三角形， ∴∠DAG＝60°，∴α＝60°. 如圖3，當點G位于BC的垂直平分線上，且在BC的左邊時，連接CG，BG，DG， 同理，△ADG是等邊三角形， ∴∠DAG＝60°，此時α＝300°. 綜上所述，當α為60°或300°時，GC＝GB. 變式訓練 1．C　 2．解：(1)設p與x之間的函數(shù)關系式為p＝kx＋b， 代入(1，7.5)，(3，8.5)得 解得 即p與x的函數(shù)關系式為p＝0.5x＋7(1≤x≤15，x為整數(shù))． 當1≤x＜10時， W＝[20－(0.5x＋7)](2x＋20)＝－x2＋16x＋260. 當10≤x≤15時， W＝[20－(0.5x＋7)]×40＝－20x＋520， 即W＝ (2)當1≤x＜10時， W＝－x2＋16x＋260＝－(x－8)2＋324， ∴當x＝8時，W取得最大值，此時W＝324. 當10≤x≤15時，W＝－20x＋520， ∴當x＝10時，W取得最大值，此時W＝320. ∵324＞320，∴李師傅第8天創(chuàng)造的利潤最大，最大利潤是324元． (3)當1≤x＜10時， 令－x2＋16x＋260＝299，得x1＝3，x2＝13， 當W＞299時，3＜x＜13. ∵1≤x＜10，∴3＜x＜10.當10≤x≤15時， 令W＝－20x＋520＞299，得x＜11.05，∴10≤x≤11. 由上可得，李師傅獲得獎金的月份是4月到11月，李師傅共獲得獎金為20×(11－3)＝160(元)． 答：李師傅共可獲得160元獎金． 類型二 【例2】(1)由圖形可得學校到景點的路程為40 km，大客車途中停留了5min， 小轎車的速度為＝1(km/min)， a＝(35－20)×1＝15. 故答案為40，5，15. (2)由(1)得a＝15，∴大客車的速度為＝(km/min)． 小轎車趕上來之后，大客車又行駛了(60－35)××＝(km)，40－－15＝(km)． 答：在小轎車司機駛過景點入口時，大客車離景點入口還有 km. (3)設直線CD的解析式為s＝kt＋b，將(20，0)和(60，40)代入得解得 ∴直線CD的解析式為s＝t－20. 當s＝46時，46＝t－20，解得t＝66. 小轎車趕上來之后，大客車又行駛的時間為＝35(min)， 小轎車司機折返時的速度為6÷(35＋35－66)＝(km/min)＝90 km/h＞80km/h. 答：小轎車折返時已經(jīng)超速． (4)大客車的時間：＝80(min)，80－70＝10(min)． 故答案為10. 變式訓練 3．B　4.A　 5．解：(1)設該一次函數(shù)解析式為y＝kx＋b， 將(150，45)，(0，60)代入y＝kx＋b中得 解得 ∴該一次函數(shù)解析式為y＝－x＋60. (2)當y＝－x＋60＝8時，解得x＝520， 即行駛520千米時，油箱中的剩余油量為8升． 530－520＝10(千米)， 油箱中的剩余油量為8升時，距離加油站10千米． 答：在開往該加油站的途中，汽車開始提示加油，這時離加油站的路程是10千米． 類型三 【例3】 (1)∵Rt△ABC中，tan A＝， ∴AB＝＝≈＝55(cm)． (2)如圖，延長FE交DG于點I，則四邊形GHFI為矩形， ∴IG＝FH， ∴DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)． 在Rt△DEI中，sin∠DEI＝＝＝， ∴∠DEI≈69°， ∴β＝180°－69°＝111°≠100°， ∴此時β不符合科學要求的100°. 變式訓練 6．A　7.8　 8．解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D. 在Rt△ADC和Rt△BCD中， ∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°， AC＝640， ∴CD＝320，AD＝320， ∴BD＝CD＝320，BC＝320， ∴AC＋BC＝640＋320≈1 088， ∴AB＝AD＋BD＝320＋320≈864， ∴1 088－864＝224(公里)． 答：隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將縮短約224公里． 類型四 【例4】 (1)∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°. ∵PB是⊙O的切線， ∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝∠PBD. (2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE∽△CBE， ∴＝，即DE·CE＝AE·BE. 如圖，連接OC. 設圓的半徑為r， 則OA＝OB＝OC＝r， 則DE·CE＝AE·BE＝(OA－OE)(OB＋OE)＝r2－OE2. ∵＝， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴CE2＝OE2＋OC2＝OE2＋r2， BC2＝BO2＋CO2＝2r2， 則BC2－CE2＝2r2－(OE2＋r2)＝r2－OE2， ∴BC2－CE2＝DE·CE. (3)∵OA＝4，∴OB＝OC＝OA＝4， ∴BC＝＝4. 又∵E是半徑OA的中點， ∴AE＝OE＝2， 則CE＝＝＝2. ∵BC2－CE2＝DE·CE， ∴(4)2－(2)2＝DE·2， 解得DE＝. 變式訓練 9．8　10. 類型五 【例5】 (1)①由題意可得xy＝3，則y＝. ②當y≥3時，≥3，解得x≤1， ∴x的取值范圍是0＜x≤1. (2)∵一個矩形的周長為6，∴x＋y＝3， ∴x＋＝3，整理得x2－3x＋3＝0. ∵b2－4ac＝9－12＝－3＜0， ∴矩形的周長不可能是6，∴圓圓的說法不對． ∵一個矩形的周長為10，∴x＋y＝5， ∴x＋＝5，整理得x2－5x＋3＝0. ∵b2－4ac＝25－12＝13＞0，∴矩形的周長可能是10， ∴方方的說法對． 變式訓練 11．解：(1)將點A，B的坐標代入函數(shù)解析式得 解得 ∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝－2x2－4x＋6， 當x＝0時，y＝6，∴點C的坐標為(0，6)． (2)由MA＝MB＝MC得M點在AB的垂直平分線上，M點在AC的垂直平分線上． 設M(－1，y)，由MA＝MC得 (－1＋3)2＋y2＝(y－6)2＋(－1－0)2， 解得y＝， ∴點M的坐標為(－1，)． (3)①如圖，過點A作DA⊥AC交y軸于點F，交CB的延長線于點D. ∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°， ∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO＝∠AFO， ∴△AOF∽△COA， ∴＝， ∴AO2＝OC·OF. ∵OA＝3，OC＝6，∴OF＝＝，∴F(0，－)． ∵A(－3，0)，F(xiàn)(0，－)， ∴直線AF的解析式為y＝－x－. ∵B(1，0)，C(0，6)， ∴直線BC的解析式為y＝－6x＋6， 聯(lián)立解得 ∴D(，－)，∴AD＝，AC＝3， ∴tan∠ACB＝＝. ∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB， ∴tan∠ABE＝2. 如圖，過點A作AM⊥x軸，連接BM交拋物線于點E. ∵AB＝4，tan∠ABE＝2， ∴AM＝8， ∴M(－3，8)． ∵B(1，0)，M(－3，8)， ∴直線BM的解析式為y＝－2x＋2. 聯(lián)立 解得或(舍去) ∴E(－2，6)． ②當點E在x軸下方時，如圖，過點E作EG⊥AB，連接BE. 設點E(m，－2m2－4m＋6)， ∴tan∠ABE＝＝＝2， ∴m＝－4或m＝1(舍去)， 可得E(－4，－10)． 綜上所述，E點坐標為(－2，6)或(－4，－10)．